第四章图形的相似培优检测卷(原卷版+解析)(重点突围)

《第四章图形的相似》培优检测卷班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（2022·陕西·西安市西光中学九年级阶段练习）已知则下列变形不正确的是（

）A． B． C． D．2．（2021·河北·唐山市第九中学九年级阶段练习）如图所示，D为AB边上一点，AD：DB＝3：4，交BC于点E，则S△BDE：S△AEC等于（

）A．16：21 B．3：7 C．4：7 D．4：33．（2022·山东威海·八年级期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心．若点的坐标为，点的横坐标为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．4．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高米，那么窗口底部离地面的高度BC为（

）A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米5．（2022·河南南阳·九年级期中）如图所示，矩形ABCD的长AD为20cm，宽AB为12cm，在它的内部有一个矩形EFGH（EH＞EF），设AD与EH之间的距离、BC与FG之间的距离都为acm，AB与EF之间的距离、DC与HG之间的距离都为bcm．当a，b满足（）时，矩形ABCD∽矩形EFGH．A．a＝b B．ab C．ab D．ab6．（2022·全国·九年级课时练习）是线段上一点（），则满足，则称点是线段的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉长度为，为的黄金分割点（），求叶柄的长度．设，则符合题意的方程是（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校一模）如图所示，要使，需要添加一个条件__________（填写一个正确的即可）8．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，四边形∽四边形，，，，则______．9．（2022·陕西·无九年级阶段练习）如图，已知两条直线DF、AC被三条平行直线、、所截，，，，则___________．10．（2022·陕西·西安辅轮中学九年级期末）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形ABCD内部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝________．11．（2022·福建省福州第一中学九年级阶段练习）如图，，，与相交于点E，过点E作交于F．且，，则的长为________．12．（2022·河北唐山·九年级期末）如图，点A（0，4），B（3，4），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的一半，得到线段CD，其中占C与点A对应，点D与点B对应，则点D的横坐标为_______．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（2022·陕西·无九年级阶段练习）如图，E是的边BC上的点，已知，，，．求证：．14．（2022·全国·九年级）已知a，b，c是△ABC的三边长，且（1）求的值；（2）若△ABC的周长为60，求各边的长．15．（2020·河北·原竞秀学校九年级期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶点在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，求树高．16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F，AF＝AC．求证：．17．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，有矩形ABCD和矩形，AB＝8cm，BC＝12cm，＝4cm，＝6cm．(1)求和；(2)线段，AB，，BC是成比例线段吗？四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（2022·全国·九年级单元测试）在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)填空：_________，__________；(2)判断与是否相似，并证明你的结论．19．（2022·上海市淞谊中学九年级阶段练习）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．(1)如图1已知小明的身高是1.6米，他在路灯AB下的影子长为2米，此时小明距路灯灯杆的底部3米，求灯杆AB的高度；(2)如图2现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．20．（2022·全国·九年级课时练习）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)在图中画出△ABC沿x轴翻折后的△A1B1C1；(2)以点M(1，2)为位似中心，作出△A1B1C1按2：1放大后的位似图形△A2B2C2；(3)填空：点A2的坐标；△ABC与△A2B2C2的周长比是．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（2021·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若BE＝2，AD＝6，且DF＝2EF，求DF的长度．22．（2022·吉林省第二实验学校八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12．动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线AC—CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动．设运动的时间为t秒．(1)AB=；(2)用含t的代数式表示线段CQ的长；(3)当Q在AC上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值；(4)设点O是PA的中点，当OQ与△ABC的一边垂直时，请直接写出t的值．六、（本大题共12分）23．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G，则有，，∴．请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图（3），△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：．(2)如图（4），等边△ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则AE的长为________．(3)如图（5），△ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为________．《第四章图形的相似》培优检测卷班级___________姓名___________学号____________分数____________考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（2022·陕西·西安市西光中学九年级阶段练习）已知则下列变形不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【详解】解：∴A.∵，∴，故该选项正确，不符合题意；B.，故该选项正确，不符合题意；C.，则，故该选项正确，不符合题意；D.，故该选项不正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了比例的性质，能正确运用比例的性质进行变形是解此题的关键，如果ab=cd，那么，反之亦然．2．（2021·河北·唐山市第九中学九年级阶段练习）如图所示，D为AB边上一点，AD：DB＝3：4，交BC于点E，则S△BDE：S△AEC等于（

）A．16：21 B．3：7 C．4：7 D．4：3【答案】A【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及平行线分线段成比例，不难求得．【详解】解：∵，∴，且，∴，，∴，∵，与的高相等，∴，∴．故选：A．【点睛】本题利用了平行线分线段成比例，相似三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键．3．（2022·山东威海·八年级期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心．若点的坐标为，点的横坐标为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据位似变换的性质得出PO=OA=2，然后写出P点坐标．【详解】解：∵点B的坐标为（2，3），点E的横坐标为-1，∴AB=3，OA=BC=2，DE=1，∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，∴，∴PO=OA=2，∴P点坐标为（-2，0）．故选A．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．4．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高米，那么窗口底部离地面的高度BC为（

）A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米【答案】B【分析】根据光沿直线传播的道理可知AD∥BE，则△BCE∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等即可解答．【详解】由题意知，可得，∴，∵（米），米，∴，∴米，故选B.【点睛】题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．5．（2022·河南南阳·九年级期中）如图所示，矩形ABCD的长AD为20cm，宽AB为12cm，在它的内部有一个矩形EFGH（EH＞EF），设AD与EH之间的距离、BC与FG之间的距离都为acm，AB与EF之间的距离、DC与HG之间的距离都为bcm．当a，b满足（）时，矩形ABCD∽矩形EFGH．A．a＝b B．ab C．ab D．ab【答案】D【分析】根据相似图形的性质对应边成比例进行求解即可．【详解】解：∵矩形ABCD∽矩形EFGH，∴即化简得：，故选：D．【点睛】题目主要考查相似图形的性质，理解相似图形的性质是解题关键．6．（2022·全国·九年级课时练习）是线段上一点（），则满足，则称点是线段的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉长度为，为的黄金分割点（），求叶柄的长度．设，则符合题意的方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据黄金分割的特点即可求解．【详解】∵AB=10，BP=x，∴AP=10-x，∵P点是黄金分割点，∴，∴，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了根据黄金分割点列一元二次方程的知识，依据得到是解答本题关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校一模）如图所示，要使，需要添加一个条件__________（填写一个正确的即可）【答案】【分析】根据已有条件，加上一对角相等就可以证明与相似，依据是：两角对应相等的两个三角形相似．【详解】解：添加，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定方法，牢记三角形相似的判定方法是做出本题的关键．8．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，四边形∽四边形，，，，则______．【答案】【分析】利用相似多边形的对应角相等以及四边形内角和定理求得答案即可．【详解】解：四边形∽四边形，，，，，，．故答案为：．【点睛】此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等．也考查了四边形内角和定理．9．（2022·陕西·无九年级阶段练习）如图，已知两条直线DF、AC被三条平行直线、、所截，，，，则___________．【答案】##【分析】根据平行线分线段成比例，列比例式进行计算即可．【详解】解：∵，∴，即：，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．10．（2022·陕西·西安辅轮中学九年级期末）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形ABCD内部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝________．【答案】【分析】先根据黄金矩形求出AB，再利用正方形的性质求出AF，然后进行计算即可解答．【详解】解：∵矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，∴，∴，∵四边形ABEF是正方形，∴AB=AF=，∴DF=AD-AF=，故答案为：．【点睛】本题考查了黄金分割，相似多边形的性质，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握黄金分割是解题的关键．11．（2022·福建省福州第一中学九年级阶段练习）如图，，，与相交于点E，过点E作交于F．且，，则的长为________．【答案】【分析】由，，，可得则再利用相似三角形的性质可得答案．【详解】解：∵，，，∴∴∴∴∵，，解得：故答案为：【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．12．（2022·河北唐山·九年级期末）如图，点A（0，4），B（3，4），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的一半，得到线段CD，其中占C与点A对应，点D与点B对应，则点D的横坐标为_______．【答案】或【分析】根据位似变换的概念计算即可．【详解】解：∵以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的一半，得到线段CD，点D与点B对应，点B的横坐标为3，∴点D的横坐标为3×或3×，即点D的横坐标为或，故答案为：或．【点睛】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（2022·陕西·无九年级阶段练习）如图，E是的边BC上的点，已知，，，．求证：．【答案】见解析【分析】根据，可证得．【详解】证明：，，，，，即，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉三角形相似判定定理是解题关键．本题用到的判定是两边对应成比例且夹角相等．14．（2022·全国·九年级）已知a，b，c是△ABC的三边长，且（1）求的值；（2）若△ABC的周长为60，求各边的长．【答案】（1）；（2）20，16，24【分析】（1）利用已知中的比例式，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案；（2）根据△ABC的周长为60得，，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案．【详解】（1）设，则，，，；（2）∵△ABC的周长为60，，，解得：，，，，∴三角形的各边的长分别为20，16，24．【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．15．（2020·河北·原竞秀学校九年级期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶点在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，求树高．【答案】【分析】先根据勾股定理求出EF，再根据，可得，即可求解．【详解】解：在中，，，由勾股定理得：，∴，根据题意得：∠BCD=∠DEF=90°，∠D=∠D，∴，∴，∵，，∴，解得：，∵，∴．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例．16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F，AF＝AC．求证：．【答案】见解析【分析】作EH∥AC交BC于H，根据三角形的中位线定理得到DH＝HC，即BH＝3HC，根据平行线分线段成比例定理证明结论．【详解】证明：作EH∥AC交BC于H，∵点E为AD的中点，∴DH＝HC，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，又DH＝HC，∴BH＝3HC，∵EH∥AC，∴，∴EF＝BF．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理和平行线分线段成比例定理，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半、正确作出辅助线是解题的关键．17．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，有矩形ABCD和矩形，AB＝8cm，BC＝12cm，＝4cm，＝6cm．(1)求和；(2)线段，AB，，BC是成比例线段吗？【答案】(1)，(2)线段，AB，，BC是成比例线段．【分析】（1）根据已知条件，代入和，即可求得结果；（2）根据和的值相等，即可判断线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．(1)∵AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm．∴＝＝，＝＝(2)由（1）知＝＝，＝＝；∴＝，∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．【点睛】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（2022·全国·九年级单元测试）在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)填空：_________，__________；(2)判断与是否相似，并证明你的结论．【答案】(1)135，；(2)△ABC∽△DEF，证明见解析．【分析】（1）由网格特点可得∠DEF的度数，由勾股定理可得DE的长；（2）根据勾股定理计算出BC的长，根据网格特点求出∠ABC的大小，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可得到结论．（1）解：由网格特点可得：∠DEF＝90°＋45°＝135°，由勾股定理得：DE＝，故答案为：135，；（2）解：△ABC∽△DEF；证明：在△ABC中，AB＝2，BC＝，∠ABC＝90°＋45°＝135°，在△DEF中，DE＝，EF＝2，∠DEF＝135°，∴，∠DEF＝∠ABC＝135°，∴△ABC∽△DEF．【点睛】此题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定，关键是熟练掌握网格的特点及相似三角形的判定定理，并运用勾股定理计算出三角形的边长．19．（2022·上海市淞谊中学九年级阶段练习）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．(1)如图1已知小明的身高是1.6米，他在路灯AB下的影子长为2米，此时小明距路灯灯杆的底部3米，求灯杆AB的高度；(2)如图2现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．【答案】(1)灯杆AB的高度为4米(2)灯杆AB的高度为米【分析】（1）利用平行线分线段成比例的推论可知，代入求解即可；（2）同（1）可得，，先求出BC，进而求出AB．（1）解：由题意可知，，，∴，由题意，，∴，即，解得，∴灯杆AB的高度为4米；（2）解：由题意可知，，，，∵中，，∴，即，同理，中，，∴，即，∴解得，∴，∴，∴灯杆AB的高度为米．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的实际应用，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．20．（2022·全国·九年级课时练习）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)在图中画出△ABC沿x轴翻折后的△A1B1C1；(2)以点M(1，2)为位似中心，作出△A1B1C1按2：1放大后的位似图形△A2B2C2；(3)填空：点A2的坐标；△ABC与△A2B2C2的周长比是．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)点A2的坐标(3，6)，周长比是1：2【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用位似变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可；（3）根据点的位置写出坐标即可，利用轴对称变换，位似变换的性质求出周长比．（1）如图，△A1B1C1即为所作；（2）如图，△A2B2C2即为所作；（3）如图，点A2的坐标(3，6)，周长比是1：2．故答案为：(3，6)；1：2．【点睛】本题考查作图−轴对称变换，位似变换等知识，解题的关键是作为轴对称变换，位似变换的性质，属于中考常考题型．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（2021·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若BE＝2，AD＝6，且DF＝2EF，求DF的长度．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）利用平行四边形的性质可得，，从而可得∠ADF＝∠DEC，∠B+∠C＝180°，然后利用等角的补角相等可得∠C＝∠AFD，从而利用两角相等的两个三角形相似即可解答；（2）利用平行四边形的性质可得AD＝BC＝6，从而可得CE＝4，然后根据已知可设EF＝x，则DF＝2x，DE＝3x，再利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∴∠ADF＝∠DEC，∠B+∠C＝180°，∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠B+∠AFD=180°，∴∠C＝∠AFD，∴△ADF∽△DEC；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝6，∵BE＝2，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，∵DF＝2EF，∴设EF＝x，则DF＝2EF＝2x，∴DE＝EF+DF＝3x，∵△ADF∽△DEC，∴，∴，∴x＝±2，经检验：x＝±2是原方程的根，∵x＞0，∴x＝2，∴DF＝2x＝4，∴DF的长为4．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．22．（2022·吉林省第二实验学校八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12．动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线AC—CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动．设运动的时间为t秒．(1)AB=；(2)用含t的代数式表示线段CQ的长；(3)当Q在AC上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值；(4)设点O是PA的中点，当OQ与△ABC的一边垂直时，请直接写出t的值．【答案】(1)(2)(3)或(4)或或【分析】（1）根据勾股定理直接求解；（2）根据题意列出代数式；（3）根据题意分∠AQP=90°时，∠APQ=90°时，两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可