2024-2025学年北师版八年级上册数学期末专项复习：一次函数（压轴34题）解析版

压轴真题必刷02：一次函数

【题型归纳】

题型一：一次函数的图像

1.（2022下•陕西安康•八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知直线>=履+6与直线y=2x+2022平行，且与》

轴交于点M（0,4）,与x轴的交点为N,贝UAMNO的面积为（）

A.2022B.1011C.8D.4

【答案】D

【分析】先根据两直线平行左值相等，以及直线经过点M（0,4）,即可求出直线MN的解析式，进而可求出N点坐标，

然后根据三角形的面积公式即可求解.

【详解】：直线，=就+。与直线y=2尤+2022平行，

k=2,gpy=2x+b,

•・•直线y=2x+0过点M（0,4）,

・•・4=2x0+〃，即8=4,

・,・直线MN的解析式为y=2%+4,

当y=0时,有x=-2,

・・・N点坐标为（-2,0）,

：.ON=2,

VM（0,4）,

・・.OM=4,

.,.△MON的面积为：S=-x2x4=4,

2

故选：D.

【点睛】本题考查了坐标系中两直线平行的性质以及直线与坐标轴交点的知识，掌握坐标系中两直线平行时两直线

的解析式的左值相等是解答本题的关键.

2.（2019下•新疆乌鲁木齐•八年级乌市八中校考期末）下列说法中正确的是（）

A.、口化成最简二次根式为近B.两个一次函数解析式左值相等，则它们的图像平行

Vnn

C.连接等腰梯形各边中点得到矩形D.一组数据中每个数都加3,则方差增加3

【答案】A

【分析】根据二次根式、一次函数、等腰梯形和方差的性质逐项判断即可.

【详解】解：A.、口化成最简二次根式为正，正确，符合题意；

Vnn

B.两个一次函数解析式左值相等，b不相等，则它们的图像平行，原选项错误，不符合题意；

C.连接等腰梯形各边中点得到菱形，原选项错误，不符合题意；

D.一组数据中每个数都加3,则方差不变，原选项错误，不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了二次根式、一次函数、等腰梯形和方差，解题关键是熟练掌握相关知识，准确进行判断.

3.(2018上•河北保定•八年级校考期末)如图点尸按Af3fCfM的顺序在边长为1的正方形边上运动，M是CO

边上的中点.设点尸经过的路程》为自变量，的面积为九则函数》的大致图象是().

p,y，c

22.5*22.5x

22.5

【答案】c

【分析】分类讨论，分别表示出点P位于线段AB上、点P位于线段BC上、点P位于线段MC上时对应的△附

的面积，判断函数图像，选出正确答案即可.

【详解】由点M是CD中点可得：CM=1,

(1)如图：当点P位于线段AB上时，即g后1时，

D川C

PB

y=-APBC=^x；

(2)如图：当点P位于线段BC上时，即1VE2时,

BP=x—1,CP=2—x,

--=XX-XX_XX

y二S梯形ABCM^AABP^AMCP-(1+—)1-1(^-1)_-(2-X)=--X+—;

乙乙乙乙乙l"l"

(3)如图：当点P位于线段MC上时，即2<xs|■时，

5

MP二一-x,

2

y=—MP-AD=—x(--x)xl=-—x+—.

,22224

综上所述：

1x(O<x<l)

13「…

—xH—(l<x42).

44

15小5、

——x+—(2<x<—)

根据一次函数的解析式判断一次函数的图像，只有C选项与解析式相符.

故选：C.

【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，分类讨论，将分别表示为一次函数的形式是解题关键.

题型二：一次函数的性质

4.（2023上•江苏泰州•八年级校考期末）己知（3，外），伍，％），（不，％）为直线y=-3元+1上的三个点，且无1＜马＜为，

则以下判断正确的是（）

A.若王马=1,则乂%＞。B.若再毛=-2,则%%＞。

C.若超退=3,则%为＞。D.若％毛=-1,则%为＞。

【答案】D

【分析】根据一次函数增减性，结合各选项条件逐项验证即可得到答案.

【详解】解：・直线y=-3x+l中一3＜0,

y随x的增大而减小，

*/x1<x2<x3,

A、若玉％=1，则%%>。，即毛与巧同号（同时为正或同时为负），

•1,xY<x2<x3,

若取X］与演同为负数，由尤1<天2<尤3不能确定退的正负，

（.，匕），（工,%）为直线>=-3》+1上的三个点，

X=-3xj+l>0,%=-3毛+1正负不能确定，则无法判断以则符号，该选项不合题意；

B、若不退=-2,则占尤3<。，即A与马异号（一正一■负），

,,,x1<x2<x3,

再<0,无3>°，由尤1<%<尤3不能确定巧的正负，

（4，珀，（孙Z）为直线>=-3尤+1上的三个点，

%=-3玉+1>0,%=-3%+1正负不能确定，则无法判断为%符号，该选项不合题意；

C、若%无3=3,则三三>。，即X2与与同号（同时为正或同时为负），

xv<x2<x3,

..・若取巧与七同为正数，由尤1<X2<三不能确定X1的正负，

（七,%）为直线y=-3x+l上的三个点，

二.%=-3%+1正负不能确定，为=-3演+1正负不能确定，则无法判断符号，该选项不合题意;

D、若々£=-1,贝！即X］与七异号（一正一负），

Xx<X2<X3,

X2<O,x3>0,由王<%<%确定玉<0的正负，

（冷匕）,（巧，外）为直线y=-3x+i上的三个点，

，％=-3玉+1>0,%=-3々+1>0,则％%>。，该选项合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查一次函数图像与性质，由题中条件判断出国，马,三正负，结合一次函数增减性求解是解决问题的

关键.

5.（2023下•湖北省直辖县级单位•八年级统考期末）如图.在平面直角坐标系中，点4,4,A，…在直线y=（x+b

上，点用，,昌,…在龙轴上，AOA]21,,AB2A3B3,…是等腰直角三角形，且

/。44=/用4与=/&4为=-=9。°.如果点4（1，1），那么怎23的纵坐标是（）

【答案】A

【分析】设点4,4，4…，4。22坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题.

【详解】解:如图，

设4（尤2，%），43（苫3，%），%），…，4023（%2023，%023），

141414

则有为=1三+《，％=］三+《，•••^2022=gX2022+»

又ABL，…都是等腰直角三角形，

2%+,^3+%（）23>

••x2=2yt+y2,Xj=2y2+y3,202=2yl+2%+2y3+…+2y2022

将点坐标依次代入直线解析式得到：

111,333

%=,%+1，%=5乂+万为+1=5%，>4=5%，…，了2023=万>2022，

又；％=1,

故选：A.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标

的规律是解题的关键.

6.（2022下.湖北武汉.八年级统考期末）我们把。、b、c三个数的中位数记作Z|a,6,c|,直线y="+；与函数

y=Z|2x-2,x+l,—x+l|的图象有且只有2个交点，则上的值为（）

717414

A.一或—或1B.一或一C.—或一或1D.2或一1

626323

【答案】A

【分析】画出函数y=Z|2x-2,x+1,-x+l|的图象，要使直线产依+；与函数产Z|2x-2,x+1,-x+l|的图象有且只有2

个交点，只需直线经过（3,4）或经过（1,0）或平行于产x+1.

直线y=2x-2与直线y=x+l交于点（3,4）,

直线y=2x-2、y=-x+l与％轴交于点（1,0）,

直线产x+1与y轴交于点（0,1）,

..丁=日+|与函数y=2]2x-2,x+1,-x+l|的图象有且只有2个交点,

当直线卡质+；经过点（3,4）时，贝|4=3左+；,

解得仁：，

o

当直线产去+；经过点（1,0）时，k=-g

当上1时，平行于y=x+l,与函数产Z|2x-2,x+1,-x+l|的图象也有且仅有两个交点;

171

・•・直线直线产自+7与函数产Z|2x-2,x+1,-x+l|的图象有且只有2个交点，则左的取值为工或-彳或1.

262

故选：A.

【点睛】本题考查了一次函数的性质以及中位数的概念，数形结合思想的应用是解题的关键.

7.(2020下•广东汕头•八年级统考期末)如图，已知直线=过点A(0』)作，轴的垂线交直线/于点民过点

B作直线/的垂线交y轴于点A1；过点4作y轴的垂线交直线/于点片，过点与作直线/的垂线交y轴于点&；……,

A.(202073,2020)B,(404073,4040)C,(42020•42020)D,(22020.^Z2020)

【答案】C

【分析】先根据所给一次函数判断出直线与x轴夹角是30。，在含有30。角的直角三角形中依次得到线段长度，表示

出A、A］、AZ…及B、B1、比…的坐标，找到规律后求出A2020的坐标，再根据A2020的坐标与屏020的纵坐标相同即

可得出结论.

【详解】解：：直线/的解析式为：丫=3,

3

...直线/与x轴的夹角为30。，

・.・A8〃x轴，

ZABO=30°,

VOA=1,

.•・A8=石，

VAyBXZ,

・•・ZABAi=60°,

：.AAi=3,

：.Ai(0,4),Bi(4A/3,4),

同理可得&(16A/3,16),

**.A2020纵坐标为：42020，

二•A2020(0,42020),

：.B2020（42020XV3,42020），

故选C.

【点睛】本题考查了一次函数的综合题应用，从可求得的坐标中寻找规律，得出结论，解决本题的关键是判断出直

线与尤轴的夹角.

8.（2023下•湖北武汉•八年级统考期末）已知点A（占,%）,3（%,%），6（七,%）在直线丫=-2%+4上，当占<Z<£

时，下列结论：①若国+m2<。，则为%>°；②若%+退<。，则%%>。；③若M%>。，则尤2尤3>。；④若M%<0，

则三三>0,其中正确结论的序号为.

【答案】②④

【分析】根据一次函数性质对各项进行逐项分析判断即可.

【详解】解：；点4（%,%），3（孙为），C（W，%）在直线V=-2x+4上，

/.x=-2玉+4,,2=-2工2+4,%=-2%3+4，

①若x1+x2<0,

当士=-3,X2=2,毛=3时，%%=°，故①不正确；

②若马+三<°，

Xj<x2<x3,

x1<x2<0,%>0,%>0，

故②正确；

③若M%>0,

当X]=—1,x2—0,w=1时，x2x3=0,故③不正确；

④若%%<0,

xl<x2<x3,

%>%>%，

•.•%>°>%>%，

,•・在直线V=-2x+4上，当y=°时，x=2,

2<x2<x3,

•*-x2x3>0,故④正确,

故答案为：②④

【点睛】本题考查了一次函数性质，结合一次函数性质，根据大小关系进行合理分析是解题关键.

9.(2022下•福建福州•八年级统考期末)已知一次函数％=辰+2左+4,现给出以下结论：

①若该函数的图像不经过第三象限，则-2<%<0；

②若当3时，该函数最小值为8,则它的最大值为12；

③该函数的图像必经过点(-2,4)；

④对于一次函数%=2x-l,当x<3时，%<%，则上的取值范围为

其中正确的是.(写出所有正确结论的序号)

【答案】②③

【分析】根据一次函数的性质求得%的取值，即可判断①；根据一次函数的性质及图像上点的坐标特征即可判断②③;

根据一次函数与不等式的关系即可判断④.

【详解】解：①：一次函数％=履+2左+4的图像不经过第三象限，

・•.尸，

[2k+4>0

解得：-2<k<0,故结论①不正确；

②如果Z〉0,则％随x的增大而增大，那么当x=T时有最小值8,

・・・YZ+2女+4=8,

解得：左=-2,与上〉0矛盾，舍去；

如果％<0,则%随x的增大而减小，那么当x=-3时有最小值8,

・•・一3左+2左+4=8,

解得：k=-4,

%——4x—4,

・•・当x=Y时，它的最大值为TX(Y)—4=12,

・••当YWxW-3时，该函数最小值为8,则它的最大值为12,故结论②正确；

(3)当x=-2时，X—kx+2k+4=—2k+2k+4=4,

•••该函数的图像必经过点(-2,4),故结论③正确；

④把x=3代入％=2x-l得，%=2x3-l=5,

把x=3,y=5代入%=履+2左+4得，3左+2%+4=5,

解得：％="，

•••对于一次函数％=2x-l,当x<3时，%<%，则上的取值范围为%>（，

当x=2,y=5时，左=（，满足方<%故结论④错误.

故答案为：②③.

【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，一次函数图像上点的坐标特征，借助图像便于

问题的解决.理解和掌握一次函数的性质是解题的关键.

题型三：一次函数和一元一次方程（不等式）

10.（2023下•浙江台州•八年级统考期末）当x>-3时，对于x的每一个值，函数、=依（际0）的值都小于函数

y=-；x+3的值，则k的取值范围是（）

31311

A.kN—且％W0B.k<—C.—GkG—D.0<女（—

22222

【答案】C

1Q11

【分析】先求得x=—3时，y=—：兀+3==,当左,直线丁=依（左w0）与直线y=—；%+3平行，且在直线

2222

y=-1x+3下方；当直线>=履与直线，=-4尤+3的交点在，3目的上方时，函数尸丘（丘0）的值都小于函

数）=-：尤+3的值，据此求解即可.

【详解】解：当x=-3时，y=-1x+3=|,即有点［-3,1J,

将点［-3,|）代入y=履，

有J=-3%,解得后=），

22

当k=一;，直线、=区（k*0）与直线y=-gx+3平行，且在直线y=-gx+3下方；

->

X

yi=kx

结合图象可知：直线、=近与直线y=-gx+3的交点在1-3,|）的上方时，并随着交点的不断上移，直至直线、=也

（%70）与直线y=-g无+3平行时，满足当x>-3时，函数>=依（左N0）的值都小于函数y=-g尤+3的值，

故选：C.

【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键.

11.（2021•福建漳州.统考一模）若直线、=履+左+2与x轴的交点位于x轴正半轴上，则它与直线y=2x-l交点的

横坐标。的取值范围为（）

A.a<—B.0<〃<—C.—<。<一D.a>一

22424

【答案】c

2

【分析】由直线、=履+左+2与x轴的交点可得：<-1.分两种情况讨论，即可得-2<%<0.联立两条直线解析式

k

即可得交点横坐标。=善，由左的范围即可确定出。的范围.

2-k

【详解】解：•.•直线、=履+左+2与x轴的交点位于x轴正半轴上，

.,.左w0.

^y=kx+k+2=0,解得："k~2>0,

k

22

即-1-7>0,得一〈—I.

化k

①当%>0时，解得％<-2,与题设矛盾；

②当左<0时，解得上>一2,所以一2〈左<0.

当直线、=履+左+2与直线y=2x-l相交时，

3+k

kx+k+2=2x-1,角军x=---,

2-k

art3+k

即Q=~一~，

2-k

p3+k5-（2-k）51

2-k2-k2-k

Q-2<k<0f

\O<-k<2f

\2<2-k<4f

..1-<--1-<-1,

42-左2

..5.-<--5-<-5,

42-%2

,15i3

42-k2

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一次函数的图象性质与不等式的解法，熟练掌握以上知识是解题的关键.

12.（2019下•广东深圳•八年级深圳市光明区高级中学校考期末）一次函数y=&+6（原0）的图象经过点8（-6,0）,

且与正比例函数〉=3天的图象交于点A（m,-3）,若依-gx>-b,则（）

B

x

■7A

A.尤>0B.x>-3C.x>-6D.x>-9

【答案】D

【分析】先利用正比例函数解析式，确定A点坐标;然后利用函数图像，写出一次函数y=kx+b（叵0）的图像，在正

比例函数图像上方所对应的自变量的范围.

【详解】解：把A（“Z,-3）代入y=g尤得g机=-3,解得机=-9,

所以当x>-9时，kx+b>^x,

即履-gx>-b的解集为无>-9.

故选。.

【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小

于）0的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的

横坐标所构成的集合.

13.（2023下•湖北武汉•八年级统考期末）直线%=丘+匕（匕6为常数，k^O,且6>2）与直线%=：内-皿根为常数，

且〃件0）交于点4（3,2）.下列四个结论：

①m=1；

②关于x的方程=的解为x=2；

③%随着x的增大而减小；

④直线弘沿y轴平移后得到直线为，直线为交直线先于点5,若点B的纵坐标为1,则不等式为<%的解集是X>2.

其中正确的结论是.（填写序号）

【答案】①③④

【分析】根据一次函数的图象性质，一次函数与方程，一次函数与不等式，对每一项判断即可解答.

【详解】解：：直线%=3-皿，〃为常数，且〃-0）经过点A（3,2）,

m=1,

故①正确；

•.•交点为4（3,2）,

工关于x的方程=-根的解为x=3,

故②错误；

•直线必=履+6过（0,6）3>2）和（3,2）,

.1•%随着了的增大而减小，

:%=1，%=无一1，

•••3（2,1）,

由图象可知：不等式为〈%的解集是x>2,

故④正确；

故答案为：①③④.

【点睛】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与方程，一次函数与不等式，掌握一次函数图象及性质是解题

的关键.

14.（2022下•湖北武汉•八年级统考期末）已知一次函数,=米+6（左＜0）的图象与y轴正半轴交于点A,且上+6=2,

则下列结论：

①函数图象经过一、二、四象限；

②函数图象一定经过定点（L2）；

③不等式（"2）x+b＞。的解集为x＜l；

④直线＞=-bx-左与直线y=+b交于点尸，与y轴交于点8,贝UAPAB的面积为2.

其中正确的结论是.（请填写序号）

【答案】①②③.

【分析】根据一次函数的图象与性质可判断①，根据一次函数图象上点的坐标特征可判断②，由A+b=2,可得（h2）

+b=0,可得函数产（&-2）尤+6过点（1,0）,再利用一次函数与无轴的交点坐标可判断③，分别求解8,尸的坐

标，再利用三角形的面积公式计算可判断④，从而可得到正确的选项.

【详解】解：①,左＜0,k+b=2,

：.b＞0,

函数（/＜0）的图象经过一、二、四象限，故①符合题意；

②•：k+b=2,

函数广履+6（左＜0）的图象一定经过定点（1,2）,故②符合题意；

③：k+6=2,（h2）+b=0,

函数y=(k-2)x+6过点(1,0),

：.k-2<0,

，不等式（Z-2）x+Z?>0的解集为xVl,故③符合题意；

④•・•一次函数产区+b（左VO）的图象与y轴正半轴交于点A,

・・・A（0,b）,

•・•直线产5/与直线y=kx+b交于点P,,

fy=-bx-k,\x=-l

A一解得：7，

[y=KzX+b[y=b-kA

P（-l,b-k）,

•直线左与y轴交于点B,

：.B（0,-Jt）,

AB=|z?—（—A:）|=|Z?+A;|=2,

...△BAB的面积为：|AB-|XP|=1-X2X1=1,故④不符合题意；

故答案为：①②③.

【点睛】本题主要考查对一次函数图象与系数的关系，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点的

理解和掌握，熟知一次函数的性质是解此题的关键.

15.（2020下•湖北武汉•八年级统考期末）在平面直角坐标系中，垂直x轴的直线1分别与函数y=x-a+l,y=+a

的图像交于P、Q两点，若平移直线1,可以使P、Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是.

【答案】%<-1

【分析】根据题意可知y=^-a+Ly=-gx+a在y<0时，x有公共解，因此可以列出不等式，从而得到答案.

【详解】令y=x-a+l<0,贝Ux<a-1,

令y―――x+。<。,贝ijx>2a,

:平移直线/,可以使P、Q都在x轴的下方，

可知y=无_。+1,了=_gx+a在y<0时，x有公共解，

/.2a<a-1,解得：a<T,

故填：a<T.

【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、函数与不等式的关系，解答的关键是将图象问题转化为不等式.

题型四：一次函数和二元一次方程组

16.（2023下•湖南长沙•八年级湖南师大附中博才实验中学校联考期中）一次函数必=h+方（％20,k、6是常数）

与%=蛆+3（机。0,机是常数）的图像交于点。（1,2）,下列结论正确的序号是（）

①关于x的方程Ax+b=mx+3的解为x=l；

②一次函数％=，蛆+3（机wO）图像上任意不同两点4（%,纥）和8（卷,凡）满足：（%-%）（券-%）<0；

③若人一切=万-3（b>3）,则x=0；

④若6<3,且则当x>l时，M>为.

A.②③④B.①②④C.①②③D.①②③④

【答案】B

【分析】根据两直线的交点即为其解析式所组成的方程组的解，即可判断①；利用待定系数法求出％=-苫+3,结

合一次函数的性质即可判断②；求出E-R=|（左+l）M+b-3,结合|%一叼=。-3,即得出卜+1川=0,解得左=T或

x=0,故③错误；将。（1,2）代入乂=履+6,即可求出k=2-b,进而可得出上>-1,且％/0,画出大致图像，可

得出当尤>1时，一次函数％=履+》的图像位于一次函数%="a+3的图像上方，即以>>2,可判断④正确.

【详解】解：：一次函数％=履+6与%=尔+3的图像交于点。（1,2）,

%=kx+bf%=]

联立的解为C

%=5+3b=2

即方程狂+匕=〃比+3的角军为x=l,故①正确;

将。（1,2）代入％=，依+3,得：2=加+3,

解得：777=—1,

y2=-尤+3.

V-l<0,

.•.对于一次函数%=-x+3,y的值随x的增大而减小,

.,.当%>当时，ya<y„；当％<%时，ya>yb,

无论何时%-%与%-”都为异号，

(%-%)(第一％)<0,故②正确；

：1%-y2|=|fcv+Z)-(-%+3)|=|(Z：+l)%+/>-3|,且b>3,

|必=左+l)x|+b-3.

=6-3,

|(^+l).r|=O,

左+1=0或x=0,

・'•%=-1或%=0,故③错误；

将£)(1,2)代入M=Ax+b,得：2=k+b,

：.k=2-b.

'：b<3,且6w2,

：.k>-l,且丘0,

，画出图像如图所示.

由图可知当X>1时，一次函数％=履+匕的图像位于一次函数%=〃a+3的图像上方,

.•.当x>l时，%>上，故④正确.

故选B.

【点睛】本题考查一次函数的图像和性质，绝对值的性质等知识.熟练掌握一次函数的图像和性质是解题关键.

17.（2022下•安徽芜湖•八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（3,a）是直线y=2尤与直线y=x+b的交

点，点B是直线y=x+b与y轴的交点，点尸是X轴上的一个动点，连接抬，PB,则B4+P3的最小值是（

C.9D.3A/10

【答案】D

【分析】作点A关于x轴的对称点A,连接A8,则朋+P8的最小值即为A3的长，先求出点A坐标，再待定系数

法求出6的值，根据轴对称的性质可得点A的坐标，进一步求出A8的长，即可确定B4+PB的最小值.

【详解】解：作点A关于x轴的对称点A,连接A3,如图所示:

则PA+PB的最小值即为A3的长，

将点A(3,a)代入y=2x,

得“=2x3=6,

...点A坐标为(3,6),

将点A(3,6)代入y=x+6,

得3+6=6,

解得b=3,

•••点2坐标为(0,3),

根据轴对称的性质，可得点A坐标为(3,-6)

A!B=J?。+(-6-3)2=3函,

...以+尸8的最小值为3&5.

故选：D.

【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及两直线的交点问题，一次函数的性质，利用轴对称解决最短路径问

题，熟练掌握轴对称的性质以及一次函数的性质是解题的关键.

48

18.(2023下・河南商丘•八年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中，一次函数y=§的图象4与x轴交于点A,

一次函数＞=x+5的图象与彳轴交于点8,与4交于点P,直线。过点A且与x轴垂直，若4上有一动点C,使得

2ZPCA+ZPAB=90°，贝U点C的坐标为.

【答案】（2,-5）或（2,13）

【分析】先求出A、B、P三点的坐标和AP的长度，作于点E，如图，根据角的代换得出/E4P=2/尸8,

然后分点C在A点下方与点C在4点上方两种情况，利用等腰三角形的性质求解即可.

4848

【详解】解：对于y=当y=o时，--x+-=o,解得x=2,

A（2,o）,

对于了=尤+5,当y=0时，x+5=0,解得x=-5,

・•・3（-5,0）,

48

y=—x—rx_—一1

解方程组33,得一

,|y二4

>=尤+5u

AP=^（2+1）2+42=5，

作尸于点E，如图，

:直线4过点A且与x轴垂直，

/./EAB=90°，即ZEAP+ZPAB=90°,

,?2ZPCA+ZPAB^90°,

/.ZEAP=2ZPCA,

当点C在A点下方时，

•/ZEAP=ZPCA+ZAPC,

：.ZPCA=ZAPC,

，AC=AP=5,

：.C（2,-5）,

当点C在A点上方时，即为点C,同理可得/EAP=2/PCA,

•/NEAP=2NPCA,

：./PCA=/PC'A,

：.PC=PC',

：.C'E=CE=9,

：.AC'=4+9=13,

.•.C（2,13）,

故答案为：（2,—5）或（2,13）.

【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点、两条直线的交点、等腰三角形的性质、三

角形的外角性质等知识，具有较强的综合性，熟练掌握一次函数的相关知识、明确求解的方法是解题的关键.

19.（2023下•河北廊坊•八年级统考期末）如图，已知一次函数丫=近+2的图象与y轴，x轴分别交于点A、B.

（1）若点（U）在函数图象上，则太=；

（2）若S皿B=3,则点B的坐标为；

（3）一次函数、=丘+2的图象与正比例函数y=2x的图象交于点点尸在x轴上，当APBC为直角三角形

时，点尸的坐标为.

【答案】-1（3,0）1|,q或［V。）

【分析】（1）将点（1,1）代入、=履+2即可得到左的值；

（2）利用解析式求出点A的坐标，再根据面积即可得到点B的坐标；

（3）利用点C的坐标求出一次函数的解析式，再根据等腰直角三角形的性质分两种情况：当/CPB=90。时，当

/PCS=90。时，分别求解.

【详解】解：（1）：点（U）在函数丫=履+2的图象上,

，左+2=1,

得k=-1,

故答案为：-1；

（2）令y=履+2中x=0,则y=2,

A（0,2）,

04=2,

S△COz/AlDB=2-OAOB=3,

：・OB=3,

・・・3(3,0)；

(3)将代入y=2x,得2%=g,

.••二,

3

当/CP3=90°时，点尸的横坐标为即尸］g，0

当NPCB=90°时，

24

将点。代入y=区+2,

3,3

24

：.-k+2=-

33

解得左=—1,

y—~x+2,

当＞=。时，x=2,

・・・3（2,0）,

**.OA=OB=2，

：./CPB=/CBP=45。,

过点C作CELQ5于点及

3

242

，点P的横坐标为=,

故答案为：［，0］或［一:0］

【点睛】此题考查了一次函数与正比例函数的综合应用，待定系数法求解析式，一次函数与图形面积问题，等腰直

角三角形的性质，熟练掌握一次函数的综合知识是解题的关键.

20.（2022上•江西吉安•八年级统考期末）我们把.、b、c三个数的中位数记作Z|a/,c|,直线>=自+；与函数

y=Z|2x—2,x+l,—x+1的图象有且只有2个交点，则左的值为.

【答案】:7或1或1

62

JC+1(X<0)

-x+l(O<x<l)

【分析】先得至Uy=Z|2x-2,x+l,-尤+1|=<再画出函数y=Z|2x-2,x+l,-x+l|的图象，要使直线

2x-2(l<x<3)

x+l(x>3)

丁=丘+；与函数y=Z|2x-2,x+l「x+l|的图象有且只有2个交点，只需直线经过（3,4）或经过（1,0）或平行于丁=尤+1

即可.

【详解】解：当2%-24工+14一%+1时,

解得：%<0,

当2%-24-犬+1Vx+1时,

解得：0<%<1,

当-x+lW2x-2Vx+1时,

解得：1<%<3,

当一元+14%+142%—2时,

解得：x>3,

x+l(x<0)

-x+l(O<x<l)

y=Z|2x—2,x+l,—x+l|

2x-2(l<x<3)

x+l(x>3)

工函数y=Z|2x—2,x+l,—尤+11的图象如图所示:

•••?=履+3与函数y=Z|2x-2,尤+1,T+”的图象有且只有2个交点，

117

当直线＞=丘+彳经过点（3,4）时，则4=3%+；；,解得k=j

226

当直线y=fct+；经过点（1,0）时，k=-£,

当左=1时，平行于、=a+1,与函数y=z|2x-2,x+L-x+l|的图象也有且仅有两个交点；

直线丫=丘+；与函数y=Z|2x-2,x+l,-x+l|的图象有且只有2个交点，

,71

则k的取值为二或-；或1.

o2

71

故答案为：工或-；或1.

【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质以及中位数的概念，一元一次不等式组的应用，数形结合思想的应用是

解本题的关键.

21.（2019上•江西抚州•八年级统考阶段练习）如图，直线y=-gx+3与坐标轴分别交于点43,与直线V=x交于

点C,。是线段0A上的动点，连接CQ,若AOQC是等腰三角形，则OQ的长为.

【答案】2或2&或4

【分析】先求出直线y=-gx+3与直线y=x交点C的坐标，若使AOQC是等腰三角形,分三种情况讨论,即OQ=CQ

或OC=OQ或OC=CQ,在直角三角形中利用勾股定理，根据等腰三角形的性质即可求出0Q.

【详解】①如图，当OQ=CQ时，过点C作CELOA于点E,

直线y=与直线y=x交于点c,

1c

——x+3=x

2

得x=2,

y=x=2

・・・C(2,2)

设OQ=CQ=x,QE=2-x

在RtACEQ中Y=22+(2-X)2

解得x=2

rA

■力

r(

fl

1ii、

11

/()0EAV

②当OC=OQ时，过点C作CELOA于点E,C(2,2)

在RtACEO中，OC2=22+22

OC=20

③当OC=CQ时，过点C作CELOA于点E

VOC=CQ

；.OE=EQ=2

.,.OQ=2OE=4

综上所示，若AOQC是等腰三角形，0Q的长为2或2夜或4

故答案为：2或20或4

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，在直角三角形中可用勾股定理解直角三角形，已知两条直线解析式可求出

交点坐标.

题型五：一次函数的应用

(173

22.(2023上•辽宁丹东•八年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，直线a,b相交于点C,OA=OB=1.下

7

列四个说法:

①a；

②C为线段8。中点;

③AABC沿八BOD；

④点E的坐标为.其中正确说法的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】先用待定系数法分别求出直线a6的解析式，再根据两条直线的斜率相乘是否等于-1即可判断①；求出

点。的坐标，即可判断②；用两点间的坐标公式求出3C、AC、3D的长，从而可以得出两个三角形的边的关系，

从而可以判断③；点E为直线。与》轴的交点，根据解析式即可求出坐标，从而可以判断④.

【详解】解：：04=08=1,

r.A点坐标为。，0),3点坐标为(-1,0),

设直线。的解析式为：y=klx+bi,

・直线〃经过A、C两点,

左+4=o

——i匕,+〃=——6

I2112

k[=F

解得

V3'

b[=

3

，直线。的解析式为：y=一是x+昱,

33

设直线b的解析式为：y=k2x+b2,

•.・直线b经过氏C两点,

—g+力=0

走

12-22

「•直线b的解析式为：）=底+若，

①kx=一^~,左2=百，

左］•左2=一~~X=—1，

:.aLb,故①正确，符合题意；

②点。为直线z?与y轴的交点，

.•・当元=0时，y=6,

...点O坐标为（0,若），

-1+010+66

-22"22y°

，C为线段3。中点，故②正确，符合题意;

③由图象得08=1,OD=&AB=2,

:.OB=BC,OD=AC,AB=BD,

・•.△ABC丝ABOD（SSS）,故③说法正确，符合题意;

④点E为直线。与y轴的交点，

当元=0时,y

3

.••点E的坐标为］O，WJ,故④说法正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式、判断两条直线垂直、判断点是线段的中点、三角形全等的判

定、求点的坐标等知识点，解题的关键是先用待定系数法求出两条直线的解析式.

23.（2022上.浙江湖州•八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4,0）,点Q是直线>=若

x上的一个动点，以A。为边，在的右侧作等边△AP。，使得点尸落在第一象限，连接。P,则OP+AP的最小

A.6B.473C.8D.6G

【答案】C

【分析】根据点Q的运动先证明点尸在直线尸闻是运动，再根据轴对称最值问题，作点尸关于直线PM的对称点B,

连接A8,求出的长即可.

【详解】解：如图，作/OAM=60。，边AM交直线OQ于点作直线

由直线>=若无可知，ZMOA=60°,

ZMOA=ZOAM=60°,

.,.△CMM是等边三角形，

：.OA=OM,

•••△APQ是等边三角形，

：.AQ=AP,ZB42=60°,

：.ZOAQ=ZMAP,

：./\OAQ^/\MAP（SAS）,

：.ZQOA=ZPMA=600=ZMAO,

轴，即点P在直线PM上运动，

过点。关于直线PM的对称点3,连接AB,即为所求最小值，

此时，在RtAOAB中，0A=4,ZBAO=60°,

/.ZOBA=30°,

：.AB=2OA^8.

故选：C.

【点睛】本题属于一次函数与几何综合题，涉及勾股定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定,

轴对称最值问题，旋转的性质等知识，解题的关键是得出点尸在直线尸M是运动.

24.（2022下・北京.八年级北京市陈经纶中学分校校考期中）如图，AABC中，AC=3C=13,把AABC放在平面

直角坐标系xOy中，且点A,8的坐标分别为（2,0）,（12,0）,将△ABC沿x轴向左平移，当点C落在直线>=-尤+8

上时，线段AC扫过的面积为（）

A.66B.108C.132D.162

【答案】C

【分析】过点C作COLx轴于点。，由点A、8的坐标利用勾股定理可求出点C的坐标，再利用一次函数图象上点

的坐标特征可求出点C移动后的坐标，借助平行四边形的面积即可得出线段AC扫过的面积.

【详解】过点C作CDLx轴于点D,如图所示.

;点A,B的坐标分别为(2,0),(12,0),AC=BC=13,

：.AD^BD=^AB^5,

CD=VAC2-AD2=12•

•••点C的坐标为(7,12).

当y=12时，有12=-x+8,

解得：x=-4,

点C平移后的坐标为(-4,12).

...△ABC沿x轴向左平移7-(