第1讲实数数的开方（练习）

第1讲实数、数的开方（练习）夯实基础一、单选题1．下列各数：，0，，，0.3030030003，中，无理数个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】根据无理数的定义：“无限不循环的小数是无理数”逐一判断即可得．【详解】解：在所列实数中，无理数有这2个，故选：A．【点睛】本题考查的是无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．2．下列说法中正确的是（）A．无限小数都是无理数B．无理数都是无限小数C．无理数可以分为正无理数、负无理数和零D．两个无理数的和、差、积、商一定是无理数【答案】B【分析】根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数，即可判断．【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，故A错误；B、无理数是无限不循环小数，是无限小数，故B正确；C、零是有理数，不是无理数，故C错误；D、两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数，故D错误；故选择：B.【点睛】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，注意两个无理数的和，差，积，商不一定还是无理数．3．下列说法正确的是（）A．任意一个数算术平方根是正数 B．只有正数才有算术平方根C．因为3的平方是9，所以9的平方根是3 D．1是1的平方根【答案】D【分析】根据算术平方根以及平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法．【详解】解：A.正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，故A选项错误；

B.0也有算术平方根，是0，故B选项错误；

C.应为3是9的平方根，所以9的平方根是±3，故C选项错误；

D.1是1的平方根，故D选项正确．

故选D．【点睛】本题考查了算术平方根以及平方根的定义，是基础题，需要熟练掌握．4．下列计算错误的是()A． B． C． D．【答案】A【分析】根据算术平方根依次化简各选项即可判断.【详解】A：，故A错误，符合题意；B：正确，故B不符合题意；C：正确，故C不符合题意；D：正确，故D不符合题意.故选：A.【点睛】此题考查算术平方根，依据，进行判断.5．下列各式中，正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平方根、有理数的乘方运算逐项判断即可．【详解】A、，此项正确B、，此项错误C、，无意义，此项错误D、，此项错误故选：A．【点睛】本题考查了平方根、有理数的乘方运算，熟记运算法则是解题关键．6．下列说法中，不正确的是（）A．的平方根是 B．8的立方根是2C．64的立方根是 D．的平方根是【答案】C【分析】根据平方根和立方根的定义进行计算，再逐一判断即可【详解】解：A.的平方根是，原选项不合题意B.8的立方根是2，原选项不合题意C.64的立方根是，原选项符合题意D.的平方根是，原选项不合题意故选：C【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念，熟练掌握相关知识是解题的关键7．下列说法正确的是（）A．81的平方根是9 B．的平方根是C． D．一定是负数【答案】D【分析】根据平方根的性质、算术平方跟的性质进行逐一分析判断．【详解】解：A、因为负数没有平方根，故本选项错误；

B、∵=9，∴的平方根是±，即±3，故本选项错误；

C、∵，∴x+=2x或0，故本选项错误；

D、∵a2+1＞0，∴＜0，故本选项正确．故选：D.【点睛】此题考查了平方根的性质以及算术平方根的性质；正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0．8．下列说法中正确的是（）A．的平方根是2 B．负数没有立方根C．零没有平方根 D．任意一个实数都有立方根【答案】D【分析】分别根据平方根及立方根的定义对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、的平方根是2，故本选项错误；

B、负数没有平方根，但有立方根，故本选项错误；C、0的平方根是0，故本选项错误；

D、符合立方根的性质，故本选项正确．

故选：D．【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，熟知平方根及立方根的定义是解答此题的关键．二、填空题9．下列各数、、、3.14、0.80108、、0.1010010001…（1和1之间每一个间隔就多一个0）、、0.451452453454，其中无理数的个数是_____________________。【答案】2个【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．【详解】解：=1，=1，=2，所以无理数有：、0.1010010001…，共2个．

故答案为：2个．【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．10．如图，数轴上表示数的点是．【答案】B【解析】首先估算的大小，再利用实数与数轴的关系可得答案．解：因为实数≈1.732，所以应介于1与2之间且比较靠近2，根据图示可得表示数的点是点B．故答案为B．11．1000的立方根是________．【答案】10【分析】根据立方根的定义求解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查对立方根的理解，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0．12．若一个数的立方根就是它本身，则这个数是________．【答案】±1，0【分析】根据立方根的定义求解即可.【详解】∵13=1，(1)3=1，03=0，∴1的立方根是1，1的立方根是1，0的立方根是0，∴一个数的立方根就是它本身，则这个数是±1，0.故答案为±1，0.【点睛】本题主要考查对立方根的理解，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根.正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0.13．计算：＝_____．【答案】10．【分析】先算乘方，再算加法，最后根据算术平方根的定义化简即可【详解】解：（1）；故答案为：10．【点睛】本题主要考查的是实数的运算，熟悉相关性质是解题的关键．14．＝_____．【答案】2【分析】根据立方根的性质进行求解即可；【详解】解：＝﹣2．故答案为：﹣2．【点睛】本题主要考查了立方根的计算，准确计算是解题的关键．15．计算：______．【答案】0.75【分析】根据立方根的运算即可得．【详解】故答案为：．【点睛】本题考查了立方根的运算，熟记运算法则是解题关键．16．是25的平方根，则为____________．【答案】或【分析】已知是25的平方根，根据平方根的概念，可得=5或=5，即可求出m值．【详解】∵是25的平方根∴=5或=5∴m=4或m=6故答案为：或【点睛】本题考查了平方根的概念：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．表示方法：正数a的平方根表示为，读作“正、负根号a”．17．计算：__________．【答案】【分析】运用乘方运算和开方运算的互逆关系求解即可.【详解】解：∵，∴，故答案为：2【点睛】本题主要考查乘方运算和开方运算的互逆关系，常常借助乘方运算求数的开方运算.能力提升一、单选题1．下列运算中正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】A、B、C按照算术平方根，D按照指数幂的运算法则运算即可．【详解】A.，故此项错误；B.，故此项正确；C.，故此项错误；D.，故此项错误．故答案选B．【点睛】本题考查了算术平方根，指数幂的运算法则,熟悉法则是解答此题的关键．2．下列说法正确的是（）A．是0.5的平方根B．正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0C．的平方根是7D．负数有一个平方根【答案】B【分析】根据0.5是0.25的一个平方根可对A进行判断；根据一个正数的平方根互为相反数可对B进行判断；根据平方根的定义对C、D进行判断．【详解】A、0.5是0.25的一个平方根，所以A选项错误；B、正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0，所以B选项正确；C、72的平方根为±7，所以C选项错误；D、负数没有平方根．故选B．【点睛】本题考查了平方根：若一个数的平方定义a，则这个数叫a的平方根，记作±（a≥0）；0的平方根为0．3．下列说法中，错误的是A．一个正数的两个平方根的和为零 B．任意一个实数都有奇次方根C．平方根和立方根相等的数只有零 D．mm＞0的4次方根是【答案】D【分析】根据平方根、立方根、开方的定义和性质对每一项分别进行分析即可．【详解A．一个正数的两个平方根的和为零，故本选项正确；B．任意一个实数都有奇次方根，故本选项正确；C．平方根和立方根相等的数只有零，故本选项正确；D．m（m＞0）的4次方根是±4m故选D．【点睛】本题考查了实数，用到的知识点是平方根、立方根、开方，熟练掌握课本中的有关定义和性质是本题的关键．4．下列说法中，正确的是（）A．1的任何次方根都是1； B．0的任何次方都是0； C．负数没有方根； D．正数的平方根互为相反数【答案】D【分析】依据方根的定义和性质求解即可．【详解】A.1的平方根是±1，故此选项错误；B.0没有0次方，故此选项错误；C.负数有立方根，故此选项错误；D.正数有一个两个平方根，而且这两个平方根互为相反数，故此选项正确.故选D.【点睛】本题主要考查的是方根的性质，熟练掌握方根的性质是解题的关键．5．下列说法正确的是()A．的平方根是±3B．的算术平方根是5C．负数没有立方根D．是5的算术平方根【答案】D【分析】分别根据算术平方根以及平方根和立方根的定义分析得出即可．【详解】A、=3，3平方根是±，故此选项错误；B、（5）2的算术平方根是5，故此选项错误；C、负数有一个负立方根，故此选项错误；D、是5的算术平方根，此选项正确．故选D．【点睛】此题主要考查了算术平方根以及平方根和立方根的定义，熟练掌握它们的定义得出是解题关键．6．下列说法正确的是()A．平方根是本身的数只有0; B．立方根是本身的数只有0和1;C．绝对值是本身的数只有0和1; D．相反数是本身的数只有0和1.【答案】A【分析】分别根据平方根，立方根，绝对值，相反数的定义即可得出答案.【详解】解：平方根是本身的数有O，故A正确；立方根是本身的数只有0、1和1，故B错误；绝对值是本身的数是非负数，故C错误；相反数是本身的数只有0，故D错误.故答案为A.【点睛】本题考查了平方根，立方根，绝对值，相反数的定义，灵活运用定义是解题的关键.7．–27的立方根与的平方根之和是A．0 B．–6C．0或–6 D．6【答案】C【分析】根据立方根的定义求得27的立方根是3，根据平方根的性质，的平方根是±3，由此即可得到它们的和．【详解】∵27的立方根是3，而=9，9的平方根是±3，所以它们的和为0或6．故选C．【点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．8．下列各数：0，32，(－5)2，－4，－|－16|，π，其中有平方根的个数是()A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】B【分析】由于负数没有平方根，先计算所给的数，再根据平方根的定义即可判断．【详解】∵（5）2=25＞0，4＜0，|16|=16＜0，题中数据非负数有0，32，（5）2=25，π，共4个．故选B．【点睛】本题主要考查了平方根定义的运用．如果x2=a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根并且互为相反数，我们把正的平方根叫a的算术平方根．若a=0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．9．下列说法正确的是（）A．﹣81平方根是﹣9B．的平方根是±9C．平方根等于它本身的数是1和0D．一定是正数【答案】D【分析】根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根进行分析即可．【详解】A、﹣81没有平方根，故A选项错误；B、＝9的平方根是±3，故B选项错误；C、平方根等于它本身的数是0，故C选项错误；D、一定是正数，故D选项正确，故选D．【点睛】本题主要考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的性质．二、填空题10．的立方根是___________．【答案】2【分析】的值为8，根据立方根的定义即可求解．【详解】解：，8的立方根是2，故答案为：2．【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．11．的值是_________；的立方根是_________．【答案】16【分析】根据平方根和立方根的定义进行解答．【详解】∴的立方根是故答案为：16；．【点睛】本题考查了平方根和立方根的问题，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．12．下列各式中：①；②；③；④期中正确的有____________.（填写序号）【答案】④.【分析】根据立方根，合并同类项，完全平方公式，进行计算即可；【详解】①，故错误；②，不是同类项不能合并，故错误；③，故错误；④，故正确；故答案为：④.【点睛】此题考查立方根，合并同类项，完全平方公式，解题关键在于掌握运算法则.13．已知且，则_________.【答案】±3【分析】由可得xy=1，代入可得x2+y2=7，利用完全平方公式可得(x+y)2=9，根据平方根的定义即可得答案.【详解】∵，∴xy==1，∵，∴x2+y2=7，∴x2+y2+2xy=7+2=9，即(x+y)2=9，∴x+y=±3.故答案为：±3【点睛】本题考查了完全平方公式及平方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数.熟练掌握完全平方公式是解题关键.14．若___________.【答案】36.【分析】根据非负数的性质列出关于x、y的方程，再求出x、y的值，然后代入所求代数式进行计算即可求解.【详解】解：由题意得：x+4=0，y－5=0，解得x=－4，y=5，所以.故答案为36.【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0.15．已知那么______.【答案】17.03【分析】根据题意，利用算术平方根性质即可确定出结果．【详解】∵，∴17.03．故答案为：17.03．【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根性质是解答本题的关键．16．一个数的两个不同的平方根是＋和2a－6b＋10，那么这个数是________.【答案】100【分析】根据一个数的平方根互为相反数可得出a,b的值,代入后即可得出这个数.．【详解】解：由题意可知：a²+b²+2a6b+10=0，∴(a+1)²+(b3)²=0,∴a=1,b=3,∴这个数是(a²+b²)²=(1+9)²=100,

故答案为：100.【点睛】本题考查了平方根及解一元一次方程的知识,难度一般,解题的关键是掌握：一个数的两个不同的平方根有两个,且互为相反数.17．一个棱长为1dm的正方体，要使它保持正方体形状但体积增加1倍，则这个新正方体的棱长是______dm.【答案】【分析】首先根据题意求出正方体的体积，再求立方根即可得出结果．【详解】∵2×13=2(dm3)，∴新正方体的棱长是dm3．故答案为.【点睛】本题考查了正方体的体积、立方根；熟练掌握立方根的概念，根据题意求出正方体的体积是解决问题的关键．18．学校要围一个占地面积144平方米的正方形花圃，需要准备竹篱笆的长度为_______.【答案】48米【分析】正方形的面积等于边长的平方，所以边长应该是面积的算术平方根，而正方形的周长是边长的4倍，由此可以求出篱笆的长度.【详解】∵正方形花圃的面积为144平方米，∴正方形花圃的边长为12米，因此，所需要准备竹篱笆的长度为：12×4=48（米）.故答案为48米.【点睛】本题考查了算术平方根的应用以及正方形的性质.19．已知｜a+2｜=0，那么=______.【答案】2【分析】由于|a+2|≥0，≥0，而|a+2|=0，由此即可得到|a+2|=0，=0，接着可以求出a、b的值，然后代入所求代数式即可求出结果．【详解】∵|a+2|≥0，≥0，|a+2|+=0，∴|a+2|=0，=0，∴a+2=0，b10=0，∴a=2，b=10，∴．故答案为2．【点睛】此题主要考查了非负数的性质，首先根据非负数的性质确定待定的字母的取值，然后代入所求代数式计算即可解决问题．20．如果，那么xy的立方根是_________【答案】1.5【分析】根据偶次方和算术平方根的非负性得出方程，求出方程的解，再代入求出立方根即可．【详解】∵，∴2x3=0，解得x=，94y=0，解得y=，xy=×=，∴xy的立方根为．故答案为．【点睛】本题考查了偶次方和算术平方根，方程的思想，立方根的应用，关键是求出x、y的值．21．计算：42÷34=_______，【答案】490.3【分析】根据算术平方根和立方根定义进行分析.【详解】42÷故答案为：49，【点睛】考核知识点：算术平方根和立方根.理解定义是关键.三、解答题22．已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．【答案】±3【分析】先根据2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4求出ab的值，再求出a+2b的值，由平方根的定义进行解答即可．【详解】解：∵2a﹣1的平方根为±3，∴2a﹣1＝9，解得，2a＝10，a＝5；∵3a+b﹣1的算术平方根为4，∴3a+b﹣1＝16，即15+b﹣1＝16，解得b＝2，∴a+2b＝5+4＝9，∴a+2b的平方根为：±3．【点睛】本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解答此题的关键．23．已知，求的平方根。【答案】【分析】根据二次根式和绝对值的非负性，可以列出方程求得a和b的值，进而求出的值，再算出平方根即可.【详解】∵，∴a24=0,,解得：a=24,,∴=24+=49,∴的平方根为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了二次根式和绝对值的非负性，平方根的定义，根据已知条件列出方程是解题的关键.24．若(x+1)2+(x+y)2【答案】0【分析】首先根据实数中的非负数及性质求出x、y的值，然后将x、y的值代入化简后的代数式中，即可得出答案.【详解】∵(x+1)2∴x+1=0,x+y=0,∴x=1,y=1,∴x2(y−x)(x+y)=(故答案为：0.【点睛】此题考查非负性：偶次幂，解题关键在于利用非负性进行解答.25．若实数使得与互为相反数,求的四次方根.【答