专题01圆的综合题中考题型训练

专题1圆的综合题中考题型训练1．（2022•杭州）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝36度；的值等于．【分析】由等腰三角形的性质得出∠DAE＝∠DEA，证出∠BEC＝∠BCE，由折叠的性质得出∠ECO＝∠BCO，设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，证出∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，∠CEB＝2x，由三角形内角和定理可得出答案；证明△CEO∽△BEC，由相似三角形的性质得出，设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，得出a2＝x（x+a），求出OE＝a，证明△BCE∽△DAE，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．【解答】解：∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵∠DEA＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，∴∠BEC＝∠BCE，∵将该圆形纸片沿直线CO对折，∴∠ECO＝∠BCO，又∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，∴∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，∴∠CEB＝2x，∵∠BEC+∠BCE+∠B＝180°，∴x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠B＝36°；∵∠ECO＝∠B，∠CEO＝∠CEB，∴△CEO∽△BEC，∴，∴CE2＝EO•BE，设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，∴a2＝x（x+a），解得，x＝a（负值舍去），∴OE＝a，∴AE＝OA﹣OE＝a﹣a＝a，∵∠AED＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，∴△BCE∽△DAE，∴，∴＝．故答案为：36，．2．（2022•德州）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为底边BC的中点，过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N．（1）AB与⊙O的位置关系为相切；（2）求证：AC是⊙O的切线；（3）如图2，连接DM，DM＝4，∠A＝96°，求⊙O的直径．（结果保留小数点后一位．参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）【分析】（1）利用直线与圆的相切的定义解答即可；（2）过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，通过证明OE＝OD，利用直线与圆相切的定义解答即可；（3）过点O作OF⊥DM于点F，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠BOD＝48°，再利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理求得圆的半径，则圆的直径可求．【解答】（1）解：∵OD⊥AB，点O为圆心，OD为半径，∴直线AB到圆心O的距离等于圆的半径，∴AB为⊙O的切线，∴AB与⊙O的位置关系为相切，故答案为：相切；（2）证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，如图，∵AB＝AC，O为底边BC的中点，∴AO为∠BAC的平分线，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD＝OE，∵OD为⊙O的半径，∴OE为⊙O的半径，这样，直线AC到圆心O的距离等于圆的半径，∴AC是⊙O的切线；（3）解：过点O作OF⊥DM于点F，如图，∵AB＝AC，∠A＝96°，∴∠B＝∠C＝＝42°，∵OD⊥AB，∴∠BOD＝90°﹣∠B＝48°．∵OF⊥DM，∴DF＝MF＝DM＝2，∵OD＝OM，OF⊥DM，∴OF为∠DOM的平分线，∴∠DOF＝∠BOD＝24°．在Rt△ODF中，∵sin∠DOF＝，∴sin24°＝，∴OD＝≈≈4.9，∴⊙O的直径＝2OD＝2×4.9＝9.8．3．（2022•河池）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA＝∠CBD．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）若PC＝2BO，PB＝12，求⊙O的半径及BE的长．【分析】（1）欲证明PC是⊙O的切线，只要证明PC⊥OC即可；（2）设OB＝OC＝r，证明OP＝3r，可得4r＝12，推出r＝3，利用平行线分线段成比例定理求出BD，BE即可．【解答】（1）证明：连接OC，∵BC平分∠ABE，∴∠ABC＝∠CBD，∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，∵∠PCA＝∠CBD，∴∠PCA＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠PCA+∠ACO＝90°，∴∠PCO＝90°，∴OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线；（2）解：连接AE，设OB＝OC＝r，∵PC＝2OB，∴PC＝2r，∴OP＝＝＝3r，∵PB＝12，∴4r＝12，∴r＝3，由（1）可知，∠OCB＝∠CBD，∴OC∥BD，∴＝，∠D＝∠PCO＝90°，∴＝，∴BD＝4，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠D＝90°，∴AE∥PD，∴＝，∴＝，∴BE＝2．4．（2022•黄石）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2，求AE•AP的值．【分析】（1）连接OA，先得出∠OAC+∠OAD＝90°，再得出∠BAC+∠OAC＝90°，进而得出∠BAO＝90°，最后根据切线的判定得出结论；（2）先得出△BCA∽△BAD，进而得出，设半径OC＝OA＝r，根据勾股定理得出AB＝r，最后根据三角函数得出结果；（3）由（2）的结论，得出r＝，结合直角三角形的性质得出AC＝2，AD＝2，然后得出△CAP∽EAD，最后根据AE•AP＝AC•AD得出结论．【解答】（1）证明：连接OA，∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴∠OAC+∠OAD＝90°，又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵∠BAC＝∠ADB，∴∠BAC+∠OAC＝90°，即∠BAO＝90°，∴AB⊥OA，又∵OA为半径，∴直线AB是⊙O的切线；（2）解：∵∠BAC＝∠ADB，∠B＝∠B，∴△BCA∽△BAD，∴，设半径OC＝OA＝r，∵BC＝2OC，∴BC＝2r，OB＝3r，在Rt△BAO中，AB＝，在Rt△CAD中，tan∠ADC＝；（3）解：在（2）的条件下，AB＝2r＝2，∴r＝，∴CD＝2，在Rt△CAD中，，AC2+AD2＝CD2，解得AC＝2，AD＝2，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝∠EAD，又∵∠APC＝∠ADE，∴△CAP∽△EAD，∴，∴AE•AP＝AC•AD＝2×2＝4．5．（2022•贵阳）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，连接BC．ED垂直平分OB，垂足为E，且交于点F，交BC于点P，连接BF，CF．（1）求证：∠DCP＝∠DPC；（2）当BC平分∠ABF时，求证：CF∥AB；（3）在（2）的条件下，OB＝2，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，由CD是⊙O的切线得∠OCB+∠DCP＝90°，又DE⊥OB，有∠OBC+∠BPE＝90°，可得∠DCP＝∠BPE，即得∠DCP＝∠DPC；（2）连接OF，根据ED垂直平分OB，可得△BOF是等边三角形，有∠FOB＝∠ABF＝60°，∠FCB＝∠FOB＝30°，而BC平分∠ABF，有∠ABC＝∠ABF＝30°，故∠FCB＝∠ABC，知CF∥AB；（3）连接OF、OC，由∠ABC＝∠CBF＝30°，得∠COF＝2∠CBF＝60°，即得S扇形COF＝，而OC＝OF，∠COF＝60°，可得△COF是等边三角形，有CF＝OF＝OB＝2，在Rt△FEB中，EF＝＝，可得S△COF＝CF•EF＝×2×＝，从而S阴影＝S扇形COF﹣S△COF＝﹣．【解答】（1）证明：连接OC，如图：∵CD是⊙O的切线，C为切点，∴∠DCO＝90°，即∠OCB+∠DCP＝90°，∵DE⊥OB，∴∠DEB＝90°，∴∠OBC+∠BPE＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DCP＝∠BPE，∵∠BPE＝∠DPC，∴∠DCP＝∠DPC；（2）证明：连接OF，如图：∵ED垂直平分OB，∴OF＝BF，∵OF＝OB，∴BF＝OF＝OB，∴△BOF是等边三角形，∴∠FOB＝∠ABF＝60°，∴∠FCB＝∠FOB＝30°，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠ABF＝30°，∴∠FCB＝∠ABC，∴CF∥AB；（3）解：连接OF、OC，如图：由（2）知，∠ABC＝∠CBF＝30°，∴∠COF＝2∠CBF＝60°，∵OB＝2，即⊙O半径为2，∴S扇形COF＝＝，∵OC＝OF，∠COF＝60°，∴△COF是等边三角形，∴CF＝OF＝OB＝2，∵ED垂直平分OB，∴OE＝BE＝OB＝1，∠FEB＝90°，在Rt△FEB中，EF＝＝＝，∴S△COF＝CF•EF＝×2×＝，∴S阴影＝S扇形COF﹣S△COF＝﹣，答：阴影部分的面积为﹣．6．（2022•遵义）综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）∴点A，B，C，D四点在同一个圆上反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆．（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为45°．拓展探究：（3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．①求证：A，D，B，E四点共圆；②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可；（2）根据四点共圆、圆周角定理解答；（3）①根据轴对称的性质得到AE＝AC，DE＝DC，∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，进而得到∠AED＝∠ABC，证明结论；②连接CF，证明△ABD∽△AFB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）解：依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆，故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；（2）解：∵∠1＝∠2，∴点A，B，C，D四点在同一个圆上，∴∠3＝∠4，∵∠3＝45°，∴∠4＝45°，故答案为：45°；（3）①证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵点E与点C关于AD的对称，∴AE＝AC，DE＝DC，∴∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，∴∠AED＝∠ACB，∴∠AED＝∠ABC，∴A，D，B，E四点共圆；②解：AD•AF的值不会发生变化，理由如下：如图4，连接CF，∵点E与点C关于AD的对称，∴FE＝FC，∴∠FEC＝∠FCE，∴∠FED＝∠FCD，∵A，D，B，E四点共圆，∴∠FED＝∠BAF，∴∠BAF＝∠FCD，∴A，B，F，C四点共圆，∴∠AFB＝∠ACB＝∠ABC，∵∠BAD＝∠FAB，∴△ABD∽△AFB，∴＝，∴AD•AF＝AB2＝8．7．（2022•绵阳）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．（1）求证：BC∥PF；（2）若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；（3）在（2）的条件下，求△DCP的面积．【分析】（1）连接OD，利用垂径定理和圆的切线的性质定理，平行线的判定定理解答即可；（2）连接OD，BD，设AE＝x，则AD＝1+x，利用相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论；（3）连接OD，BD，设OD与BC交于点H，利用直角三角形的边角关系定理求得DH，CE的长度，通过判定四边形CHDP为矩形得到△DCP为直角三角形和两直角边的长，利用三角形的面积公式即可求得结论．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵D为劣弧的中点，∴，∴OD⊥BC．∵PF是⊙O的切线，∴OD⊥PF，∴BC∥PF；（2）连接OD，BD，如图，设AE＝x，则AD＝1+x．∵D为劣弧的中点，∴，∴CD＝BD，∠DCB＝∠CAD．∵∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC，∴，∴CD2＝DE•AD＝1×（1+x）＝1+x．∴BD2＝1+x．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD2+BD2＝AB2．∵⊙O的半径为，∴AB＝2．∴，解得：x＝3或x＝﹣6（不合题意，舍去），∴AE＝3．（3）连接OD，BD，设OD与BC交于点H，如图，由（2）知：AE＝3，AD＝AE+DE＝4，DB＝＝2，∵∠ADB＝90°，∴cos∠DAB＝＝．∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，∴cos∠ADO＝cos∠DAB＝．∵OH⊥BC，∴BH＝CH，cos∠ADO＝，∴DH＝DE×＝．∴OH＝OD﹣DH＝﹣＝．∴BH＝＝，∴CH＝BH＝．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，由（1）知：OD⊥PD，OH⊥BC，∴四边形CHDP为矩形，∴∠P＝90°，CP＝DH＝，DP＝CH＝，∴△DCP的面积＝CP•DP＝．8．（2022•柳州）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求sin∠FHG的值；（3）若GH＝4，HB＝2，求⊙O的直径．【分析】（1）连接OF，证明OF⊥CD即可；（2）证明∠FGH＝∠FHG＝45°，可得结论；（3）过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．则HM＝HN，可得＝＝＝＝2设DB＝k，DF＝2k，证明△DFB∽△DAF，推出DF2＝DB•DA，可得AD＝4k，由GD平分∠ADF，同法可得＝＝，推出AG＝8，再利用勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：连接OF．∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA，∵＝，∴∠CAF＝∠FAB，∴∠CAF＝∠AFO，∴OF∥AC，∵AC⊥CD，∴OF⊥CD，∵OF是半径，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∵OF⊥CD，∴∠OFD＝∠AFB＝90°，∴∠AFO＝∠DFB，∵∠OAF＝∠OFA，∴∠DFB＝∠OAF，∵GD平分∠ADF，∴∠ADG＝∠FDG，∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，∴∠FGH＝∠FHG＝45°，∴sin∠FHG＝；（3）解：过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．∵HD平分∠ADF，∴HM＝HN，∵＝＝＝，∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝4，∴FH＝FG＝4，∴＝＝2，设DB＝k，DF＝2k，∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF，∴△DFB∽△DAF，∴DF2＝DB•DA，∴AD＝4k，∵GD平分∠ADF，∴∠FDH＝∠ADG，∴△FDH∽△ADG，∴＝＝，∴AG＝8，∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，∴AB＝＝＝6，∴⊙O的直径为6．解法二：由（2）可知sin∠FHG＝，∴FH＝FG＝4，∴FB＝FH+HB＝4+2＝6，＝2，∵DG是∠FDA的角平分线，可证＝＝2，∵△DAF∽△DFB，∴＝，∴AF＝12，∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，∴AB＝＝6．9．（2022•上海）如图，在▱ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE．（1）如果AE＝CE．ⅰ．求证：▱ABCD为菱形；ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求线段BD的长；（2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CE＝AE，求的值．【分析】（1）i．证明：如图，连接AC交BD于点O，证明△AOE≌△COE（SSS），由全等三角形的性质得出∠AOE＝∠COE，证出AC⊥BD，由菱形的判定可得出结论；ii．由重心的性质得出BE＝2OE，设OE＝x，则BE＝2x，由勾股定理得出9﹣x2＝25﹣9x2，求出x的值，则可得出答案；（2）方法一：由相交两圆的性质得出AB⊥EF，由（1）②知点E是△ABC的重心，由重心的性质及勾股定理得出答案．方法二：设EP＝x，则AE＝2x，CE＝2x，证出∠DCE＝90°，延长AP交DC的延长线于点Q，则CQ＝CD，由勾股定理可得出答案．【解答】（1）i．证明：如图，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE＝CE，OE＝OE，∴△AOE≌△COE（SSS），∴∠AOE＝∠COE，∵∠AOE+∠COE＝180°，∴∠COE＝90°，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD为菱形；ii．解：∵OA＝OC，∴OB是△ABC的中线，∵P为BC的中点，∴AP是△ABC的中线，∴点E是△ABC的重心，∴BE＝2OE，设OE＝x，则BE＝2x，在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA2＝AE2﹣OE2＝32﹣x2＝9﹣x2，在Rt△AOB中，由勾股定理得，OA2＝AB2﹣OB2＝52﹣（3x）2＝25﹣9x2，∴9﹣x2＝25﹣9x2，解得x＝（负值舍去），∴OB＝3x＝3，∴BD＝2OB＝6；（2）解：：如图，∵⊙A与⊙B相交于E，F，∴AB⊥EF，由（1）②知点E是△ABC的重心，又∵F在直线CE上，∴CG是△ABC的中线，∴AG＝BG＝AB，EG＝CE，∵CE＝AE，∴GE＝AE，CG＝CE+EG＝AE，∴AG2＝AE2﹣EG2＝AE2﹣＝，∴AG＝AE，∴AB＝2AG＝AE，∴BC2＝BG2+CG2＝AE2+＝5AE2，∴BC＝AE，∴．10．（2022•深圳）一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径．半圆O上点C处有个吊灯EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中点为D，OA＝4．（1）如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度．（2）如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝，求ON的长度．（3）如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线交圆O于点N，在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．【分析】（1）根据题意得出DF是△COM的中位线，即点D是OC的中点，据此求解即可；（2）过点N作ND⊥OH于点D，根据题意得到△NHD是等腰直角三角形，则ND＝HD，根据锐角三角函数求出ND＝，OD＝，再根据勾股定理求解即可；（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合，当点M运动至点B时，点N运动至点T，故点N的运动路径长为OA+的长，据此求解即可．【解答】解：（1）∵OM＝1.6，DF＝0.8，EF∥AB，∴DF是△COM的中位线，∴点D是OC的中点，∵OC＝OA＝4，∴CD＝2；（2）如图②，过点N作ND⊥OH于点D，∵∠OHN＝45°，∴△NHD是等腰直角三角形，∴ND＝HD，∵tan∠COH＝，∠NDO＝90°，∴＝，设ND＝3x＝HD，则OD＝4x，∵OH＝OA＝4，∴OH＝3x+4x＝4，∴x＝，∴ND＝×3＝，OD＝×4＝，∴ON＝＝；（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合，当点M运动至点B时，点N运动至点T，故点N的运动路径长为OA+的长，∵∠HOM＝50°，OH＝OB，∴∠OHB＝∠OBH＝65°，∵∠OHM＝∠OHT，OH＝OT，∴∠OTH＝∠OHT＝65°，∴∠TOH＝50°，∴∠AOT＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴的长＝＝π，∴点N的运动路径长＝4+π．11．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．【分析】（1）①根据定义，先求出P'的坐标，从而得出Q的位置；②连接PP'，利用三角形中位线定理得NT＝PP'，从而证明结论；（2）连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM，由题意知，PP1∥OM，PP1＝OM，P1N＝NQ，利用三角形中位线定理得QT的长，从而求出SQ的长，在△PQS中，PS﹣QS＜PS+QS，则PQ的最小值为PS﹣QS，PQ的最大值为PS+QS，从而解决问题．【解答】解：（1）①由题意知，P'（﹣2+1，0+1），∴P'（﹣1，1），如图，点Q即为所求；②连接PP'，∵∠P'PO＝∠MOx＝45°，∴PP'∥ON，∵P'N＝QN，∴PT＝QT，∴NT＝PP'，∵PP'＝OM，∴NT＝OM；（2）如图，连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM，由题意知，PP'∥OM，PP'＝OM，P'N＝NQ，∴TQ＝2MN，∵MN＝OM﹣ON＝1﹣t，∴TQ＝2﹣2t，∴SQ＝ST﹣TQ＝1﹣（2﹣2t）＝2t﹣1，∵PS﹣QS≤PQ≤PS+QS，∴PQ的最小值为PS﹣QS，PQ的最大值为PS+QS，∴PQ长的最大值与最小值的差为（PS+QS）﹣（PS﹣QS）＝2QS＝4t﹣2．12．（2022•内江）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，证明△AOF≌△COF（SAS），由全等三角形的判定与性质得出∠OAF＝∠OCF＝90°，由切线的判定可得出结论；（2）由直角三角形的性质求出∠AOF＝30°，可得出AE＝OA＝3，则可求出答案；（3）证明△AOC是等边三角形，求出∠AOC＝60°，OC＝6，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案．【解答】解：（1）直线AF与⊙O相切．理由如下：连接OC，∵PC为圆O切线，∴CP⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵OF∥BC，∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠AOF＝∠COF，∵在△AOF和△COF中，，∴△AOF≌△COF（SAS），∴∠OAF＝∠OCF＝90°，∴AF⊥OA，又∵OA为圆O的半径，∴AF为圆O的切线；（2）∵∠AOF＝∠COF，OA＝OC，∴E为AC中点，即AE＝CE＝AC，OE⊥AC，∵∠OAF＝90°，OA＝6，AF＝2，∴tan∠AOF＝，∴∠AOF＝30°，∴AE＝OA＝3，∴AC＝2AE＝6；（3）∵AC＝OA＝6，OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，OC＝6，∵∠OCP＝90°，∴CP＝OC＝6，∴S△OCP＝OC•CP＝＝18，S扇形AOC＝＝6π，∴阴影部分的面积为S△OCP﹣S扇形AOC＝18﹣6π．13．（2022•梧州）如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作CD∥AB，且CD＝OB．连接AD，分别交OC，BC于点E，F，与⊙O交于点G，若∠ABC＝45°．（1）求证：①△ABF∽△DCF；②CD是⊙O的切线．（2）求的值．【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠FAB＝∠D，根据对顶角相等得到∠AFB＝∠DFC，根据相似三角形的判定定理证明△ABF∽△DCF；②根据圆周角定理得到∠AOC＝90°，根据平行线的性质得到∠DCO＝∠AOC＝90°，根据切线的判定定理证明结论；（2）过点F作FH∥AB交OC于H，设圆的半径为2a，根据勾股定理用a表示出AE，进而求出AD，根据相似三角形的性质求出EF，再根据相似三角形的性质求出DG，进而求出FG，计算即可．【解答】（1）证明：①∵CD∥AB，∴∠FAB＝∠D，∵∠AFB＝∠DFC，∴△ABF∽△DCF；②∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∵CD∥AB，∴∠DCO＝∠AOC＝90°，∵OC是半圆的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点F作FH∥AB交OC于H，设圆的半径为2a，∵CD＝OB＝OA，CD∥AB，∴CE＝OE＝a，AE＝DE，由勾股定理得：AE＝＝a，∴AD＝2a，∵△ABF∽△DCF，∴＝＝，∵FH∥AB，∴＝＝，∵FH∥AB，∴＝＝，∴EF＝，∵CD是⊙O的切线，∴DC2＝DG•DA，即（2a）2＝DG•2a，解得：DG＝，∴FG＝a﹣﹣＝，∴＝＝．14．（2022•大庆）如图，已知BC是△ABC外接圆⊙O的直径，BC＝16．点D为⊙O外的一点，∠ACD＝∠B．点E为AC中点，弦FG过点E，EF＝2EG，连接OE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：（OC+OE）（OC﹣OE）＝EG•EF；（3）当FG∥BC时，求弦FG的长．【分析】（1）由BC是△ABC外接圆⊙O的直径，得∠ABC+∠ACB＝90°，根据∠ACD＝∠B，即得∠BCD＝90°，从而CD是⊙O的切线；（2）连接AF，CG，证明△AEF∽△GEC，可得AE•CE＝EG•EF，根据E为AC的中点，有AE＝CE，OE⊥AC，即可得OC2﹣OE2＝EG•EF，（OC+OE）（OC﹣OE）＝EG•EF；（3）过O作ON⊥FG于N，延长EG交CD于M，由四边形MNOC是矩形，得MN＝OC＝BC＝8，根据EF＝2EG，可得NG＝EG，NE＝EG，EM＝MN﹣NE＝8﹣EG，因CE2＝EG•EF＝2EG2，可得2EG2﹣（8﹣EG）2＝（82﹣2EG2）﹣（EG）2，解得EG即可得FG＝3EG＝3﹣3．【解答】（1）证明：∵BC是△ABC外接圆⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD+∠ACB＝90°，即∠BCD＝90°，∴BC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）证明：连接AF，CG，如图：∵＝，∴∠AFE＝∠GCE，∵∠AEF＝∠GEC，∴△AEF∽△GEC，∴＝，∴AE•CE＝EG•EF，∵E为AC的中点，∴AE＝CE，OE⊥AC，∴CE2＝OC2﹣OE2，AE•CE＝CE•CE＝CE2＝EG•EF，∴OC2﹣OE2＝EG•EF，∴（OC+OE）（OC﹣OE）＝EG•EF；（3）解：过O作ON⊥FG于N，延长EG交CD于M，如图：∵∠OCD＝∠ONM＝90°，FG∥BC，∴四边形MNOC是矩形，∴MN＝OC＝BC＝8，∵ON⊥FG，∴FN＝GN，∵EF＝2EG，∴FG＝3EG，∴NG＝EG，∴NE＝EG，∴EM＝MN﹣NE＝8﹣EG，由（2）知CE2＝EG•EF＝2EG2，∴CM2＝CE2﹣EM2＝2EG2﹣（8﹣EG）2＝ON2，而ON2＝OE2﹣NE2＝（OC2﹣CE2）﹣NE2，∴2EG2﹣（8﹣EG）2＝（82﹣2EG2）﹣（