专题04 高一上期中考前必刷卷01（全解全析）2024-2025学年高一数学上学期期中考试（人教A版2019必修第一册）

第第页专题04高一上期中考前必刷卷01注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算【分析】根据补集概念及其运算可得，再由交集运算可得答案.【详解】由，可得,又，可得.故选：A2．不等式的解集是（

）A． B．C． D．或【答案】D【知识点】解不含参数的一元二次不等式【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得.【详解】不等式，即，解得或，所以不等式的解集为或.故选：D3．函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】具体函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式【分析】先列出关于x的不等式组，解之即可求得函数的定义域.【详解】由，可得，故且则函数的定义域是故选：D4．某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（

）A．27 B．23 C．25 D．29【答案】A【知识点】容斥原理的应用【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题.【详解】作出韦恩图，如图所示，可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为.故选：A.5．已知命题为真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题【分析】问题转化为不等式的解集为，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值.【详解】因为命题为真命题，所以不等式的解集为.所以：若，则不等式可化为，不等式解集不是；若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：.综上可知：故选：D6．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式【分析】根据二次函数的单调性，结合奇函数的性质可得在R上单调递增，即可得求解.【详解】当时，的对称轴为，故在上单调递增.函数在处连续，又是定义域为R的奇函数，故在R上单调递增.因为f−x=−fx，由，可得又因为在R上单调递增，所以，解得.故选：D7．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】根据函数的最值求参数、根据二次函数的最值或值域求参数【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围.【详解】因为，所以当时，函数取得最小值2，因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2，所以.故选：D8．若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】由一元二次不等式的解确定参数【分析】因式分解得到，对分类讨论，求出不等式的解，再根据条件，即可求出结果.【详解】由，得到，当时，不等式的解为，又不等式的解集中恰有4个正整数解，所以，当时，不等式的解为，不满足题意，当时，不等式的解为，最多含1个正整数解，不满足题意，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若，则下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小【分析】采用作差法可知AB正确；通过反例可说明CD错误.【详解】对于A，，，，，，即，A正确；对于B，，，，，，即，B正确；对于C，当，，，时，，C错误；对于D，当，，，时，，D错误.故选：AB.10．已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】AB【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式【分析】解不等式求得：，利用充分不必要条件的概念计算即可.【详解】由，解得.要满足题意，只需在的子集中确定即可，显然和都是命题成立的充分不必要条件.故选：AB.11．已知定义域为的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则C．若，则D．，使得对恒成立【答案】CD【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、比较函数值的大小关系【分析】根据函数的单调性、奇偶性对命题进行分析，从而确定正确答案.【详解】由条件①得是偶函数，所以，条件②得在0,+∞上单调递增，所以，故A错误；若，则，故B错误；若，在0,+∞上单调递增，在上单调递减，则或，因为，所以或，所以或，故C正确；因为定义在R上函数的图象是连续不断的，是偶函数，且0,+∞在上单调递增，所以，所以对，只需即可，故D正确；故选：CD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知，则.【答案】【知识点】求函数值、解析法表示函数【分析】根据函数的解析式，先求得的值，进而求得的值，得到答案.【详解】由函数，可得，所以.故答案为：.13．函数当时，恒成立，则实数的取值范围为【答案】【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【分析】通过换元令,函数可变为将恒成立可转化为在上恒成立.求得最小值即可求解.【详解】令，则由，得．由题意，得在上恒成立，故有．，开口向上，对称轴为随意所以故答案为：14．已知集合{为正整数}，则的所有真子集的个数是【答案】511【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数【分析】根据为正整数可计算出集合中的元素，然后根据真子集个数的计算公式（是元素个数）计算出结果.【详解】因为为正整数，所以，所以集合中共有9个元素，因此所有真子集的个数为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）设集合，.(1)若且，求的取值范围；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数【分析】（1）根据且，列不等式组求的取值范围；（2）分和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求的取值范围.【详解】（1）因为，且，所以，解得，，综上所述，的取值范围为.（2）由题意，需分为和两种情形进行讨论：当时，，解得，，满足题意；当时，因为，所以，解得，或无解；综上所述，的取值范围为.16．（15分）在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：.(1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润．【答案】(1)(2)，【知识点】求二次函数的值域或最值、基本（均值）不等式的应用【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式；（2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论.【详解】（1）因为，所以；（2）当时，，由函数性质可知当时单调递增，所以当时，，当时，，由不等式性质可知，当且仅当，即时，等号成立，所以，综上当时，.17．（15分）已知函数，且.(1)求和的值；(2)判断在上的单调性，并根据定义证明.【答案】(1)(2)在上的单调递减，证明见解析【知识点】已知函数值求自变量或参数、定义法判断或证明函数的单调性【分析】（1）由，代入直接可求；（2）应用定义法证明单调性.【详解】（1）因为，所以，解得.（2）由（1）知：，在上的单调递减，证明如下：在上任取，且，，∵，∴，，，∴，∴，在上的单调递减.18．（17分）已知函数，满足.(1)求值；(2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数m的取值范围；(3)设当时，函数的最小值为，求的解析式.【答案】(1)(2)(3)【知识点】已知函数值求自变量或参数、求二次函数的值域或最值、函数不等式恒成立问题【分析】（1）根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；（2）根据题意可得：在上恒成立，结合二次不等式的恒成立问题分析求解；（3）分别讨论，，三种情况，结合二次函数的性质，即可得出结果.【详解】（1）因为二次函数满足，则，解得.（2）由（1）可知：，若在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，则在上恒成立，即在上恒成立，因为开口向上，对称轴为，可知在上单调递减，则，可得，所以实数m的取值范围为.（3）因为是对称轴为，开口向上的二次函数，当时，在上单调递增，则；当，即时，在上单调递减，则；当，即时，fx在上单调递减，在上单调递增，可知；综上所述：.19．（17分）对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”．(1)写出集合的一个“有趣的”四元子集：(2)证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：(3)证明：对任意正整数，集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集．【答案】(1)（符合要求即可）(2)证明见解析(3)证明见解析【知识点】集合新定义【分析】（1）根据四元整数集定义写出即可；（2）假设可以划分成两个不相交的“有趣的”四元子集，再根据每个子集中均有两个偶数证明不成立即可；（3）假设可以划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集，再根据每个子集中均有两个偶数证明不成立即可.【详解】（1）（符合要求即可）：（2）假设可以划分，和一定是一个奇数一个偶数，中至多两个偶数.则