专题25概率（讲义）

专题25概率1．能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率；2．知道通过大量的重复实验，可以用频率来估计概率。考点1：等可能条件下的概率1.等可能条件下的概率一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率P（A）=（其中m是指事件A发生可能出现的结果数，n是指所有等可能出现的结果数）.当一个随机事件在一次试验中的所有可能出现的结果是有限个，且具有等可能性时，只需列出一次试验可能出现的所有结果，就可以求出某个事件发生的概率.2.等可能条件下的概率的求法一般地，等可能性条件下的概率计算方法和步骤是：（1）列出所有可能的结果，并判定每个结果发生的可能性都相等；（2）确定所有可能发生的结果的个数n和其中出现所求事件的结果个数m；（3）计算所求事件发生的可能性：P（所求事件）=.考点2：用列举法计算概率常用的列举法有两种：列表法和画树状图法.【题型1：随机事件与概率】【典例1】一个不透明的盒子里有红、黄、白小球共80个，它们除颜色外均相同，小文将这些小球摇匀后，随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，多次实验后他发现摸到红色、黄色小球的频率依次为和，由此可估计盒中大约有白球（

）A．20 B．24 C．32 D．56【答案】B【分析】本题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出盒中白球所占的比例，再计算其个数．根据题意，先求出摸到白色小球的频率，再乘以总球数即可求解．【详解】解：∵多次试验的频率会稳定在概率附近，∴从盒子中摸出一个球恰好是白球的概率约为，∴白球的个数约为个．故选：B．1．小鹏制作了一个如图所示的靶盘，其中点，分别是边长为的正方形靶盘相邻两边的中点，小鹏随意向该标靶区域投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查几何概率的求法，熟知几何概率所求阴影区域的概率是三角形的面积与正方形的面积比是解答的关键．【详解】∵正方形的边长为，∴正方形的面积为，阴影部分面积为，∴飞镖落在阴影区域的概率为，故选D．2．新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，更好地管理班级事务，使同学们的学习生活温暖和谐，任何人都有同样的机会，则这个班选中一名男生来当值日班长的概率是【答案】【分析】本题考查了简单的概率计算，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可．【详解】解：全班共有学生（人，其中男生30人，则这班选中一名男生当值日班长的概率是．故答案为：．3．一个不透明的布袋里装有个红球，个黑球，若干个白球；从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是，袋中白球共有个．【答案】【分析】本题考查了概率公式，设白球有个，根据摸出的球是红球的概率是，利用概率公式列出方程即可求解，掌握概率所求情况数总情况数是解题的关键．【详解】解：设白球有个，由题意可得，，解得，经检验，是原方程的解，∴袋中白球有个，故答案为：．4．为丰富校园文化生活，某校举办了中学生“棋类大比拼”活动，棋类项目有四项：A．象棋；B．跳棋；C．飞行棋：D．五子棋．比赛形式分为“单人组”和“双人组”．(1)小华参加“单人组”比赛，从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“飞行棋”的概率是．(2)小明和小红组合参加“双人组”比赛，其比赛规则是：同一组合的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次．求恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．【答案】(1)(2)，见解析【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的结果数，再利用概率公式可得出答案．本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．【详解】（1）由题意可知，从中恰好抽中“飞行棋”的概率是．故答案为：．（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的结果有：共6种，∴恰好小明和小红都没有抽到“跳棋”的概率为．【题型2：用列举法求概率】【典例2】如图，某展览大厅有2个入口和2个出口，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开．小明从入口1进入并从出口离开的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．先画树状图，得到所有的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可．【详解】解：画树状图得：

所有等可能的情况有4种，其中从入口1进入并从出口B离开的情况有1种，则．故选：C．1．有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是2的倍数的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意列出所有可能，根据概率公式即可求解．本题考查了列举法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．【详解】解：∵有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，∴摆出的三位数有共6种可能，其中是2的倍数，∴摆出的三位数是2的倍数的概率是，故选：C．2．有三张正面分别写有数字1，2，3的卡片，它们除数字外其余完全一样．将其背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字相同的概率是．【答案】【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的数字相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中两张卡片上的数字相同的结果有3种，∴抽取的两张卡片上的数字相同的概率是．故答案为：．3．如图，分别是甲、乙两名同学手中的扑克牌两人在看不到对方牌的前提下，分别从对方手中随机抽取一张牌，若牌上数字与自己手中某一张牌上数字相同，则组成一对．若甲从乙手中抽取一张，恰好组成一对的概率是．【答案】【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出组成一对的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中组成一对的结果数为3，所以甲从乙手中抽取一张，恰好组成一对的概率．故答案为：．4．在一个不透明的口袋里装有分别标有，，，的四个小球．除所标数字不同外，小球没有任何区别．(1)若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．(2)若设计一个游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为的为甲胜，否则为乙胜．请问这个游戏方案对甲、乙公平吗？试说明理由．【答案】(1)见解析，(2)公平，理由见解析【分析】本题主要考查了列表法或树状图法，概率公式求概率，解题的关键是数形结合．（1）先画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果数与两个球上的数字之和为偶数的情况，再利用概率公式即可求解；（2）分别求出甲胜与乙胜的概率，即可求解．【详解】（1）解：树状图如下：共有种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有，，，共种情况，两个球上的数字之和为偶数的概率为：；（2）两个球上的数字之差的绝对值为的有，，，，，共种情况，，，，这个游戏方案公平．【题型3：用频率估计概率】【典例3】在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则布袋中黑球的个数可能有（

）A．3 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】本题考查了用频率估计概率，分式方程的应用，设黑球的个数为个，根据频率可列出方程，解方程即可求得，从而得到答案，根据概率列出方程是关键．【详解】设袋中有黑球个，由题意得：，解得：，经检验，是分式方程的解，则布袋中黑球的个数可能有6个．故选：B．1．某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下．根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（

）累计抽测的学生数2003004005006007008009001000体质健康合格的学生数与的比值0.930.890.920.910.900.920.920.920.92A．0.90 B．0.91 C．0.92 D．0.93【答案】C【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题关键．直接根据利用频率估计概率求解即可得．【详解】解：由表格可知，经过大量重复试验，体质健康合格的学生数与抽测的学生数的比值稳定在附近，所以该区初中生体质健康合格的概率为，故选：C．2．小梦在研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率，于是她便用同一枚图钉做实验进行研究，得到如下的数据：掷图钉的次数101003005008001000针尖朝上的频率请利用以上数据估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是．【答案】【分析】本题主要考查用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键．根据用频率估计概率即可得到答案．【详解】解：观察数据可得，“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是，即．故答案为：．3．在一个不透明的袋子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球．小明做摸球试验时，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是实验进行中的一组统计数据：摸球的次数…摸到白球的次数…摸到白球的频率…则摸到白球的概率为．（结果精确到）【答案】0.6【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6．【详解】解：由表可知：“摸到白球的”的概率的估计值是0.6．故答案为：0.6．4．某批乒乓球的质量检验结果如下：抽取的乒乓球数200500100015002000优等品频数18847194614261898优等品频率(1)这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？(2)从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中．①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？【答案】(1)(2)①；②9个【分析】本题主要考查利用频率估计概率：（1）根据频率估计概率，频率都在0.946左右波动，所以可以估计这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946；（2）①用黄球的个数除以球的总个数即可；②设从袋中取出了x个黑球，根据搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，列出不等式，解不等式即可．【详解】（1）解：这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946；（2）解：①∵袋中一共有球个，其中有5个黄球，∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为：；

②设从袋中取出了个黑球，由题意得，解得，故至少取出了9个黑球．【题型4：概率的应用】【典例4】一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（

）A．五位 B．四位 C．三位 D．二位【答案】B【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可．【详解】解：∵取一位数时一次就拨对密码的概率为；取两位数时一次就拨对密码的概率为；取三位数时一次就拨对密码的概率为；取四位数时一次就拨对密码的概率为；∵，∴密码的位数至少需要四位，故选项B正确．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率1．如图是可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3，转盘停止后，则指针指向的数字为奇数的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据概率公式求解．【详解】解：由转盘被等分成三个扇形可知：有3种等可能的结果，转盘停止后指向奇数的情况有2种，所以指针指向的数字为奇数的概率是．故选D．【点睛】本题考查的是概率公式的应用，正确理解题意是解题的关键．2．一个不透明的袋子里装有除颜色外其他完全相同的红、白、黄三种颜色的球各10个，至少要摸()个才能保证摸出两个不同颜色的球，至少摸()个才能保证摸出两个黄色的球．【答案】1122【分析】（1）由题意可知，袋中共有红、白、黄三种颜色的球，最坏的情况是，取出三个球后，每种颜色的球各有一个，此时只要再任意拿出一个球，就能保证取到的球中有两个颜色相同的球．即至少要取个．（2）考虑最坏情况：摸出10个球都是红种颜色，再摸出10个球都是白种颜色，再摸出2个都是黄色，即可保证摸出两个黄色的球．【详解】解：（1）（个），（2）（个），答；至少要摸出4个才能保证有两个球的颜色相同，至少要摸22个才能保证摸出两个黄色的球．故答案为：4，22．【点睛】本题考查抽屉原理，熟练掌握抽屉原理中的最坏情况进行分析是完成本题的关键．3．某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，则作出决策为（填“出海”、“不出海”）．【答案】出海【分析】利用概率算出获得收益的平均值比较即可．【详解】解：预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，，下月是好天气的可能性坏天气的可能性；又若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，出海的话，获得平均收益（获得收益的数学期望）（元，不出海：（元，，船队队长作出决策为：出海．故答案为：出海．【点睛】本题主要考查概率的实际应用，能够通过概率算出平均收获是解题关键．4．某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入．(1)求甲从A口进入，C口离开的概率；(2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率．(3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由．【答案】(1)(2)(3)七年级走E出口，八九年级走C、D出口，理由见解析【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，再由概率公式求解即可；（3）满足题意的方案即可．【详解】（1）解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，

∴甲从A口进入，C口离开的概率为；（2）画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，

∴甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率为．（3）七年级走E出口，八九年级走C、D出口．理由：因为七年级80人，八年级150人，九年级160人，又因为C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按七年级走E出口，八九年级走C、D出口方案，能够在规定时间内使所有同学都能有序离开．1．山西省中考体育考试将足球、篮球、排球“三大球”单列成为体育中考项目4（学生自选一项），若考生任选一项参加考试，则甲考生选择篮球的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】题考查概率公式求概率，注意概率所求情况数与总情况数之比．【详解】解：考生一共有种不同的选择，选择的可能性相同，则考生选择考篮球的概率为，故选：C．2．一个袋子中有黑球个，白球4个，每个球除颜色外都相同，摇匀后从中任取一个球，摸出黑球的概率为，则的值是（

）A．12 B．14 C．16 D．20【答案】A【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解是解题的关键．由于摸出黑球的概率为，故可利用概率公式列出等式，求出m的值．【详解】解：，∴，经检验是原方程的解，∴，故选：A．3．下列选项中，属于随机事件的是（

）A．在一个只有红球的口袋中，摸出白球 B．a是负数，则C．某同学练习投篮，其中一次投中篮筐 D．两个等边三角形相似【答案】C【分析】本题考查事件的分类．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐一判断，即可得到答案．【详解】解：A、属于不可能事件，不符合题意；B、属于必然事件，不符合题意；C、属于随机事件，符合题意；D、属于必然事件，不符合题意；故选：C．4．一个不透明的袋子中有个红球和个黄球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了概率的求法，根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：∵袋子中球的总数为：，有个黄球，∴从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为：．故选：B．5．林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：移植总数1027075015003500700014000成活数823566213353180629212628成活的频率结果保留小数点后三位0.8000.8700.8830.8900.9090.8990.902下列说法正确的是（

）A．若移植10棵幼树，成活数将为8棵B．若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵C．移植的幼树越多，成活率越高D．随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.900【答案】D【分析】题考查了利用频率估计概率，概率的意义．概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．【详解】解：∵概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，∴所以这种幼树移植成活率的概率约为，故选D．6．将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“强国”的概率是．【答案】【分析】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率．根据题意依次列举出可能出现的情况即可算出本题答案．【详解】解：根据题意将情况一一列举出来，如图所示：设：两次摸出的球上的汉字组成“强国”的事件为A，共有12种等可能的结果，其中事件A发生有2种结果，∴，故答案为：．7．从6、7、8这三个数中任选两个数，其积为偶数的概率是．【答案】【分析】本题考查的是利用列举法求解概率，先列举所有的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可．【详解】解：从6、7、8这三个数中任选两个数，有三种情况：，；，；，；而，，，∴积为偶数的概率为，故答案为：8．一个不透明的袋中有若干个除颜色外完全相同的小球，其中黄球有6个，将袋中的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则袋中小球的个数为．【答案】20【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用黄球的个数除以摸到黄球频率即可得出球的总个数．【详解】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，口袋中黄球有6个，∴袋中小球的个数为（个）．故答案为：20．9．2023年12月3日，以“畅跑海丝路，晋马世遗情”为主题的特步马拉松赛在中国著名侨乡晋江鸣枪开跑．小马报名参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到半程马拉松、全程马拉松和健康跑三个项目组．小马被分配到“半程马拉松”项目组的概率为．【答案】【分析】本题考查概率公式，根据概率公式直接求出即可．【详解】解：组委会随机将志愿者分配到半程马拉松、全程马拉松和健康跑三个项目组．3种等可能出现的结果中，小马被分配到“半程马拉松”项目组的只有1种，小马被分配到“半程马拉松”项目组的概率为，故答案为：．10．某大型生鲜超市购进一批草莓，在运输、储存过程中部分草莓损坏（不能出售），超市工作人员从所有草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如下表：草莓总质量n/斤2050100200500损坏草莓质量m/斤草莓损坏的频率根据表中数据可以估计，这批草莓的损坏率为．（结果保留两位小数）【答案】【分析】本题考查了由频率估计概率．根据表格中的草莓损坏的频率为，估计草莓损坏的概率即可．【详解】解：根据表中数据可以估计，这批草莓的损坏率为，故答案为：．11．2023年9月23日晚，第19届亚运会开幕式在浙江杭州隆重举行．如图是小明收集的本届亚运会的四枚纪念徽章（其中会徽徽章用A表示，宸宸、琼琼、莲莲三个吉祥物徽章分别用B，C，D表示），小明从这四枚徽章中随机抽取两枚．请利用画树状图或列表的方法，求抽到的两枚徽章中有一枚是会徽徽章的概率．【答案】，画图见解析【分析】本题考查用树状图或列表法求概率．根据题意用列表法将情况一一列举出，即可求得本题答案．【详解】解：∵小明从这四枚徽章中随机抽取两枚，∴用列表法如下图所示：，设：抽到的两枚徵意中有一枚是会徽徽章为事件，根据上方列表可知，共有12种情况，其中有6种符合情况，∴．12．小明和小亮用如图所示的转盘进行游戏，三个扇形的圆心角均相等，分别标有数字1，2，3．游戏规则如下：一人转动一次转盘，若两次转盘指针所指的数字之积为偶数，则小明胜；若两次转盘指针所指的数字之积为奇数，则小亮胜．

(1)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果．(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由，【答案】(1)见解析(2)不公平，理由见解析【分析】本题考查画树状图或列表法表示事件的等可能性，简单概率计算．（1）根据题意列表法表示即可；（2）根据（1）中列表计算出现的概率是否一致来判断是否公平即可．【详解】（1）解：根据题意，列表如下：

由表格可知，共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同．（2）解：不公平，理由如下：由（1）中表格可知，两次转盘指针所指数字之积为偶数的有5种，积为奇数的有4种，则小明胜的概率是，小亮胜的概率是．，这个游戏不公平．13．早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“A．虾饺，B．干蒸烧卖，C．艇仔粥，D．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同）(1)如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是______________；(2)如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的计算公式以及树状图或列表法是解题关键．（1）根据题意即可求解；（2）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解．【详解】（1）解：∵共有四种茶点，∴如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是：，故答案为：（2）解：画树状图如图所示：由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果有2种，∴P（张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”）.14．笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（或），再经过第二道门（或或）才能出去．(1)松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是_____；(2)请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过门出去的概率．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的求解方法以及画树状图或列表法是解题关键．（1）根据松鼠经过第一道门时，要么选择，要么选择，即可求解；（2）根据题意画出树状图，找出总的可能情况和松鼠经过门出去的情况，即可求出概率．【详解】（1）解：∵松鼠经过第一道门时，要么选择，要么选择，∴松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是，故答案为：（2）解：画树状图如下：共有6种等可能的情况，其中松鼠经过门出去的情况有2种，∴松鼠经过门出去的概率是15．已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球．(1)求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．(2)从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的球恰好颜色不同的概率．(3)若在原袋子中再放入m个白球和m个红球，搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出1个球，颜色是白色的概率为求m的值．【答案】(1)(2)(3)3【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得；（3）根据已知列出关于m的方程，解之可得．【详解】（1）解：（1）∵袋中共有4个小球，其中红球有3个，∴从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，由表知共有49种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有20种结果，∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为；（2）列表如下：白红红红白（白，白）（红，白）（红，白）（红，白）红（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）红（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）红（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）由表知共有16种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有6种结果，∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为；（3）解：根据题意，得：，解得m＝3；∴m的值为3．【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．1．下列说法中，正确的是（

）A．对角线相等的四边形是正方形B．关于的方程一定有两个实数根C．当实验次数足够大时，频率稳定在概率附近D．两个等腰三角形一定相似【答案】C【分析】本题考查了正方形的判定、一元二次方程根的判别式、利用频率估计概率、相似三角形的判定，熟练掌握各判定定理和一元二次方程根的判别式是解题关键．根据正方形的判定、一元二次方程根的判别式、利用频率估计概率、相似三角形的判定逐项判断即可得．【详解】解：A、对角线相等的菱形是正方形，则此项错误，不符合题意；B、当时，关于的方程为，只有一个解，当时，关于的方程的根的判别式为，一定有两个不相等的实数根，综上，此项错误，不符合题意；C、当实验次数足够大时，频率稳定在概率附近，则此项正确，符合题意；D、两个等腰直角三角形一定相似，但两个等腰三角形不一定相似，则此项错误，不符合题意；故选：C．2．点P的坐标是，从，，0，4，7这五个数中任取一个数作为m的值，再从余下的四个数中任取一个数作为n的值，则点在平面直角坐标系中第四象限内的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了点的坐标以及列表法与树状图法，先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再根据第四象限点的坐标特征找出点在平面直角坐标系中第四象限内的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：共有20种等可能的结果，其中点在平面直角坐标系中第四象限内的结果数为4，所以点在平面直角坐标系中第四象限内的概率为，故选：B．3．文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片，若从一套四个盲盒（笔墨纸砚盲盒各一个）中随机选两个，则恰好抽中笔和纸的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了画树状图法求概率，根据题意正确画出树状图是解题的关键．先根据题意画出树状图，再确定共有多少种可能性以及恰好抽中内含笔和纸的可能性数目，然后运用概率公式计算即可．【详解】解：根据题意画树状图如下：一共有12种等可能性，其中恰好抽中内含笔和纸的可能性有2种，故恰好抽中内含笔和纸的盲盒的概率是．故选A．4．某大型连锁超市以17元/斤的价格购进草莓1万斤，在运输、储存过程中部分草莓损坏，超市管理员从所有的草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如表：草莓总质量n/斤2050100200500损坏草莓质量m/斤3.127.715.229.875草莓损坏的频率0.1560.1540.1520.1490.150超市管理员希望卖出草莓（损坏的草莓不能出售）可以获得利润42500元，那么就需要利用草莓损坏的概率（精确到0.01）估算草莓的售价．根据表中数据可以估计，草莓每斤的售价应该定为（

）A．25元 B．22元 C．21.25元 D．21.5元【答案】A【分析】本题主要考查用频率估计概率和一元一次方程的应用，先由草莓的损坏率得出完好率，再设每斤草莓的售价为x元，根据“利润=售价进价”列出一元一次方程，求出x的值即可．【详解】解：由表格中的数据可得草莓的损坏率为，则完好率为：，设每斤草莓的售价为x元，根据题意得，，解得，，即每斤草莓的售价为25元，故选：A．5．小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《京剧生角》特种邮票，上面分别绘有《将相和》中的蔺相如、《四进士》中的宋士杰、《群英会》中的周瑜、《白蛇传》中的许仙，这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．元旦之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“蔺相如”和“周瑜”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查列表法和树状图求概率，熟练掌握列表法是解题的关键．根据列表法把所有情况列举出来即可．【详解】解：蔺相如宋士杰周瑜许仙蔺相如宋士杰和蔺相如周瑜和蔺相如许仙和蔺相如宋士杰蔺相如和宋士杰周瑜和宋士杰许仙和宋士杰周瑜蔺相如和周瑜宋士杰和周瑜许仙和周瑜许仙蔺相如和许仙宋士杰和许仙周瑜和许仙一共有种情况，符合条件的是两种，故．故选A．6．从3，4中任取一个数作为中的，则该函数图象与轴有两个交点的概率是．【答案】/【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题、概率的计算，解题的关键是理解令得到的二次方程，其判别式大于0时，二次函数与x轴有两个交点．令得到一元二次方程，分别将3、4代入判别式进行计算，判别式大于0时即满足函数图像与x轴有两个交点，然后进一步可计算出概率．【详解】根据题意，函数图象与x轴有两个交点，则令时得到的二次方程有两个不相等的实数根，此时，当时，，说明此时函数图像与x轴无交点；当时，，说明此时函数图像与x轴有两个交点；因此，从3，4这两个数中任取一个数，符合要求的只有一个，故概率为．故答案为：．7．如图，点为正六边形对角线上一点，假设可以随机在正六边形中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是．【答案】【分析】本题考查了几何概率，先根据正六边形的特点求出来阴影部分的面积，然后根据几何概率公式计算求解即可，解题的关键在于正确表示阴影部分、正六边形的面积．【详解】解：∵为正六边形，连接，交点为一点M，如图所示：设正六边形的边长为，每个小三角形底边上的高为，则的长为，∴正六边形的面积为，，则，∴这个点在阴影部分的概率为，故答案为：．8．2024年“元旦”期间，小明与小亮准备从芜湖古城、方特梦幻王国、松鼠小镇中选择一景点游玩，小明与小亮通过抽签方式确定景点，则两人抽到同一景点的概率是．【答案】【分析】本题考查了利用树状图法活列表法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得两人抽签的所有等可能的结果，再找出两人抽到同一景点的结果，然后利用概率公式求解即可得．【详解】解：将芜湖古城、方特梦幻王国、松鼠小镇分别记为，画出树状图如下：由图可知，两人抽签的所有等可能的结果共有9种，其中，两人抽到同一景点的结果有3种，则两人抽到同一景点的概率是，故答案为：．9．如图，正方形的对角线交于点中，，将绕点旋转（边在正方形外面），现随机向正方形内抛掷一枚小针，则针尖落在与正方形重叠部分的概率为．【答案】【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，概率公式即可得出结论．【详解】解：正方形的对角线交于点，，，，，，，，，设正方形的边长为，，，正方形与Rt两个图形重叠部分的面积针尖落在与正方形重叠部分的概率为．故答案为：．【点睛】本题考查几何概率，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．10．为了改良某种农作物的基因，培育更加优良的品种，某研究团队开展试验，对该种农作物的种子进行辐射，使其基因发生某种变异．表一记录了截至目前的试验数据．表一累计获得试验成功的种子数（单位：粒）1468101214累计试验种子数（单位：千粒）15810.512.514.516.5该团队共需要30粒基因发生该种变异的种子，请根据表一的数据，合理估计他们还需要准备用以辐射的种子数（单位：千粒）．【答案】16【分析】本题考查用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据表中数据算出每次实验的成功率，得出成功的概率，利用还差的变异的种子数除以概率即可求解．【详解】解：第1次实验成功率为：，第2次实验成功率为：，第3次实验成功率为：，第4次实验成功率为：，第5次实验成功率为：，第6次实验成功率为：，第7次实验成功率为：，综上所述，试验成功的概率为，该团队共需要30粒基因发生该种变异的种子，已经成功14粒，还差16粒，有（粒）（千粒），故答案为：16．11．某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，甲、乙、丙、丁四名同学报名参加了应聘活动，其中甲、乙来自八年级，丙、丁来自九年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．(1)若随机抽取一名同学，恰好抽到甲同学的概率为___________；(2)若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自九年级的概率．【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是简单随机事件的概率，以及利用画树状图求解复杂的随机事件的概率，掌握求概率的基本方法是解题的关键．（1）直接利用概率公式可得答案；（2）画出树状图，利用概率公式计算即可．【详解】（1）解：由概率公式得：随机抽取一名同学，恰好抽到甲同学的概率为，故答案为：（2）画树状图如下：一共有种等可能的结果，其中两名同学均来自九年级的有种可能，所以：两名同学均来自九年级的概率12．红古田惠民卡是由龙岩市委、市政府主导，龙岩市文化和旅游局监制，龙岩文旅汇金发展集团发行，龙岩景区让利的一项旅游惠民工程．小明家已购买了红古田惠民亲子卡，凭亲子卡本年度可以在龙岩20个景区无需购买首道门票进入游玩．某周末小明家决定从梁野山、龙碎洞、梅花山虎园、卧龙书院4个景区中选择1至2个景区游玩．(1)若小明家从这4个景区，随机选择1个景区游玩，则选中梅花山虎园景区的概率为________；(2)若小明家从这4个景区，随机选择2个景区游玩，求选中梁野山和卧龙书院2个景区游玩的概率．（要求画树状图或列表求概率，并将梁野山表示为A，龙腔洞表示为B，梅花山虎园表示为C，卧龙书院表示为D．）【答案】(1)(2)列表见解析，【分析】（1）直接利用概率的计算公式进行计算即可；（2）先根据题意用表格列出所有可能出现的结果，找出选中梁野山和卧龙书院2个景区的所有情况，再根据概率的计算公式进行计算即可．概率=所求情况数总情况数，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．【详解】（1）小明家从这4个景区，随机选择1个景区游玩，则选中梅花山虎园景区的概率为；故答案为：（2）将梁野山表示为A，龙腔洞表示为B，梅花山虎园表示为C，卧龙书院表示为D，用表格列出所有可能出现的结果如下：ABCDAABACADBBABCBDCCACBCDDDADBDC共有12种等可能的结果，其中选中A和D的有2种，．13．在春节来临之际，某商场开展“庆新年”有奖酬宾活动：凡购物满200元，均可得到一次在不透明的纸盒里抽奖的机会，该纸盒里装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其它都相同．(1)若抽奖者从该纸盒中一次摸出一个球，抽到红球的概率是多少？(2)该商场支持“在线支付”和“现金支付”两种付款方式，抽奖者从该纸盒中依次取出两个球（不放回），根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．（如表）在线支付：球两红一红一白两白礼金券/元102010现金支付：球两红一红一白两白礼金券/元201020如果一个顾客当天在本商场购物满200元，他很想获得20元的礼金券，你推荐他采用哪种支付方式？并说明理由．【答案】(1)(2)选择在线支付，理由见解析【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．（1）直接利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽到两个红球的结果数、抽到一个红球一个白球的结果数、抽到两个白球的结果数，再利用概率公式可求出采用在线支付获得20元的礼金券的概率和采用现金支付获得20元的礼金券的概率，进而可得结论．【详解】（1）由题意得，抽奖者从该纸盒中一次摸出一个球，抽到红球的概率是．（2）列表如下：红红白白白红（红，红）（红，白）（红，白）（红，白）红（红，红）（红，白）（红，白）（红，白）白（白，红）（白，红）（白，白）（白，白）白（白，红）（白，红）（白，白）（白，白）白（白，红）（白，红）（白，白）（白，白）共有20种等可能的结果，其中抽到两个红球的结果有2种，抽到一个红球一个白球的结果有12种，抽到两个白球的结果有6种，∴采用在线支付获得20元的礼金券的概率为，采用现金支付获得20元的礼金券的概率为．∵，∴选择在线支付．14．我省高考从2025年起将采用“3＋1＋2”模式：“3”是指语文、数学、外语三科为必选科目；“1”是指在物理、历史两科中任选一科；“2”是指在化学、生物、政治、地理四科中任选两科．(1)小舟在“1”中选择物理的概率是______；(2)若小华在“1”中选择了历史，用画树状图或者列表的方法求他在“2”中选择化学和生物的概率．（化学、生物、政治、地理分别用字母A、B、C、D表示）【答案】(1)(2)【分析】此题考查了用概率公式和列表法或树状图法求概率，掌握概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．（1）由概率公式即可得出答案；（2）先列表，共有12个等可能的结果，其中选化学、生物的方案有2个，然后由概率公式求解即可．【详解】（1）解：∵“1”中有物理、历史两科，∴选择物理的概率为；（2）解：列表如下：共有12个等可能的结果，其中选化学、生物的方案有2个，她在“2”中选化学、生物的概率．15．一个不透明的袋子里有4个小球，小球上各标有一个数字，分别是1，2，4，7．这些小球除标有的数字不同外其他都相同．(1)从这个袋子里随机摸出一个小球，摸出标有数字“2”的小球的概率是________；(2)先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字后，放回、摇匀，再从袋子中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，第一次记下的数放在十位，第二次记下的数放在个位组成两位数，请运用画树状图或列表的方法，求这个两位数是偶数的概率．【答案】(1)(2)【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．（1）直接运用概率公式计算即可；（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出这个两位数是偶数的概率．【详解】（1）解：由题意可得，从袋中机摸出一个小球，则摸出标有数字“2”的小球的概率是．（2）解：画树状图如下

由树状图可知一共有16种可能，且每种结果出现的可能性相同，其中这个两位数是偶数的结果数有8种，这个两位数是偶数的概率为．1．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（）．

A．1 B． C． D．【答案】B【分析】任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，据此即可作答．【详解】解：∵任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，∴，故选：B．【点睛】本题考查了简单概率的计算，明确题意，知道只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，是解答本题的关键．2．（2023·江苏泰州·统考中考真题）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（

）A．试验次数越多，f越大B．f与P都可能发生变化C．试验次数越多，f越接近于PD．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定【答案】D【分析】根据频率的稳定性解答即可．【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性．故选：D．【点睛】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．3．（2023·江苏徐州·统考中考真题）下列事件中的必然事件是（

）A．地球绕着太阳转 B．射击运动员射击一次，命中靶心C．天空出现三个太阳 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯【答案】A【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．【详解】解∶A、地球绕着太阳转是必然事件，故A正确；B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故B错误；C、天空出现三个太阳是不可能事件，故C错误；D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D错误；故选∶A．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据灰色区域与整个面积的比即可求解．【详解】解：∵转盘中四个扇形的面积都相等，设整个圆的面积为1，∴灰色区域的面积为,∴当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是，故选：C．【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．5．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解．【详解】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，∴总面积为，阴影部分的面积为，∴点落在阴影部分的概率为，故选：B．【点睛】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键．6．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为．【答案】【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】解：设小正方形的边长为1，则总面积为9，其中阴影部分面积为5，∴飞镖落在阴影部分的概率是，故答案为：．【点睛】本题考查了几何概率的求法，解题的关键是根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．7．（2022·江苏盐城·统考中考真题）如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发亮．任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是．

【答案】【分析】直接由概率公式求解即可求得答案．【详解】解：闭合开关或者同时闭合开关、，都可使小灯泡发光，任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，小灯泡发光的只有闭合这1种结果，小灯泡发光的概率为．故答案为：．【点睛】此题考查了概率公式的应用．此题比较简单，注意概率所求情况数与总情况数之比．8．（2023·江苏扬州·统考中考真题）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：每批粒数n2510501005001000150020003000发芽的频数m2494492463928139618662794发芽的频率（精确到0.001）1.0000.8000.9000.8800.9200.9260.9280.9310.9330.931这种绿豆发芽的概率的估计值为（精确到0.01）．【答案】0.93【分析】根据题意，用频率估计概率即可．【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93，故答案为：0.93．【点睛】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．9．（2020·江苏盐城·统考中考真题）在一个不透明的袋子中装有个红球和个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，则摸出白球的概率是．【答案】【分析】根据白球的个数÷总个数即可得解；【详解】根据题意可得：摸出白球的概率；故答案是：．【点睛】本题主要考查了概率公式算概率，准确分析计算是解题的关键．10．（2021·江苏镇江·统考中考真题）一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红），则放入的红球个数为．【答案】3【分析】分别假设放入的红球个数为1、2和3，画树状图列出此时所有等可能结果，从中找到摸出一红一黄和两个红球的结果数，从而验证红球的个数是否符合题意．【详解】解：（1）假设袋中红球个数为1，此时袋中由1个黄球、1个红球，搅匀后从中任意摸出两个球，P（摸出一红一黄）＝1，P（摸出两红）＝0，不符合题意．（2）假设袋中的红球个数为2，列树状图如下：由图可知，共有6种情况，其中两次摸到红球的情况有2种，摸出一红一黄的有4种结果，∴P（摸出一红一黄）=，P（摸出两红）=，不符合题意，（3）假设袋中的红球个数为3，画树状图如下：由图可知，共有12种情况，其中两次摸到红球的情况有6种，摸出一红一