第六章平面图形的认识（一）（知识归纳题型突破）

第六章平面图形的认识（一）（知识归纳+题型突破）掌握直线、线段、射线之间的区别与联系，掌握角的概念、分类、计算、比较。掌握平面中直线的位置关系，能解决线段或角度的综合问题一、线段、射线、直线的概念及性质线段射线直线定义直线上两点之间的部分直线上一点及其一旁的部分特征有两个端点，不向任何一方延伸，可度量只有一个端点，且向一方无限延伸，不可度量向两个防线无限延伸，没有端点，不可度量图示表示方法①线段AB②线段BA③线段a射线OA①直线AB②直线BA③直线l性质两点之间的所有连线中，线段最短经过两点有且只有一条直线二、角的基本概念及分类1、角的基本分类锐角直角钝角平角周角大于0°小于90°90°大于90°小于180°180°360°2、特殊角的概念余角补角对顶角定义两个角的和是一个直角，即互余两个角的和是一个平角，即互补两条直线相交形成的四个角中相对的两个角性质同角（或等角）的余角相等同角（或等角）的补角相等对顶角相等注意：1、余角、补角与两个角的大小有关系，与它们的位置没有关系；所以互为余角、互为补角的两个角不一定有公共顶点；2、定义中的“互为”是相互的意思，互为余角、互为补角是对两个角来说；3、互余的两个角都是锐角，互补的两个角一个是锐角一个是钝角或者两个角都是直角．题型一直线射线线段的联系与区别【例1】下列说法正确的是（

）A．延长直线到点C B．延长射线到点CC．延长线段到点C D．平角是一条直线【答案】C【分析】根据直线，射线，线段的区别和联系依次进行判断即可．【详解】直线没有端点，可沿两个方向无限延伸，故A错误；射线，只能反向延长，故B错误；线段有两个端点，可以说延长线段AB到点C，故C正确；平角不是一条直线，而是在一条直线上的两条共端点的射线，故D错误．故选：C．【例2】下列几何图形与相应语言描述相符的有（

）

①直线a、b相交于点A；②射线与线段没有公共点；③延长线段；④直线经过点A.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】利用线段、直线和射线的语言描述逐一判断即可解题．【详解】①直线a、b相交于点A，描述正确；②射线与线段有公共点，描述错误；③延长线段，描述正确；④直线不经过点A，描述错误；故选B．【例3】下列说法中，正确的个数是（

）①直线与直线是同一条直线；②若，则点是的中点；③两点之间直线最短；④两点确定一条直线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据直线、线段的定义及性质逐项判断即可得到答案．【详解】解：①在同一图形中，直线与直线是同一条直线，故①说法正确，符合题意；②若，则点是的中点的说法错误，因为点三点不一定在一条直线上，故②说法错误，不符合题意；③两点之间线段最短，故③说法错误，不符合题意；④两点确定一条直线，故④说法正确，符合题意；综上所述，正确的有①④，共2个，故选：B．巩固训练1．下列几何图形与相应语言描述不相符的有（

）

A．如图1所示，直线和直线相交于点B．如图2所示，延长线段到点C．如图3所示，射线不经过点D．如图4所示，射线和线段会有交点【答案】B【分析】根据线段、射线、直线的性质逐一判断即可．【详解】解：A、如图1所示，直线和直线相交于点，几何图形与相应语言描述相符，不符合题意，选项错误；B、如图2所示，延长线段到点，则点C左侧就应该没有线了，故几何图形与相应语言描述不相符，符合题意，选项正确；C、如图3所示，射线不经过点，几何图形与相应语言描述相符，不符合题意，选项错误；D、如图4所示，射线和线段会有交点，几何图形与相应语言描述相符，不符合题意，选项错误；故选：B2．下列说法正确的是（

）A．两点之间的线段叫做两点间的距离 B．若，则为线段的中点C．两点之间线段最短 D．射线可以比较长短【答案】C【分析】根据两点之间的距离，线段的中点，线段的性质以及射线的性质分别判断即可．【详解】解：A．两点之间的线段的长度叫做两点间的距离，故错误，不合题意．B．若，则为线段的中点的前提为在同一直线上，故错误，不合题意．C．两点之间线段最短，故正确，符合题意．D．射线不能比较长短，故错误，不合题意．故选C．3．对于如图所示的直线的表示方法，下列说法正确的是（）

A．都正确 B．都错误 C．只有一个错误 D．只有一个正确【答案】D【分析】根据直线的表示方法，一个小写字母，或两个大写字母，进行判断即可．【详解】解：由题意，可知：直线的表示方法是正确的，其它两种表示方法是错误的．故选D．题型二线段的和差问题【例4】如图，已知直线，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，若，，则平行线b，c之间的距离是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据题意可求出，再根据平行线间的距离的定义即可解答．【详解】解：∵，，∴．∵，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，∴平行线b，c之间的距离是4．故选B．【例5】如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为间的路程为，现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（

）

A．点处 B．线段之间 C．线段的中点 D．线段之间【答案】A【分析】设、间的路程为，分类讨论，当点在点的左侧和点在点的右侧，用含的代数式表示车站到三个村庄的路程之和，就可以得出结论．【详解】解∶设、间的路程为，由题意，得如图，当点在点的左侧．

车站到三个村庄的路程之和为∶；如图，当点在点的右侧，

车站到三个村庄的路程之和为∶．综上所述∶车站到三个村庄的路程之和为；∴当时，路程之和最小为．∴当车站建在村庄处，车站到三个村庄的路程之和最小．故选∶A．巩固训练4．已知直线上有三点，且线段，，那么两点之间的距离为（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】根据线段的位置，分类讨论，①如图所示，点在点的右边；②如图所示，点在点的左边；根据线段的和、差计算方法，图形结合分析即可求解．【详解】解：①如图所示，点在点的右边，，，

∴；②如图所示，点在点的左边，，，

∴；∴两点之间的距离为或，故选：．5．已知直线上有三点，其中线段，线段，则线段．【答案】或【分析】分点在线段上还是在线段的延长线上，两种情况进行求解即可．【详解】解：分两种情况讨论：①当点在线段上时，；②当点在线段的延长线上时：；综上：或；故答案为：或．6．将一根绳子对折后用线段表示，现从处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为．【答案】140或210/210或140【分析】根据绳子对折后用线段表示，可得绳子的长度是的2倍，分类讨论，的2倍最长，可得，的2倍最长，可得的长，再根据线段间的比例关系，可得答案．【详解】解：①当的2倍最长时，得，，，，∴这条绳子的原长为，②当的2倍最长时，得，，，∴这条绳子的原长为．综上所述，这条绳子的原长为或．故答案为：140或210．题型三线段中点的有关计算【例6】如图，，，，分别是，的中点，则的长为(

)A．10 B．8 C．6 D．8.5【答案】B【分析】根据已知条件可以求出，的长度，再根据中点的定义，可以求出的值，再由即可求解．【详解】解：，，分别是，的中点，，故选：B【例7】已知：、、是同一直线上的三点，点为的中点，若、，则的长为．【答案】或/1或11【分析】应用两点间的距离计算方法，根据题意画出图形，应用数形结合的方法进行计算即可得出答案．【详解】解：如图，当在的延长线上时，∵点为的中点，若，∴，∴当在线段上时，∴，综上，的长度为或．故答案为：或．巩固训练7．点、、在同一条直线上，，，、分别是、中点，则长可能是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】因直线上三点、、的位置不确定，所以要分两种情况：①、在点两侧；②、在点同侧，画出图形根据中点的定义即可求出的长．【详解】解：根据题意有两种情况：①当、在点两侧时，如图1：则；②当、在点同侧时，如图2：则；故选：AD．8．如图，为线段的中点，点在上，，若，求和的长．【答案】9，【分析】根据，得，即可得的长；根据C为线段AB的中点得i，即可得．【详解】解：∵，，∴，∴；∵C为线段AB的中点，∴，∴．9．如图，已知点在线段上，且，，点、分别是，的中点，求线段的长度．

【答案】线段的长度为【分析】根据题意可知：点、分别是，的中点，则，，再根据即可求解．【详解】解：点是的中点，，，是的中点，，，，答：线段的长度为．题型四两点确定一条直线（两点之间线段最短）【例8】下列生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，尽可能沿直线架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（

）A．①② B．①②③ C．②④ D．③④【答案】A【分析】根据“两点确定一条直线”可直接进行排除选项．【详解】①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，符合题意；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，符合题意；③从地到地架设电线，总是尽可能沿若直线架设，符合“两点之间，线段最短”，故不符合题意；④把弯曲的公路改直，就能缩知路程，符合“两点之间，线段最短”，故不符合题意；故选：A．【例9】下列四个生产生活现象，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解稀的是（

）A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上B．为了节省航行时间，把原来弯曲的河道改直C．植树时，只要定出两颗树的位置，就能确定同一行树所在的直线D．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上【答案】B【分析】根据“两点之间，线段最短”进行判断即可得解.【详解】A、用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，体现的是“两点确定一条直线”；B、为了节省航行时间，把原来弯曲的河道改直，体现的是“两点之间，线段最短”；C、植树时定出两棵树的位置后确定同一行树所在的直线，体现的是“两点确定一条直线”；D、打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上，体现的是“两点确定一条直线”，故选：B.巩固训练10．连接两点的所有线中（

）A．直线最短 B．线段最短 C．折线最短 D．圆弧最短【答案】B【分析】根据线段的性质求解．【详解】解：连接两点的所有线中线段最短，故选B．11．下列说法正确的个数有（

）①若，则点C是线段的中点；②两点确定一条直线；③射线与射线是同一条射线；④线段就是点A到点B之间的距离；⑤两点之间线段最短．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据射线的表示法以及两点之间的距离的定义即可作出判断．【详解】①若，且A、B、C三点共线时，则点C是线段的中点，故原说法错误；②两点确定一条直线，说法正确；③射线与射线不是同一条射线，故原说法错误；④线段的长度就是点A到点B之间的距离，故原说法错误；⑤两点之间线段最短，说法正确．即正确的有2个，故选：B．12．下列现象：其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象是（

）①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．A．①③ B．①② C．②④ D．③④【答案】A【分析】根据直线的性质及线段的性质依次分析判断．【详解】解：①有两个钉子就可以把木条固定在墙上，是利用两点确定一条直线；②A从地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，是利用两点之间，线段最短；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，利用两点确定一条直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用两点之间，线段最短．故选A．题型五角的基础概念【例10】下列图形中，能表示的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据角的定义和角的表示方法解答即可．【详解】解：A．是两条直线，不是角，本选项不符合题意；B．表示或，本选项不符合题意；C．表示，本选项符合题意；D．表示或，本选项不符合题意，故答案为：C．【例11】用放大2倍的放大镜看的角，看到的角的度数是（

）A． B． C． D．不确定【答案】A【分析】角的大小和边的长短无关，与角张开的角度的大小有关，而放大镜看到的角，放大的只是角的边，所以，无论用多少倍的放大镜看角，角的大小都不变，可据此解题．【详解】解：由题意得用放大10倍的放大镜看的角，看到的度数是．故选：A巩固训练13．下列说法中，正确的是（

）A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线C．角的两边越长，角就越大 D．也可以表示为【答案】D【分析】根据平角，周角的概念，角的大小及表示分别判断即可．【详解】解：A、周角的两边在同一射线上，不是一条射线，故错误，不合题意；B、平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，故错误，不合题意；C、角的大小和两边的长度没有关系，故错误，不合题意；D、也可以表示为，故正确，符合题意；故选：D．题型六方位角与角度计算【例12】周角=平角=直角．【答案】/0.51【分析】根据周角、平角、直角的定义可知，1周角=360度，1平角=180度，1直角=90度，据此即可求解．【详解】解：1周角度，1平角度，1直角度，∴周角平角直角，故答案为：，1．【例13】计算：分．【答案】78【分析】根据，进行计算即可．【详解】解：∵，∵，故答案为：78．【例14】．【答案】【分析】进行度、分、秒的转化运算，注意以为进制、用分进位到度，需要除以．【详解】故答案为．巩固训练14．°；【答案】2652【分析】根据1度分，即，1分秒，即进行度分秒的换算和度分秒间的加减计算．【详解】．故答案为：①26，②52．15．换算度分秒．【答案】50，14，24．【分析】根据度分秒的进制进行计算即可．【详解】解：，，，，度14分24秒，故答案为：50，14，24．16．计算：．【答案】/【分析】根据小化大用除法，再列式计算即可．【详解】解：，故答案为：．题型七余角补角相关计算【例15】一个角的补角比这个角的余角的3倍少，这个角的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】互余的两个角和为，互补的两个角和为，再建立方程求解．【详解】解：设这个角为度数，则，解得；故选：A．【例16】如果一个角的补角是，那么这个角的余角的度数为(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根据补角的定义得出这个角为，进而根据余角的定义，即可求解．【详解】解：∵一个角的补角是，∴这个角为∴这个角的余角的度数为，故选：A．【例17】一个角的余角的3倍比它的补角多，求这个角的度数．【答案】这个角的度数为．【分析】根据题意，先设这个角的度数为x，再列方程进行计算．【详解】解：设这个角的度数是x．根据题意，得，解得．即这个角的度数为．巩固训练17．若与互余，与互补，则与的关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由与互余，与互补可得，，由得：，由此即可得到答案．【详解】解：与互余，与互补，，，由得：，，故选：D．18．已知一个角的余角是这个角的补角的，求这个角．【答案】60度【分析】设这个角的度数是，根据一个角的余角是这个角的补角的列出方程，解方程即可．【详解】解：设这个角的度数是，根据题意得：，解得：，答：这个角的度数是60度．题型七对顶角【例18】下列图中，和是对顶角的有（

）个．

A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答．【详解】根据对顶角的定义：中和不是对顶角；中和是对顶角；中和不是对顶角；中和不是对顶角；故选：．【例19】图中，和是对顶角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此即可判断．【详解】解：A、D、和两边不互为反向延长线，故A、D不符合题意；B、和两角没有公共顶点，故B不符合题意；C、和是对顶角，故C符合题意．故选：C．巩固训练19．下列图形中，与是对顶角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据对顶角的概念解答即可．【详解】解：A，与不是对顶角，故不合题意；B，与不是对顶角，故不合题意；C，与不是对顶角，故不合题意；D，与是对顶角，故符合题意；故选：D．20．图中的，是对顶角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】对顶角：有公共的顶点，角的两边互为反向延长线，根据定义逐一判断即可．【详解】解：根据对等角的定义，只有C选项符合题意，故选：C．题型七平面内两直线的位置关系【例20】、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么下列判断正确的是（

）A．与一定不平行 B．与一定平行C．与一定互相垂直 D．与可能相交或平行【答案】D【分析】根据关键语句“若与不平行,与不平行,”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案．【详解】根据题意可得图形：根据图形可知：若与不平行,与不平行,则与可能相交或平行，故选：D.【例21】下列说法正确的有（

）①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平面内两条垂直的直线一定相交；③平面内两条相交的直线一定垂直；④平面内不相交的两条线段一定平行．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面内两直线的位置关系逐一判断即可．【详解】解：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误；②平面内两条垂直的直线一定相交，原说法正确；③平面内两条相交的直线一定不一定垂直，原说法错误；④平面内不相交的两条线段一定平行，原说法正确；故选B．巩固训练21．下列说法正确的是（

）A．过一点有无数条直线与已知直线平行 B．永不相交的两条直线叫做平行线C．若，则为线段的中点 D．两点确定一条直线【答案】D【分析】平行线的性质；直线的性质：两点确定一条直线；两点间的距离；平行公理及推论．根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可以判断A；根据平行线的特点可以判断B；根据线段的性质可以判断C；根据两点确定一条直线判断D．【详解】解：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故选A错误，不符合题意；在同一面内，永不相交的两条直线叫做平行线，故选项B错误，不符合题意；若，且点在线段上，则为线段的中点，故选项C错误，不符合题意；两点确定一条直线，故选项D正确，符合题意；故选：D．题型七画垂线（垂线段最短）【例22】下列选项中，过点画直线的垂线，三角尺的摆放方式正确的是（

）A． B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据画垂线的方法进行判断即可．【详解】解：∵三角板有一个角是直角，∴三角板的一条直角边与直线重合，∵过点P作直线的垂线，∴三角板的另一条直角边过点P，∴符合上述条件的图形只有选项C．故选：C．【例23】如图所示，下列说法不正确的是（

）A．点到的垂线段是线段 B．点到的垂线段是线段C．线段是点D到的垂线段 D．线段是点到的垂线段【答案】C【分析】根据垂线段的定义逐个判