第13讲解直角三角形的应用（原卷版）

第13讲解直角三角形的应用理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题．模块一：仰角与俯角仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．仰角仰角视线水平线视线俯角铅垂线如图，两建筑物水平距离为a米，从点A测得点C的俯角为，测得点D的俯角 为，则较低建筑物CD的高为（ ） A．a米 B．（）米 C．米 D．米AABCDE如图，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得顶部A的 仰角为30°、45°，已知CD=30米，求铁塔的高．（结果保留根号）ABABCD如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60°，看这栋高楼 底部的俯角为30°，热气球与高楼的水平距离为120m，请问：这栋高楼有多高？ABCDABCD模块二：方向角方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．北北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30°70°45°50°如果由点A测得点B在北偏东15°的方向，则由B测点A的方向为（） A．北偏东15° B．北偏西75° C．南偏西15° D．南偏东75°ABC东南西北D如图，小明从A地沿北偏东30°方向走米到ABC东南西北D200米到C地，此时小明离A地_____米．如图，某船以36海里/时的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏 东北ABCD60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30东北ABCD（1）试说明点B是否在暗礁区域外？（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．如图，AC是某市环城路的一段，AE、BF、CD都是南北方向的街道，其与环 城路AC的交叉路口分别是A、B、C．经测量，花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB=2千米，．ABCDEFABCDEF环城路和平路文化路中山路G（2）求C、D之间的距离．模块三：坡度（坡比）坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即．hl坡度通常写成1:m的形式，如．hl坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作．坡度i与坡角之间的关系：．

如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2米，则两树间的坡面距离AB为（）ABCA．4米 B．米 C．米 D．米ABCABCD如图，燕尾槽的横断面中，槽口的形状是等腰梯形，其外口宽ADABCD的深度为12毫米，的正切值为，则它的里口宽BC=______．如图，斜坡的坡度为，坡长为26米，在坡顶A处的同一水平面ABCPQDE上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶ABCPQDE（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，）如图，小智所住的楼房在一个不高的斜坡EF上，楼房旁边不远处有一棵笔直而垂直于水平地面BE的大树HD．小智想要测量这棵大树HD的高度．在下午的某个时刻，他观察到这棵大树树梢H的影子落在楼房的外墙面上的点G处．同时，他又观察到在大树旁边有一根笔直而垂直于水平地面BE的木柱AB，它在水平地面BE上的影子BC也清晰可见．小智通过测量得到以下一些数据：AB=1.6米，BC=3.2米，DE=7.2米，EF=2.6米，斜坡EF的坡度i=1:2.4，FG=1.6米．试求大树HD的高．AABCDEFGHMN一、单选题（2022·上海·九年级专题练习）如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（

）A．5米 B．米 C．米 D．米（2023·上海虹口·统考一模）如果某个斜坡的坡度是，那么这个斜坡的坡角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°（2023·上海杨浦·统考一模）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点处送到离地面3米高的处，则物体从到所经过的路程为（

）A．米 B．米 C．米 D．9米（2022秋·上海浦东新·九年级上海民办建平远翔学校校考期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．6米 B．米 C．米 D．米（2023·上海·一模）已知海面上一艘货轮在灯塔的北偏东方向，海监船在灯塔的正东方向海里处，此时海监船发现货轮在它的正北方向，那么海监船与货轮的距离是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里（2022秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，一艘船从处向北偏东的方向行驶千米到处，再从处向正西方向行驶千米到处，这时这艘船与的距离（）A．千米 B．千米 C．1千米 D．千米（2023·上海松江·统考一模）如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距米的、两点处，观测对岸的标志物，测得、，那么这条河的宽度是（

）A．米 B．米C．米 D．米（2023·上海·一模）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔2海里的点处.若海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置处，则海轮航行的距离的长是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里二、填空题（2023·上海·一模）小明沿着坡度的斜坡行走了米，那么他上升的高度是_____米．（2023·上海金山·统考一模）某商场营业厅自动扶梯的示意图如图所示，自动扶梯坡度，自动扶梯的长度为12米，那么大厅两层之间的高度_________米．（2023·上海奉贤·统考一模）已知一斜坡的坡度，高度为20米，那么这一斜坡的坡长约____________米．（2023·上海松江·统考一模）如图，河堤横断面迎水坡的坡比，堤高米，那么坡面的长度是________米．（2023·上海崇明·统考一模）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为________千米．（用的式子表示）（2023·上海杨浦·统考一模）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左右两个最高位置时，细绳相应所成的角为，那么小球在最高和最低位置时的高度差为___________厘米．（参考数据：，，．）（2023·上海徐汇·统考一模）小球沿着坡度为的坡面滚动了，则在这期间小球滚动的水平距离是___________．（2023·上海·一模）小杰沿坡比为的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了________米．三、解答题（2023·上海宝山·统考二模）“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图1），图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形和“房顶”等腰三角形组成．已知厘米，厘米，厘米．(1)求“房顶”点A到盒底边的距离；(2)现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段的长度（即线段与的和）及矩形的面积均不改变，且，，求新造型“盒身”的高度（即线段的长）．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在修建公路时，需要挖掘一段隧道，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，米；(1)求隧道两端B、C之间的距离（精确到个位）；（参考数据：，，）．(2)原计划单向开挖，但为了加快施工进度，从B、C两端同时相向开挖，这样每天的工作效率提高了20%，结果提前2天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？（2023·上海奉贤·统考二模）图1是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，图2是它的示意图．经过测量，支架的立柱与地面垂直（），米，点A、C、M在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为，该支架的边与的夹角，又测得米．(1)求该支架的边的长；(2)求支架的边的顶端D到地面的距离．（结果精确到米）（参考数据：，，，，，）如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔5海里的点处，如果轮船沿正南方向航行到灯塔的正东方向，轮船航行的距离的长是（

）A．5海里 B．海里 C．海里 D．海里小杰在一个高为的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为，旗杆与地面接触点的俯角为，那么该旗杆的高度是（

）A． B． C． D．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为，如果在坡比为的山坡上种树，也要求株距为，那么相邻两树间的坡面距离为______米．

如图，某地下停车库入口的设计示意图，已知，坡道AB的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人车辆是否能安全驶入，根据所给数据，确定该车库入口的限高，即点D到AB的距离的值为________米．为了测量某建筑物的高度，从与建筑物底端B在同一水平线的点A出发，沿着坡比为的斜坡行走一段路程至坡顶D处，此时测得建筑物顶端E的仰角为，再从D处沿水平方向继续行走100米后至点C处，此时测得建筑物顶端E的仰角为，建筑物底端B的俯角为，如图，已知点A、B、C、D、E在同一平面内，求建筑物的高度与的长．（参考数据：）

小明