第04讲一元一次方程的应用（14类题型）（原卷版）

第04讲一元一次方程的应用（14类题型）课程标准学习目标1.用一元一次方程解决问题；2.一元一次方程应用题的常见类型；1.掌握一元一次方程解决应用题的一般步骤；2.掌握一元一次方程应用题常见类型的解题技巧，等量关系和注意事项；知识点01：用一元一次方程解决问题1.列一元一次方程解应用题的一般步骤审：弄清题意和题目中的数量关系。设：用字母表示题目中的一个未知量。找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。列：根据这个相等关系列出方程。解：解所列的方程，求出未知数的值。验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。答：写出答案。2．设未知数的三种方法：直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。知识点02：一元一次方程应用题的常见类型类型内容题中涉及的数量关系及公式等量关系注意事项和、差、倍、分问题增长量=原有量×增长率现有量=原有量增长量现有量=原有量－降低量由题可知弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等行程问题相遇问题路程=速度×时间时间=路程÷速度速度=路程÷时间快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离相向而行，注意出发时间、地点追及问题快车行驶路程慢车行驶距离=原距离同向而行，注意出发时间、地点调配问题从调配后的数量关系中找等量关系调配对象流动的方向和数量工程问题工作量=工作效率×工作时间工作效率=工作量÷工作时间工作时间=工作量÷工作效率两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量一般情况下，把总工作量设为1销售打折问题商品利润=售价进价（成本价）由题可知打几折就是按售价的十分之几销售数字问题（包括日历中的数字规律）设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为由题可知①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律；②设间接未知数阶梯付费问题由题可知注意付费特点是阶梯式的方案选择问题由题可知方案选择问题一般比较之后选最优的方案。【即学即练1】1．（2023秋·浙江宁波·七年级校考开学考试）如图，用36L的水刚好把这个容器装满．如果水深，则容器里有（

）L的水．（容器的厚度忽略不计）

A．18 B．24 C．27 D．30【即学即练2】2．（2023秋·浙江宁波·七年级统考开学考试）院子里有鸡和兔共12只，一共34只脚，鸡和兔各有多少只？如果设兔有x只，下列方程正确的是（）A． B．C． D．【即学即练3】3．（2022秋·浙江金华·七年级校联考阶段练习）某商店有两种进价不同的百乐牌套装书写笔，都以48元卖出，其中一套盈利60%，另一套亏本20%，则该商店在这次买卖中（

）A．不赚不赔 B．赚了12元 C．亏了6元 D．赚了6元【即学即练4】4．（2022秋·浙江温州·七年级阶段练习）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，《孙子算经》中有这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何．这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一辆车，则剩余两辆车是空的；每两人共乘一辆车，则剩余九个人无车可乘，问车和人各多少．若我们设有辆车，则可列方程（

）A． B． C． D．题型01行程问题1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）钟表的时针与分针在运行过程中每隔一定时间就相遇一次，两次相遇间隔的时间是（

）A． B． C． D．2．（2023春·吉林长春·七年级校联考阶段练习）如图，，点是线段的中点，点从点出发，以2cm/s的速度向右移动，同时点从点出发，以的速度向右移动到点后立即原速返回点，当点到达点时，、两点同时停止运动．当时，运动时间的值是．

3．（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）甲、乙两人练跑步，从同一地点出发，甲每分钟跑，乙每分钟跑，甲比乙晚出发3分钟，结果两人同时到达终点，求全程是多少千米？题型02配套问题1．（2023春·河南新乡·七年级校考期中）某车间有68名工人，每人每天能生产8个甲种部件或5个乙种部件，2个甲种部件和3个乙种部件配成一套，为使每天生产的两种部件刚好配套，设有x名工人生产甲种配件，列方程正确的是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）服装厂计划生产一批某种型号的学生服装，已知每米长的某种布料可做件上衣或条裤子，一件上衣和一条裤子为一套，现仓库内存有这样的布料米，若全部用来做这种型号的学生服装，应分别用多少布料做上衣和裤子，才能恰好配套？题型03工程问题1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）一项工程，甲队单独完成需要天，乙队单独完成需要天．若先由甲队单独做天，剩下部分由甲、乙两队合作完成，则还需要的天数是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第二个工作日起，乙加入此项工作，且甲、乙两人的工作效率相同，结果提前3天完成任务，求甲计划用多少个工作日完成此项工作．题型04销售盈亏问题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）某商场购进一批服装，每件进价为200元，商场决定将这种服装每件按标价的八折销售，若打折后每件服装仍能获利，则该服装每件标价是（

）A．240元 B．160元 C．300元 D．320元2．（2023·浙江衢州·校考一模）一家商店某种衣服按进价提高后标价，又以八折优惠卖出，结果每件衣服获利元，则这件衣服的进价是元．3（2023秋·全国·七年级课堂例题）某校七年级社会实践小组到某商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件元的价格购进了某品牌衬衫件，并以每件元的价格销售了一部分，因市场原因，为回笼资金，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完．请你帮商场计算一下，降价之前销售的袝衫数量为多少时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？题型05比赛积分问题1．（2023春·浙江台州·七年级统考期末）县里举办农村篮球超级联赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得2分，负1场得1分，云村篮球队在9场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x，负的场数为y，根据上述等量关系列出的下列方程组中，正确的是（

）．A． B． C． D．2．（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）中国CBA篮球常规赛比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得分，今年某队在全部38场比赛中得到67分，那么这个队今年胜场．题型06方案选择问题1．（2023秋·七年级课时练习）某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（

）

A．60人 B．61人 C．62人 D．63人2（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）阳春三月，草长莺飞．初2025届四个班的同学决定外出研学，四个班计划统一乘车前往，若调配30座客车若干辆，则有8人没有座位；若调配38座客车，则用车数量将减少1辆，并空出2个座位．则四个班外出研学共有人．3．（2023秋·山东泰安·六年级统考期末）某校六年级准备观看电影《万里归途》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，有5人可以免票．(1)若二班有42名学生，则他该选择哪个方案？(2)一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的你知道一班有多少人吗？题型07数字问题1．（2023春·四川达州·九年级校考期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，则（

）

A．4 B．5 C．6 D．72．（2023秋·山西太原·七年级校考期末）观察表中三行数的规律，回答下列问题：第列第列第列第列第列第列第行第行第行(1)第行的第5个数是______；第行的第6个数是______；(2)若第行的某一列的数为，则第行与它同一列的数为______，（用含的代数式表示）(3)已知第列的三个数的和为，若设第列第1行的数为，试求的值．题型08几何问题1．（2023秋·浙江宁波·七年级校考开学考试）如图，用36L的水刚好把这个容器装满．如果水深，则容器里有（

）L的水．（容器的厚度忽略不计）

A．18 B．24 C．27 D．302．（2023秋·河南信阳·七年级校联考开学考试）荣老师家的客厅长6米、宽4.8米，他计划在地面铺方砖，现有以下规格的方砖：①边长30厘米的方砖②边长40厘米的方砖③边长60厘米的方砖请你帮荣老师选择一种规格的方砖，并计算需要多少块．题型09和差倍分问题1（2023秋·七年级课时练习）甲车队有汽车100辆，乙车队有汽车68辆，根据情况需要甲车队的汽车是乙车队的汽车的两倍，则需要从乙队调到甲队汽车（）A．8辆 B．10辆 C．12辆 D．16辆2．（2023秋·山东临沂·七年级统考开学考试）2008年夏季奥运会和2022年冬季奥运会的成功举办使北京成为首个“双奥之城”．两次奥运会的成功举办离不开志愿者的无私奉献．据统计，2008年夏季奥运会大约有7.46万人参与了志愿服务，比2022年冬季奥运会的志愿者的4倍还多0.26万人．2022年冬季奥运会大约有志愿者多少万人（请列方程解答）?题型10电费和水费问题1．（2023秋·广东梅州·七年级统考期末）某市采取分段收费．若每户每月用水不超过，每立方米收费2元；若用水超过，超过部分每立方米加收1元．小明家某月交水费82元，则该月用水（）．A．38 B．28 C．34 D．442．（2023秋·七年级课时练习）目前，某市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下．一户居民一个月用电量（单位：度）电价（单位：元/度）第1档不超过180度的部分第2档超过180度的部分(1)若该市某户12月用电量为200度，该户应交电费________元．(2)若该市某户12月用电量为度，请用含的式子分别表示和时该户12月应交电费多少元．(3)若该市某户12月应交电费126元，则该户12月用电量为多少度？题型11比例分配问题1．（2023春·上海·六年级专题练习）参加某次数学竞赛的女生和男生人数的比是1：3，这次竞赛的平均成绩是82分，其中男生的平均成绩是80分，女生的平均成绩是（

）A．82分 B．86分 C．87分 D．88分2．（2023·全国·七年级假期作业）某洗衣机厂生产三种型号的洗衣机共1500台，已知三种型号的洗衣机的数量比是，则三种型号的洗衣机各生产多少台？题型12日历问题1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）下表是2023年10月的月历，任意圈出一坚列上相邻的四个数，请你运用方程的思想来研究，发现这四个数的和不可能是（

）日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031A．50 B．58 C．68 D．702（2023秋·江苏·七年级专题练习）如图是2022年2月的日历表：

(1)在图中用优美的“”U形框框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为；(2)在图中将U形框上下左右移动，框住日历表中的5个数字，设最小的数字为x，用代数式表示U形框框住的五个数字之和为；(3)在图中移动U形框的位置，框住的五个数字之和可以为63吗？若能，求出这五个数字中最小的数；若不能，请说明理由．题型13古代问题1．（2023秋·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？若设井深为尺，则符合题意的方程应为（

）A． B．C． D．2．（2023秋·北京·九年级清华附中校考开学考试）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为130斤，求大象的体重．请将下列解答过程补充完整：

解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量个搬运工的体重和块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，所以①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x斤，则可列方程为：______．②解这个方程得，______．③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量______．个搬运工的体重④最终可求得：大象的体重为______斤．题型14其他问题1．（2023秋·七年级课时练习）一商家将每台充电宝先按成本提高标价，再以七折出售，结果获利5元，则每台充电宝的成本是（

）A．元 B．110元 C．元 D．元2、（2023春·安徽·九年级专题练习）【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）．

【规律总结】（1）填写下表：五边形内点的个数1234…n分割成的三角形的个数579…【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2023个三角形？若能，求此时五边形内部有多少个点；若不能，请说明理由．A夯实基础1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）某车队运送一批货物，每辆汽车装，还剩下末装，每辆汽车装就恰好装完，该车队运送货物的汽车共有多少辆？设该车队运送货物的汽车共有辆，可列方程为（

）A． B．C． D．2．（2023秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）某彩电降价以后，每台售价为元，则该彩电每台原价为（）A．元 B．元 C．元 D．元3．（2023秋·山东枣庄·七年级统考阶段练习）“国庆”卖场大促销，一件羽绒服原价800元，现在打六折出售，现价是元．4．（2023春·河南开封·七年级统考期中）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样人，甲采样小时与乙采样小时所采样人数相等，问：甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样人，则可列方程为．5．（2023秋·广东广州·七年级广州市白云中学校考开学考试）（用比例知识解答）榨油厂用300千克花生可以榨出39千克花生油，照这样计算，要榨出104千克油需要多少千克的花生？6．（2023秋·湖南岳阳·七年级校考开学考试）刘洋家住在电影院正西，李明家住在电影院的正东．两人同时从家里出发相向而行，刘洋每分钟步行，李明每分钟步行．从出发到两人相遇用了多长时间？相遇地点距离电影院有多远？（用方程解答）B能力提升1．（2023秋·安徽淮北·七年级校联考阶段练习）如图，在数轴上，点，分别表示数，，且．若，两点间的距离为12，则点表示的数为（

）

A．4 B． C．8 D．2．（2023秋·浙江金华·七年级义乌市绣湖中学教育集团校联考阶段练习）如图，甲乙两只蚂蚁分别从数轴上的A，B两点处同时出发，相向而行．甲蚂蚁的速度为每分钟6个单位长度，乙蚂蚁的速度为每分钟4个单位长度．一只蝴蝶精灵与甲同时从A地出发，当蝴蝶精灵碰到乙后，马上返回遇上甲，再返回遇上乙，依次反复，直至甲和乙两只蚂蚁相遇为止．已知蝴蝶精灵的速度为每分钟20个单位长度，那么，在这一过程中，蝴蝶精灵一共飞行了（

）个单位长度．

A．2020 B．4420 C．5400 D．缺少条件，无法计算3．（2023秋·安徽淮北·七年级校联考阶段练习）在，，6，7，五个有理数中，如果最大的数与最小的数之差等于15，那么．4．（2023秋·浙江金华·七年级义乌市绣湖中学教育集团校联考阶段练习）如图1，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、90（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．

（1）直尺的长为个单位长度．（2）如图2，以为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子，将直尺放入篷内的数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺沿数轴以5个单位/秒的速度分别向左、向右移动，直到完全看到直尺，所经历的时间为、，若（秒），求直尺放入篷内，A点对应的数为．5．（2023秋·陕西商洛·七年级校考阶段练习）传说“九宫图”是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等．如图是一个满足条件的“九宫图”的一部分，求这三个数．375196．（2023秋·广西南宁·七年级南宁三中校考阶段练习）蔬菜商店以每筐48元的价格从农场购进8筐白菜，若以每筐白菜净重25千克为标准，超过千克数记为正数，不足千克数记为负数，稳重后记录如下：。(1)这8筐白菜一共重多少千克？(2)若把这些白菜全部以零售的形式卖掉，商店计划共获利，那么蔬菜商店在销售过程中白菜的单价应定为每千克多少元？(3)如果平均每天的白菜销售量相同，商店以（2）中的单价售完所有白菜的一半时恰好用了3天时间，现决定降价促销把剩余的白菜按原价的八折销售完，这样平均每天可比原来多售出16千克，请通过计算说明商店在整个白菜销售过程中共需要几天？并计算商店共盈利或亏损多少元？C综合素养1．（2023秋·湖南长沙·九年级校联考阶段练习）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛50场比赛，设参加比赛共有