2025届山东省东营市实验中学高二数学第一学期期末复习检测试题含解析

2025届山东省东营市实验中学高二数学第一学期期末复习检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数，若的整数有且仅有两个，则的取值范围是（）A. B.C. D.2．如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK和LM所成角的大小为（）A.30° B.45°C.60° D.90°3．函数的大致图象是（）A. B.C. D.4．给出下列结论：①如果数据的平均数为3，方差为0.2，则的平均数和方差分别为14和1.8；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1．③对A、B、C三种个体按3：1：2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A种个体有15个，则样本容量为30．则正确的个数是（）.A.3 B.2C.1 D.05．在数列中，，则的值为（）A. B.C. D.以上都不对6．直线与直线交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是（）A.2 B.C. D.47．设，则“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8．函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.9．如图，在平行六面体中，设，，，用基底表示向量，则（）A. B.C. D.10．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.11．“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件12．中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，恰好走了天到达目的地，则该人第一天走的路程为（）A.里 B.里C.里 D.里二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．为和的等差中项，则_____________.14．已知存在正数使不等式成立，则的取值范围_____15．圆锥曲线的焦点在轴上，离心率为，则实数的值是__________.16．已知等差数列，的前n项和分别为，若，则=______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m，交椭圆于A，B两个不同点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）求证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.18．（12分）已知抛物线的准线方程是.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.19．（12分）已知函数，其中，.（1）当时，求曲线在点处切线方程；（2）求函数的单调区间.20．（12分）在四棱锥中，底面ABCD是矩形，点E是线段PA的中点.（1）求证：平面EBD；（2）若是等边三角形，，平面平面ABCD，求点E到平面PDB的距离.21．（12分）已知直线，直线，直线（1）若与的倾斜角互补，求m的值；（2）当m为何值时，三条直线能围成一个直角三角形22．（10分）已知等差数列的前项的和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和，求使得恒成立时的最小正整数.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】等价于，令，，利用导数研究函数的单调性，作出的简图，数形结合只需满足即可.【详解】，即，又，则.令，，，当时，，时，，时，，在单调递减，在单调递增，且，且，，作出函数图象如图所示，若的整数有且仅有两个，即只需满足，即，解得：故选：D2、D【解析】作出折叠后的正四棱锥，确定线面关系，从而把异面直线的夹角通过平移放到一个平面内求得.【详解】由题知，折叠后的正四棱锥如图所示，易知K为的四等分点，L为的中点，M为的四等分点，，取的中点N，易证，则异面直线AK和LM所成角即直线AK和KN所成角，在中，，，故故选：D3、A【解析】由得出函数是奇函数，再求得，，运用排除法可得选项.【详解】法一：由函数，则，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除B；因为，所以排除D；因为，所以排除C，故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4、B【解析】对结论逐一判断【详解】对于①，则的平均数为，方差为，故①正确对于②，若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故②错误对于③，对A、B、C三种个体按3：1：2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A种个体有15个，则样本容量为，故③正确故正确结论为2个故选：B5、C【解析】由数列的递推公式可先求数列的前几项，从而发现数列的周期性的特点，进而可求.【详解】解：，数列是以3为周期的数列故选：【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，解题的关键是由递推关系发现数列的周期性的特点，属于基础题.6、B【解析】求出两直线的交点坐标，结合两点间的距离公式得到，进而可以求出结果.【详解】因为与的交点坐标为所以，当时，，所以的最大值是，故选：B.7、A【解析】根据两直线平行的充要条件求出a的值，然后可判断.【详解】当时，，所以两直线平行；若两直线平行，则且，解得或，所以，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.故选：A8、D【解析】求导后，利用求得函数的单调递减区间.【详解】解：，则，由得，故选：D.9、B【解析】直接利用空间向量基本定理求解即可【详解】因为在平行六面体中，，，，所以，故选：B10、C【解析】由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于的方程组，求解方程组即可得答案【详解】由题意，设椭圆的方程为，由椭圆的离心率为，面积为，∴，解得，∴椭圆的方程为，故选：C.11、B【解析】求出的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.【详解】，因“”“”且“”“”，因此，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.12、C【解析】建立等比数列的模型，由等比数列的前项和公式求解【详解】记第天走的路程为里，则是等比数列，，，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用等差中项的定义可求得结果.【详解】由等差中项的定义可得.故答案为：.14、（1，1）【解析】存在性问题转化为最大值，运用均值不等式，求出的最大值，转化成解对数不等式，进而解出【详解】解：∵，由于，则，∴，当且仅当时，即：时，∴有最大值，又存在正数使不等式成立，则，即，∴，即的取值范围为：.故答案为：【点睛】本题考查均值不等式的应用和对数不等式的解法，还涉及存在性问题，考查化简计算能力15、【解析】根据圆锥曲线焦点在轴上且离心率小于1，确定a,b求解即可.【详解】因为圆锥曲线的焦点在轴上，离心率为，所以曲线为椭圆，且，所以，解得，故答案为：16、【解析】利用等差数列的性质和等差数列的前项和公式可得，再令即可求解.【详解】由等差数列的性质和等差数列的前项和公式可得：因为，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用等差数列的性质可得，再转化为前项和公式的形式，代入的值即可.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）且；（Ⅲ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）设出椭圆方程，根据题意得出关于的方程组，从而求得椭圆的方程；（Ⅱ）根据题意设出直线方程，并与椭圆方程联立消元，根据直线与椭圆方程有两个不同交点，利用即可求出m取值范围；（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，根据题意把所证问题转化为证明k1+k2=0即可.【详解】（1）设椭圆方程为，由题意可得，解得，∴椭圆方程为；（Ⅱ）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，，所以设直线的方程为，由消元，得∵直线l与椭圆交于A，B两个不同点，所以，解得，所以m的取值范围为.（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可，设，由（Ⅱ）可知，则，由，而，，故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.18、（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x-2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON试题解析：（Ⅰ）解：因为抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为.（Ⅱ）证明：设，.将代入，消去整理得.所以.由，，两式相乘，得，注意到，异号，所以.所以直线与直线的斜率之积为，即.考点：直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程19、（1）；（2）答案见解析.【解析】（1）当时，，求出函数的导函数，再求出，，再利用点斜式求出切线方程；（2）首先求出函数的导函数，再对参数分类讨论，求出函数的单调区间；【详解】解：（1）当时，，所以，所以，，所以切线方程为：，即：（2）函数定义域为，，因为，①当时，在上恒成立，所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间；②当时，由得，由得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究含参函数的单调区间，属于基础题.20、（1）见解析（2）【解析】（1）连接交于点，连接，由中位线定理结合线面平行的判定证明即可；（2）由得出点到平面的距离，再由是的中点，得出点到平面的距离.【小问1详解】连接交于点，连接.因为分别是的中点，所以.又平面EBD，平面EBD，所以平面EBD；【小问2详解】过点作的垂线，垂足为，连接.因为平面平面ABCD，平面平面ABCD，所以平面ABCD，所以，设点到平面的距离为因为，所以，因为点是的中点，所以点到平面的距离为.21、（1）（2）0，，.【解析】（1）根据题意得，进而求解得答案；（2）根据题意，分别讨论与垂直，与垂直，与垂直求解，并检验即可得答案【小问1详解】解：因为与的倾斜角互补，所以，直线变形为，故所以，解得【小问2详解】解：由题意，若和垂直可得：，解得，因为当时，，，，构不成三角形，当时，经验证符合题意；故；同理