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文档简介
安徽省马鞍山二中2025届高二上数学期末经典模拟试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(即百分比)为“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁分别分得,,,,递减的比例为,那么“衰分比”就等于,今共有粮石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知乙分得石,甲、丙所得之和为石,则“衰分比”为()A. B.C. D.2.计算复数:()A. B.C. D.3.抛物线的焦点到准线的距离为()A. B.C. D.4.已知动直线的倾斜角的取值范围是,则实数m的取值范围是()A. B.C. D.5.已知抛物线的焦点为F,过点F分别作两条直线,直线与抛物线C交于A、B两点,直线与抛物线C交于D、E两点,若与的斜率的平方和为2,则的最小值为()A.24 B.20C.16 D.126.如图,在三棱柱中,E,F分别是BC,中点,,则()A.B.C.D.7.下列说法或运算正确的是()A.B.用反证法证明“一个三角形至少有两个锐角”时需设“一个三角形没有锐角”C.“,”的否定形式为“,”D.直线不可能与圆相切8.直线的倾斜角为()A B.C. D.9.已知,是球的球面上两点,,为该球面上的动点,若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为()A. B.C. D.10.在等差数列中,已知,则数列的前6项之和为()A.12 B.32C.36 D.7211.等轴双曲线渐近线是()A. B.C. D.12.在直三棱柱中,,,则直线与所成角的大小为()A.30° B.60°C.120° D.150°二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,甲站在水库底面上的点处,乙站在水坝斜面上的点处,已知库底与水坝斜面所成的二面角为,测得从,到库底与水坝斜面的交线的距离分别为,,若,则甲,乙两人相距________________14.曲线在处的切线方程为______15.已知球的半径为3,则该球的体积为_________.16.函数在上的最大值为______________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数其中.(1)当时,求函数的单调区间;(2)当时,函数有两个零点,,满足,证明.18.(12分)已知双曲线的左焦点为,到的一条渐近线的距离为1.直线与交于不同的两点,,当直线经过的右焦点且垂直于轴时,.(1)求的方程;(2)是否存在轴上的定点,使得直线过点时,恒有?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.19.(12分)给出以下三个条件:①;②,,成等比数列;③.请从这三个条件中任选一个,补充到下面问题中,并完成作答.若选择多个条件分别作答,以第一个作答计分已知公差不为0的等差数列的前n项和为,,______(1)求数列的通项公式;(2)若,令,求数列的前n项和20.(12分)椭圆的左右焦点分别为,,焦距为,为原点.椭圆上任意一点到,距离之和为.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点的斜率为2的直线交椭圆于、两点,求的面积.21.(12分)如图,在四棱锥中,平面,底面是直角梯形,其中,,,,为棱上的点,且.(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值;(3)设为棱上的点(不与,重合),且直线与平面所成角的正弦值为,求的值.22.(10分)已知函数(1)当时,求的单调区间;(2)当时,证明:存在最大值,且恒成立.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据题意,设衰分比为,甲分到石,,然后可得和,解出、的值即可【详解】根据题意,设衰分比为,甲分到石,,又由今共有粮食石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知乙分得90石,甲、丙所得之和为164石,则,,解得:,,故选:A2、D【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简可得结论.【详解】故选:D.3、B【解析】根据抛物线的几何性质可得选项.【详解】由得,所以,所以抛物线的焦点到准线的距离为1,故选:B.4、B【解析】根据倾斜角与斜率的关系可得,即可求m的范围.【详解】由题设知:直线斜率范围为,即,可得.故选:B.5、C【解析】设两条直线方程,与抛物线联立,求出弦长的表达式,根据基本不等式求出最小值【详解】抛物线的焦点坐标为,设直线:,直线:,联立得:,所以,所以焦点弦,同理得:,所以,因为,所以,故选:C6、D【解析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可.【详解】,故选:D7、D【解析】对于A:可以解决;对于B:“一个三角形至少由两个锐角”的反面是“只有一个锐角或没有锐角”;对于C:全称否定必须是全部否定;对于D:需要观察出所给直线是过定点的.【详解】A:,故错误;B:“一个三角形至少由两个锐角”的反面是“只有一个锐角或没有锐角”,所以用反证法时应假设只有一个锐角和没有锐角两种情况,故错误;C:的否定形式是,故错误;D:直线是过定点(-1,0),而圆,圆心为(2,0),半径为4,定点(-1,0)到圆心的距离为2-(-1)=3<4,故定点在圆内,故正确;故选:D.8、C【解析】设直线倾斜角为,则,再结合直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】设直线的倾斜角为,则,∵,所以.故选:C9、C【解析】当平面时,三棱锥体积最大,根据棱长与球半径关系即可求出球半径,从而求出表面积.【详解】当平面时,三棱锥体积最大.又,则三棱锥体积,解得;故表面积.故选:C.【点睛】关键点点睛:本题考查三棱锥与球的组合体的综合问题,本题的关键是判断当平面时,三棱锥体积最大.10、C【解析】利用等差数列的求和公式结合角标和定理即可求解.【详解】解:等差数列中,所以等差数列的前6项之和为:故选:C.11、A【解析】对等轴双曲线的焦点的位置进行分类讨论,可得出等轴双曲线的渐近线方程.【详解】因为,若双曲线的焦点在轴上,则等轴双曲线的渐近线方程为;若双曲线的焦点在轴上,则等轴双曲线的渐近线方程为.综上所述,等轴双曲线的渐近线方程为.故选:A.12、B【解析】根据三棱柱的特征补全为正方体,则,为直线与所成角,连接,则为等边三角形即可得解.【详解】根据直三棱柱的特征,补全可得如图所示的正方体,易知,为直线与所成角,连接,则为等边三角形,所以,所以直线与所成角的大小为.故选:B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】首先构造二面角的平面角,如图,再分别在和中求解.【详解】作,且,连结,,,,平面且,四边形时平行四边形,,平面,平面,中,,中,.故答案为:14、【解析】求得的导数,可得切线的斜率和切点,由斜截式方程可得切线方程【详解】解:的导数为,可得曲线在处的切线斜率为,切点为,即有切线方程为故答案为【点睛】本题考查导数的运用:求切线方程,考查导数的几何意义,直线方程的运用,考查方程思想,属于基础题15、【解析】根据球的体积公式计算可得;【详解】解:因为球的半径,所以球的体积;故答案为:16、【解析】对原函数求导得,令,解得或,且所以原函数在上的最大值为考点:1.函数求导;2.利用导函数求最值三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)单调递增区间,无递减区间;(2)证明见解析【解析】(1)求出函数的导数,从而判断其正负,确定函数的单调区间;(2)根据题意可得到,进而变形为,然后换元令,将证明的问题转换为成立的问题,从而构造新函数,求新函数的导数,判断其单调性,求其最值,进而证明不等式成立.【小问1详解】时,,,令,当时,,当时,,故,则,故是单调递增函数,即的单调递增区间为,无递减区间;【小问2详解】当时,函数有两个零点,,满足,即,所以,则,令,由于,则,则x2=tx故,要证明,只需证明,即证,设,令,则,当时,,即在时为增函数,故,即,所以在时为增函数,即,即,故,即.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间以及涉及到零点的不等式的证明问题,解答时要注意导数的应用,主要是根据导数的正负判断函数的单调性,进而求函数极值或最值,解答的关键时对函数式或者不等式进行合理的变形,进而能构造新的函数,利用新的函数的单调性或最值达到证明不等式成立的目的m.18、(1);(2)存在,理由见解析.【解析】(1)根据题意,列出的方程组,解得,则椭圆方程得解;(2)假设存在点满足题意,设出直线的方程,联立双曲线方程,利用韦达定理以及,即可求解.【小问1详解】双曲线的左焦点,其中一条渐近线,则;对双曲线,令,解得,则,解得,故双曲线方程为:.小问2详解】根据(1)中所求可知,假设存在轴上的点满足题意,若直线的斜率不为零,则设其方程为,联立双曲线方程,可得,则,即,此时直线与双曲线交于两点,则,则,即,即,则,此时满足题意;若直线的斜率为零,且过点,此时,满足题意.综上所述,存在轴上的一点满足.【点睛】本题考察双曲线方程的求解,以及双曲线中存在某点满足条件的问题;解决问题的关键是合理转化,利用韦达定理进行求解,属综合中档题.19、(1)(2)【解析】(1)若选①,则根据等差数列的前n项和公式,结合,求得公差,可得答案;若选②,则根据,,成等比数列,列出方程,结合,求得公差,可得答案;若选③,则根据,列出方程,结合,求得公差,可得答案;(2)由(1)可得的表达式,利用错位相减法,求得答案.【小问1详解】设数列的公差为d选择①,由题意得,又,则,所以;选择②,由,,成等比数列,得,即,解得,或(舍去),所以;选择③,由,得,解得,所以【小问2详解】由题意知,∴①②①-②得∴,即.20、(1)(2)【解析】(1)根据题意和椭圆的定义可知a,c,再根据,即可求出b,由此即可求出椭圆的方程;(2)求出直线方程,将其与椭圆方程联立,根据弦长公式求出的长度,再根据点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离,再根据面积公式即可求出结果.【小问1详解】由题意可得,,∴,,,所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】直线l的方程为,代入椭圆方程得,设,,则,,,∴,又∵点O到直线AB的距离,∴,即△OAB的面积为.21、(1)证明见解析;(2);(3).【解析】(1)由已知证得,,,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证;(2)根据二面角的空间向量求解方法可得答案;(3)设,表示点Q,再利用线面角的空间向量求解方法,建立方程解得,可得答案.【详解】(1)因为平面,平面,平面,所以,,又因为,则以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,由已知可得,,,,,,所以,,,因为,,所以,,又,平面,平面,所以平面.(2)由(1)可知平面,可作为平面的法向量,设平面的法向量因为,.所以,即,不妨设,得.,又由图示知二面角为锐角,所以二面角的正弦值为.(3)设,即,,所以,即,因为直线与平面所成角的正弦值为,所以,即,解得,即.【点睛】本题考查利用空间向量求线面垂直、线面角、二面角的求法,向量法求二面角的步骤:建、设、求、算、取:1、建:建立空间直角坐标系,以三条互相垂直的垂线的交点为原点;2、设:设所需点的坐标,并得出所需向量的坐标;3、求:求出两个面的法向量;4、算:运用向量的数量积运算,求两个法向量的夹角的余弦值;5、取:根据二面角的范围和图示得出的二面角是锐角还是钝角,再取值.22、(1)的单增区间为,;单减区间为,,;(2)证明见解析.【解析】(1)先求出函
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