解析几何-2023上海市高三数学一模汇编【教师版】

2023一模汇编【解析几何】

一、填空题

1.【嘉定3】直线X=I与直线氐一）+1=0的夹角大小为.

【答案】ɪ

6

2

2.【闵行3】双曲线匕=1的离心率为.

8

【答案】3【提示】•=inc*=l+8=9nc=3

3.【静安3】若直线x+2y+3=0与直线2x+my+10=0平行，则这两条直线间的距离是.

【答案】ɪ

5

【提示】-=—≠-^m=4^2x+4y+10=0,即x+2y+5=0nd=-jZ∑2L=里

2m10Vi1TF5

4.【金山4】已知抛物线y=2pχ（p>0）的焦点坐标为（2,0）,则，的值为.

【答案】4【提示】抛物线的焦点坐标为（§0；所以勺2,则p=4

5.【奉贤5】己知双曲线的中心在原点，焦点在X轴上，它的渐近线方程为y=±2x,则它的离心率等于

.【答案］石

bC1

【提示】y=±-x=±2x,所以b=24,故"=4〃=《2一〃所以‘工=56z2,故/==5

aa

x+my=2

6.【崇明6】已知方程组《二C无解，则实数加的值等于_______.

77U÷16J=8

【答案】-4

1m—2

［提示】直线x+g>-2=0与直线∕nr+16y-8=0平行=—=丰一=>m=-4

m16-8

2

7.【普陀7】双曲线r土-V=1的两条渐近线的夹角大小为.

3

【答案】一【解析】——y2=0=>y=-^-x=>Z:=≡>θ=—^a=2θ=—（仅适用特殊角）

333363

【巧解】COSa=冷与=坦二U=L=>a=2(此方法也适合一般角)

a2+b23+123

8.【浦东8】已知抛物线Uy?=i6x的焦点为尸，在C上有一点。满足IPFI=I3,则点P到X轴的距离

为.

【答案】12

【解析】IPFl=~+4=13?XP9?y；16®Ml=I2,

故点P到X轴的距离为12.

9.【杨浦8】若双曲线的渐近线方程为y=±3χ,则双曲线的离心率为.

【答案】』或9

43

【提示】2=3或@=3,①若2=3,令b=3t,a=4t,则e=f∙=2=2;

a4b4a4«4/4

②若q=3,令Z,=4r,α=3f,则e=£=2=3；综上，双曲线的离心率为之或

b4a3t343

10.【普陀9】设根€R.若直线/：x=—1与曲线C,,,:(X-L)2+(y-m)2=l仅有一个公共点，则

4

加=.【答案】0

【解析】圆心Cm(!，加)，•••直线/：X=-I与圆C,“仅有一个公共点

“2

二./与圆相切=>----(-1)=1=>m=0.

11.【闵行10］己知A(Xl,X)、是圆/+y2=ι上的两个不同的动点，且则

2%+々+2乂+%的最大值为.【答案】√2

X=cosa[x=COS/?八

27

【解析】令勺.,.二，0<a<β<2πt

y}=Sma[y2-sinp

则A(COSa,sinα)、B(cosβ,sin/3),

由=∕y，得COSaSin/?=SinaCOS尸=Sin(夕一0)=0,

又因为O≤α<∕7<2",所以用一ɑ=π,

,

=>2xl+x2+2)1+j2=2CoSa+cos尸+2Sina+sin尸=2CoSa+cos(π+α)+2sinα+sin(π+α)

=2CoSa-CoSa+2Sina-Sina=Sinα+cosα=V∑sin[a+:

当α=:时，上式取得最大值J5∙

22

12.【松江10】己知《，乃是双曲线「：鼻一六=1(4>02>0)的左、右焦点，点M是双曲线「上的

任意一点(不是顶点)，过耳作6的角平分线的垂线，垂足为N,线段KN的延长线交于点。,

0是坐标原点，若IONl=匣』，则双曲线「的渐近线方程为.【答案】y=±2√2x

6

【解析】因为MN是NKM6的角平分线，耳NAMN,

所以△耳M。是等腰三角形，∣6M∣=∣MQ∣,N为耳。的中点，

又。为耳心的中点，所以QV是△百gQ的中位线，

如图，由双曲线定义，得IMGI—IMEl=IQPJ=2∣QNl=2αn∣0N∣=4,

QM=14-/.6a-2c=>3a-c≡>9<√2=a^+b28tz2=〃=-=2∖∕2,

116α

所以双曲线F的渐近线方程为y=±2√2x.

13.【宝山10】双曲线C的左、右焦点分别为丹、尸2，点A在y轴上.双曲线C与线段Af；交于点P,与

线段A8交于点Q，直线AK平行于双曲线C的渐近线，且:IPQl=5:6,则双曲线C的离心率为_

【答案】-

3

【答案】如图，PQ交y轴于根据双曲线的对称性,

知P0与X轴平行，且IPMl=JP0.

设IM=5Z(Q0),则归。=6%，IPM=3左，

2

所以IMAI=y∣∖APf-∖MP∖=4k.

双曲线渐近线方程为y=±2χ,的(-G0),由已知直线46斜率为2,

αa

则直线M的方程为y=夕x+c)n∣Q4∣=^.

∖MP∖MA

因为MP〃。1，所以有马=-即-T=无，整理可得，4a=3b^16α2=9b2=9(c2-a2)

I。娟OA

a

c2_25__5

=25"=9/二=/,所以，

^^9^^-3-

14.【徐汇11]设4eR,函数y=|f—4x+3∣的图像与直线y=区+1有四个交点，且这些交点的横坐标

2222

分别为玉,工2，占，%(不<X,<Λ3<X4),则'"+J+K+'寸的取值范围为.

k

(1©9、

【答案】一8,一亍【解析】根据题意，令χ2一4χ+3=0,解得X=I或X=3,

不妨设A(l,0),B(3,0),C(CU),如图直线BC的斜率为-g,数形结合可知，要满足题意，Ze(,0)；

且X],∙¾为方程/-4%+3=AX+1,即X2-(4+%)x+2=0的两根，

2

=>X1+X4=Z:+4,FX4=2,故=(Xl+%)2—2%工4=(攵+4)—4；

【解析】因为A=](x,y)(x+y)2+x+y-2≤θ}={(x,y)∣-2≤x+y≤l},

所以集合A是被两条平行直线x+y=-2,x+y=l夹在其中的区域，

如图所示，3={(x,y)(x-α)2+(y-2α-l)?≤a2-1|,

其中(九一ɑj+(y—2a—I)?=4—1,由/—1≥0,解得α≤-1或Q≥1,

当α=±l时，B表示点(1,3)或(一1,一1)；当α≠±l时，B表示以M(a,2α+1)为圆心，而二ɪ为半径的

圆及其内部的点，其圆心在直线y=2x+l上，A.•・圆M应与阴影部分相切或者相交,

①当α=l时，点（1,3）在直线x+y=l的上方，舍去;

②当α=T时，点（一1,一1）在直线χ+y=-2上，满足题意;

③当α<—1时，4→,==K2蓑"N≤&T=9〃+18α+9≤2〃一2

t+y+20

=>7a2+18a+l1≤0=>(a+l)(7iz+l1)≤O=>-y-≤α<-l；

∖cι+2a+1—11/^^ɔ)ɔ

④当时，J五无解;

α>l<W→Λ+J-I=O=——~~^≤√"-l=9α2≤2Q2-2=7α2≤-2,

综上，实数。的取值范围足-卜1

16..【黄浦12】已知曲线G：y=J叱与曲线G：y=χ∕Ξ二7,长度为1的线段45的两端点A,8分

别在曲线G，G上沿顺时针方向运动，若点A从点（7,0）开始运动，点3到达点（虚,0）时停止运动，则线

3才

段AB所扫过的区域的面积为..【答案】—

8

∖χ+D2+城=1

ixi=-1

【解析】如图所示：A（T,0）,即χ∣,M）,<1由(—1,1)

.城+片=2Iy=I

f√2

叼叵o"Qd、

->

线段AS所扫过的区域的面积为郃=9一（£一:）一（：一1）=苧

24228o

17.【长宁12］已知"、工为椭圆r：「+y2=i（。>1）的左右焦点，A为F的上顶点，直线/经过点”

a

J答案】当

且与「交于3、C两点.若/垂直平分线段AQ,则ΔABC的周长是.

【解析】如图，连接CK,8鸟，因为/垂直平分线段AE2,所以IC闾=IAq,怛Gl=IABl

所以ΔABC的周长为I+忸闾+忸制+1C用=4α

1

由题意得A（O,1）,耳（—c,0）,G（G0）,则A5的中点为。

2,2

-----------*~~~*cI3C1八

-.FDlAF.∙.FD-AF=(―+c,-)∙(c,-1)=~c——=0

i2122

\睁=2√3,所以ΔABC的周长为4α=更.

=>a=

V33

18.【虹口12］已知耳,巴是双曲线CjT=I(α,b>0)的左、右焦点，过E的直线交双曲线的右支于A,

B两点,且|4耳|=2|4月，ΛAFiF2=AFxBF2,则在下列结论中，正确结论的序号为.

(注意：不填或错填得0分，漏填得2分.)

①双曲线C的离心率为2；②双曲线C的一条渐近线的斜率为夜；

③线段AB的长为6«；④ΔARlB的面积为A/.

fr'-^2‰r=4a,r=2a

【答案】①④【解析】IAKl=4,|4闾=4,•l2

［梁安="nAA7MM眶n为=铝AB=f=8α,③镯吴

AB=8^z,r2=2CmF2B=6a,F1B-F)B=2a=>FlB=Sa

ΔAKEMBEnW=带=招n46=；x8a=4“=2C=C∙=24

e=>2,①正确c=2",∕=4"f=3∕,y=±*=G邮；

,,八(4w)2+(4α)2-(2α)27∙√15

ΔλλAFγ.Fγ,cosZl=----------------------=—,sιnZzlι=-ɪ-，

'2)2x44x4488

SWe=；IAKIXIG用sin∕l=Jx4"x4αχ芈='

I④正确；所以选①④

19.【徐汇12】已知正实数α/满足3α+2⅛=6,则8+寿与石的最小值为.

29

【答案】—【解析】设直线3x+2y=6,点P(α∕)在直线3x+2y=6上，且在第一象限,

13

设点A(0,1),M(α,0),则人+^a2+b2-2b+i=b-Q+旧+(b-Iy=d

〜谢+IPAI,

如图所示，设点A关于直线3x+2y=6对称的点设为6(相,

CCO2-624

m=0-2-3-------=—

则法一：由对称点公式，得<9+413

,CC2-629

〃=1-2•2------=—

9+413

H-I_2

m3m=—

法二：3m.解得.，

-----F〃+1二:6,

12n=—

（共同）所以dp』轴+1PAI=轴+∣PB∣≥"=E,当且仅当3、P、M共线时等号成立，

______29

即b+y]a2+b2-2h+∖的最小值为—■

20.【崇明12]己知椭圆"与双曲线C的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点6、F2,P是一与口在

第一象限的交点，当NE∕7ζ=2时，双曲线匚的离心率等于_________.【答案】2+6

6

22

【解析】设椭圆口标准方程为=+∙⅛=l（%>4>0）,椭圆离心率为q

b；

∙y

设双曲线、标准方程为r—==l（α,>（）,">0）,双曲线离心率为C2,由题知e∣∙e2=l

机+〃=2。]①

法一：设周∣阊则，

IP=τn,P=M,加一〃二2%②,由(JXg)得加=%+a2，n=ai-a2

4C2=+H2-2机〃∙cos一③

6

代入③整理得，布=（2—G）W+（2+GM，两边同时除以C?得，4="£+2乎

法二：S%PF,="tan言=片Cotqn厅=(2+KA公

,.*CL=Ciy—b；=a；+b；「.a；—(7+4yf^)bj=cι^+b：≡≡≥a；=ClZ+(8+4∙Λ∕3)(C,^—a：)

na：(4√3)24√3)2=>-L，+乎=8+4√5ne；—(8+4百)£+7+4√5=0

+7+a=(8+ce∖+e2

2

=[e；—(7+46)]•(4-1)=0=4=7+4√3=(2+√3)=>β2=2+G

【点睛】本题综合考查椭圆和双曲线的几何性质，解题关键是熟练应用椭圆和双曲线的定义，结合焦点三

角形中的余弦定理，列出方程组即可求解.

二、选择题

21.【金山13】已知直线4:3x-（a+2）y+6=0,直线&：⑪+（左一3）y+2=0,则“a=—9”是“"/1'

的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【答案】C

22.［黄浦13］在平面直角坐标系Xoy中，“相<0”是“方程/+加），2=1表示的曲线是双曲线，，的（）.

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

23.【虹口13］设m∈R,已知直线=机x+l与圆C:x2+y2=l,则“">0"是''直线/与圆C相交”

的（）

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（Z））既不充分也不必要条件

【答案】A【提示】直线/与圆C相交="=了『<lomκ°,小推大，大不能推小

24.【徐汇14］己知圆Cl的半径为3,圆C2的半径为7,若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（）

A.OB.4C.8D.12

【答案】C【分析】根据两圆相交圆心距R-r<d<R+r验证各选项即可.

【提示】R-r<d<R+r,即4<d<10,仅有C满足，故选C.

222222

22

25.【嘉定14】已知四条双曲线，Γ,:x-y=l,「:二一二=］,Γ1X-≤=1,Γ4:--ɪ=1,

29434941616

关于下列三个结论的正确选项为（）

①「4开口最为开阔；②心的开口比心的更为开阔：③口和口的开口的开阔程度相同.

A.只有一个正确B.只有两个正确C.均正确D.均不正确

【答案】D分别计算出四条双曲线的离心率，根据离心率越大开口更开阔进行比较.

【解析】ς=-^=√2,e,=—,e3=-,e4=√2.比较大小知：¢2<¾=el<e3.

a32

可知：三个结论均为错误，故选D

26.【虹口15］已知尸是椭圆G：］+《=l与抛物线C2：y2=2px（p>0）的一个共同焦点，C与G相交

于4,B两点,则线段AB的长等于（）

(A)∣√6(B)∣√6

(C)I(D)y

【答案】B

2

Λ2y_

T+T-=>(j,lɪr-),则IAM=竽γ，所以选B

【解析】F(I5O),则C?:[=4…

,V=4x''

27.【崇明16］已知曲线C：(ʃ2+/)3=16√√,命题p：曲线C仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的

点；命题中曲线C上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是()

A.p、q都是真命题B.p是真命题，q是假命题

C.p是假命题，q是真命题Dpq都是假命题

【答案】A【解析】因为(Y+y2)3=]6χ2y2≤16二tɪ,当且仅当r=V时，等号成立

所以/+y2≤4,因此曲线C所围成的区域的在圆V+y2=4上或者内部，即Tj2?2

故曲线C上的点到原点的最大距离是2,因此命题q为真命题

•••曲线C：(χ2+y2)3=16χ2y2图像关于X轴、y轴、原点对称

.∙.当XNO,yN0时，圆/+y2=4匕及内部横坐标与纵坐标都是整数的点(0,0),(1,1),(2,0),(0,2),

其中点(0,0)显然在曲线C上，但其它点均不在曲线上，故曲线C仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点,

因此命题P为真命题.综上，选A.

28.【宝山16】已知。为坐标原点，点A(l,l)在抛物线C：犬=2Py(P>0)上，过点8(0,—1)的直线交

1ɔ

抛物线C于尸、Q两点：①抛物线C的准线为y=--^②直线AB与抛物线C相切；③IOPHoQl>Ar；

④忸4忸0=忸以上结论中正确的是()

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】B【答案】将点A(l,l)代入抛物线方程，可得p=；n抛物线C的准线为y=-；,故①错误；

抛物线C方程为公=>，令/(x)=χ2,/(1)=2=七B，抛物线在A点处切线斜率与直线AB斜率相同,

因此直线AB与抛物线C相切，故②正确；

由题可知2,直线PQ斜率存在，所以设直线PQ方程为y=去T,交点尸［词)，Q(χ2,χl)

X2=V

联立方程《■，整理可得炉一日;+1=0，∆=⅛2-4>0=>Λ2>4<且%+々=%，西龙2T

y=kx-∖

∖OP∖∙IOQI=JXI2+%；.J*+£-J(XlX2)-+++(X]*2)4=++x；+1

Λ)^-∣∣故③正确:

=ʌʃ(ɪ,+22XIX2+2=JP^>2=OA^.

222

∖BP∖-∖BQ∖=y∣l+k∣x,∣∙√l+Γ∣Λ2∣=(l+⅛)∣xlx2∣=I+^>1+4=5

而—0y+（l+l）2=5,所以忸尸卜忸Q∣>忸A『，故④错误.综上，选B.

29.【浦东16】已知平面直角坐标系中的直线4：y=3x、l2∙.y=-3x.设到《、人距离之和为28的点的

轨迹是曲线G，到4、4距离平方和为2。2的点的轨迹是曲线C?，其中PrP2>0.则G、。2公共点

的个数不可能为（）

A.0个B.4个C.8个D.12个

【答案】D

【解析】设曲线G上任意点P（χ,y）满足：田一）'的+"—2p]=∣3x-y∣+∣3x+y∣=2jidp∣

①当3x-y>0,3x+y>0=>x=ɔʃ-px

②当3x-y>0,3x+y<0=>y=->∕iθpl

③当3x-yv0,3x+y>0=>y=VlOp1

④当3x-y<0,3x+yv0nx=-^^P]

所以曲线G为矩形，顶点分别为

,

(~^~~f∣>>∕iθPι)`(——px,-VlOp1)>(-ʒ-p∣,-λ∕10/7,)：

设曲线上任一点Q（X，y）满足:

_18X2+2∕X2

叫f=2P2=77¼----

2

10IOp2IOp2

9

所以曲线G是焦点在y轴上的椭圆;

如图所示，G、G公共点的个数可能为0,4,8,不可能有12个交点，故选D.

30.【青浦16】在直角坐标平面Xoy中，己知两定点E(-2,0)与Q2,0),耳，6到直线/的距离之差的绝

对值等于20，则平面上不在任何一条直线/上的点组成的图形面积是()

（A）4π（B）8（C）2π（D）4+π

【答案】C【解析】当/不垂直于X轴时，设直线/:y=Zx+。

∖-2k+b∖∖2k+b∖p2√2^>^-2k+b∖-∖2k+b^2√2√F+1

则IdGT/-既―/1=

√⅛2+l√Λ2+1

①当（一2女+8）（2攵+8）≥0,即b2≥^k2时，则

41左I=2V2VZ:2+1=2k1=k~+∖=>k^=I=攵=±1

=>h2≥4k2=4^∖h∖≥2,即/所围成的图形是以耳K为对角线的正方形及其外部；

②当（-2左+匕）（2左+b）<0,即噌2<482时,

则2∣b∣=2√^√F7I=>∣0∣=√^√Pn^2k2+2<4k2^k2>↑=>∖k∖>l,

→j∕∣-J2∖∣k2+1>2=/：V=kx±42yjk2+1n--+V2n川-V2

7+1>2√F71I√XP71

即/上的点（x,y）到直线y=kx（∖k|>1）的距离为√2,

即平行于直线y=kx(∖k|>1)的两条平行线间的距离为2后，是圆d+V=2的两条平行切线,

当两条平行切线从k=1逆时针旋转到垂直于X轴，从Z=-1顺时针旋转到垂直于X轴时，

将正方形内、圆V+y2=2外的左右两处全扫到，说明这两处的点在直线/上，

所以平面上不在任何一条直线/上的点组成的图形是圆∙+y2=2的内部及正方形内圆

22=2外的上下两部分，故面积为2[(√Σ)2+2∙J∙工∙(√Σ)2]=2(2+工)=4+万，故选

X+yD.

242

y

【错解】设直线/的方程为αx+by+c=O,两定点耳(―2,0)与工(2,0),A

由于耳，F2到直线/的距离之差的绝对值等于2及，

则=2>∕2=>||-2«+c∣-∣2<7+c∣∣=2>∕2∖∣a2+b2.

①当（-2。+。乂2。+。）》0时，即C?""时，|4«|=2∖∕2∙Ja2+h2>

平方整理得/=〃，所以5≥回="如图：正方形KA6B上及外部的点均在直线/上:

222222

②当(—2α+c)(2α+c)<0时,BPc<4α0t><∣2c∣=2√2√√+Z?=>c=2(a+b),

记(Xo，%)为直线依+b)'+c=°上一点，所以"o+皿+c=0,

22C2

则(6+〃)(片+尤"("+奴)2=¢2=%N/=2,则在圆χ2+y2=2外部的点，包括圆亦

T

在直线/上；综上，平面上不在任何一条直线/上的点组成的图形为圆/+y2=2内部的所有点，

故面积为π∕=2π∙选C.

三、解答题

31.【奉贤20](本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题9分

已知椭圆。的中心在原点O,且它的一个焦点尸为(石,0)•点4,4分别是椭圆的左、右顶点，点8为

椭圆的上顶点，AoEB的面积为Y3.点M是椭圆C上在第一象限内的一个动点.

2

(1)求椭圆C的标准方程；

3

(2)若把直线M4、6的斜率分别记作人、右,若匕+&=—彳，求点M的坐标；

(3)设直线MAl与y轴交于点P,直线KA2与y轴交于点。.令PB=/IBQ,求实数2的取值范围.

264

【答案】(1)—+/=1；(2)M；(3)λ∈(0,1).

45,5

a2-b2=3

2

1,√3Ja=2x

【解析】(1)「-DC=——=><,,,所以椭圆标准方程为工+>2=14分

22b=l4'

c=ʌ/ɜ

(2)4(—2,0),4(2,0),设M(Λ0,%),(0V/V2)

焉+4y=4

X,

%I%32G33(4-%o)ɔ9(16—8ΛQ÷xθ)

则《一Wn%'/=一=汇+今=4

x0÷2/一264xθ

⅞>。,%>0

16x；+144-724+9%；=64%：=25%一136%+144=0=其=4或片=||

,.36、

o3(4-----)

一人一6464

=>⅞=2(舍)或XO=Wnyo25得M5分

8×65,5

5

（3）设直线MA的方程为y=K(X+2),则尸(0,2K)1分

设直线M4的方程为y=A2（x-2）,则尸（0,—2&）1分

1一2公2匕-1

=PB=(0,1—2幻，3Q=(0,_2&_l)=4=2分

—2&2—ɪ2左2+ɪ

ʃo%—ʃo2*1.1=2勺-1=2匕

21

klk2=42分⅛÷I分

XO+2XQ—2xθ—4

设Λl(%,yo),(θ</<2),

在（0,2）上严格减=匕efθ,ɪ

则K7%ɪ1分

x0+2x0+222+x02

ΛΛ∈(0,1)1分

32.［黄浦20］（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

y2=l（α>〃>（））的离心率为等，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于8√Σ∙

已知椭圆C:⅛+

a

动直线4、乙都过点M（（），㈤（0</<l）,斜率分别为左、—3k,∕∣与椭圆C交于点A、P,L与椭圆C交

于点3、Q,点、P、Q分别在第一、四象限且X轴.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若直线乙与X轴交于点N,求证：INPl=2∣NMI；

(3)求直线45的斜率的最小值，并求直线AB的斜率取最小值时的直线∕∣的方程.

【答案】（1）工+汇=1；（2）证明见解析；（3）—,y=-x+^^-

84267

【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c,则由£=也

,a2^b2+c2S.2ab=8y∕22分

a2

可得力=C=2,4=2\/2,所以椭圆C的方程为2-+4分

84

ymym

(2)设PO⅛,yo),PO⅛,-%),贝“％=°~,3⅛-~°~6分

⅞⅞

-y∩-tnCyn一加

可得」-二-3包一，解得⅞=2m8分

⅞⅞

（第20题图）

又WPI=Ji^∣2则,∣MWl=帆,所以INPl=2∣NM∣...................10分

(另法：根据N,M,P三点共线与纵坐标关系，用向量或中点坐标公式来证明)

(3)设A(X1,y∣),B(X2,y2)，直线/"2的方程分别为丫=丘+犯y=-3G+m

由(2)知％=—，又〃7，M均大于0,可知%>0..................11分

X

22

y=kx+mCC2C2Im-R12m-€

由<09(1÷2⅛**)X+4kmx+2m—8=0,所以XOXl=———,即百=---------Q

X2+2√=8°ɪ1+2/⅞1+2公

…〜口12∕n2-8八

问理可得X)=.................................13分

~⅞l+2(-3⅛)2

2

⅛(2m-8)-3%(2加2-8)

直线钻的斜率为互二”=的+⑼-(-35-，〃)=α+2口。「-(1+18^2)/k(4+2442)

―_16:

x1-x2X1-X2(2m-8)(2加2—8)

2

(1+2/»0(1+18⅛)X0

=Jd+6Q≥逅(当且仅当人=包时取等号).........16分

4%26

当Z=@时∙，Xo=廊，此时P(标,2加)在椭圆C上，所以空+如=I

684

又0<〃7<1,可得加=2红，所以直线科的斜率的最小值为亚

72

且当直线他的斜率取最小值时的直线4的方程为y=骼x+岑..........18分

33.【徐汇20](本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)

22

已知曲线Ci的方程为x+Azγ=l(Λ∈R,z=l,2,3),直线/：y=Z(x+1)与曲线G在第一象限交

于点片(％,y)∙

(I)若曲线G是焦点在X轴上且离心率为上的椭圆，求4的值；

2

⑵若左=1,4片-1时，直线/与曲线相交于两点M,N,且IMM=JE,求曲线G的方程；

(3)是否存在不全相等4，λ2,4满足4+4=24,且使得¥=%毛成立.若存在，求出巧的值;

若不存在，请说明理由.

【答案】(I)4=2;

2222

(2)X+y=l^lx-3y=li

（3）存在不全相等4，λ2,不满足4+4=24,且使得后=XR成立，⅞=i∙

【:「1（1）根据椭圆离心率的公式以及椭圆中。力,c的关系即可求解;

（2）联立直线与曲线方程，由韦达定理以及弦长公式求解;

1_7A:2

（3）联立直线与曲线的方程，得韦达定理，根据假设4+4,=24,代入玉=1力7即可化简求解.

1+Λik

2y2历

χ则C=也，

【解析】（1）由题得4〉。，曲线G为：1一，又离心率为2=在，。=1,

τa22

4

2

又因为I='+=>4=2；

4隹

x+4)ɪ=>+1)χ2+iλx+λ—1=0,

（2）设M（X材，加），N（X2N）,联立方程,21

y=χ+ι

2

因为22X-1,Δ=4∕l2-4(Λ2+1)(∕12-1)=4,

—24办一ɪIII----5/4/-

XXX=

则∙⅞+∙N=^―MNγ—7，所以IMNI=J1+1工—J=J2,解得Λ2=1或Λ2=-3.

X2+1X2+1U2+1

因此，曲线。2的方程为：/+丁=1或12-3,=1；

X；：；女彳+一又玉〉得林

（3）联立〈++]=42(1)2=1χ2,0,2(χ+])=Im1=；+„

假设存在4+4=2%（乙4，4不全相等），使得玉X3=x；成立，

Y42

1+44A-(4+4)/2I+Λ^⅛-2λ2k

(1+4%2)(]+4∕)(1+4左2,有l+44∕+α+4"2-]+/%4+24%2'

7

分离常数得1_____2(4+』)♦_____=_____4∕l2_____

“向用处得1+4犷+(4+4)/-1+后/+2毋2,

4毋2

化简，得4242

1+λlλ3∕c+(4+A3)k~l+A^k+2λ2k，

由片（Xj,y）在第一象限，玉＞0且y=M%+1）＞O,得4＞0.

(i)若A2=0,则4+4=0=々=1,XlX3=1；

z4

(ii)若4≠0,则44%==>A1A3—,因为4+4=2Λ2,所以升+2A1Λζ+态=4无=4Λ1Λ3

=＞若-2∕l1Λ3+若=O=4=4=%与已知矛盾.

综上所述：存在4+