第一章一元二次方程（压轴题专练）

第一章一元二次方程（压轴题专练）一、销售与利润综合解答题1、悠悠食品店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售的总份数不变，这两种菜品一天的总利润是316元．求A种菜品每天销售多少份？【答案】见解析【解析】（1）设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x份、y份，根据题意得，(20−14)x+(18−14)y=28020x+18y=1120解得：x=20y=40答：该店每天卖出这两种菜品共60份．（2）设A种菜品售价降0.5a元，即每天卖（20+a）份，则B种菜品卖（40﹣a）份，每份售价提高0.5a元．（20﹣14﹣0.5a）（20+a）+（18﹣14+0.5a）（40﹣a）＝316．即a2﹣12a+36＝0a1＝a2＝6答：A种菜品每天销售26份．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．2、“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件（20≤x≤40）．（1）请用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．①求该商品的售价；②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．【答案】见解析【解析】解：（1）∵该商品的售价为x元/件（20≤x≤40），且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，∴每天能售出该工艺品的件数为60+3（40﹣x）＝（180﹣3x）件．（2）①依题意，得：（x﹣20）（180﹣3x）＝900，整理，得：x2﹣80x+1500＝0，解得：x1＝30，x2＝50（不合题意，舍去）．答：该商品的售价为30元/件．②0.5×（180﹣3×30）＝45（元）．答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．【点睛】本题考查了一元二次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？【答案】(1)总共生产了袋手工汤圆(2)促销时每袋应降价3元【解析】（1）设总共生产了袋手工汤圆，依题意得，解得，经检验是原方程的解，答：总共生产了袋手工汤圆（2）设促销时每袋应降价元，当刚好10天全部卖完时，依题意得，整理得：，∴方程无解∴10天不能全部卖完∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为∴依题意得，解得∵要促销∴即促销时每袋应降价3元．4．随着武汉解封，湖北各地的复工复产正有序进行，经济复苏也按下了“重启键”．为助力湖北复苏，月日抖音发起了“湖北重启，抖来助力抖音援鄂复苏计划”，通过直播或短视频助力推广湖北特色产品已知当天的直播活动中热干面和周黑鸭共销售万份，其中周黑鸭的销量是热干面的倍．(1)求当天的直播活动中销售了多少万份周黑鸭？(2)为刺激消费，直播中推出了优惠活动疫情前，疫情期间售价均为元一份的周黑鸭（一份里面有一盒锁骨，两盒鸭脖，一盒鸭掌），以折力度售卖．疫情前，疫情期间售价均为元一份的热干面（一份里面有包热干面），以折力度售卖．已知疫情前周黑鸭的日销售量比直播当天的销量少，疫情期间的日销售额比疫情前的日销售额减少了万元；疫情前热干面的日销量比直播当天热干面的销量少，疫情期间的日销售量比疫情前的日销售量减少了；疫情期间周黑鸭和热干面的总日销售额比直播当天的总销售额少，求的值．【答案】(1)当天的直播活动中销售了万份周黑鸭(2)的值为【解析】（1）解：设当天的直播活动中销售了万份热干面，则销售了万份周黑鸭，由题意得：，解得：，．答：当天的直播活动中销售了万份周黑鸭；（2）解：由题意得：，整理得：，解得：，不合题意，舍去．∴的值为．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列正确的方程．5．“端午节”是我国传统节日，赛龙舟吃粽子，某蛋糕店销售“杏花楼”和“元祖”两个品牌的粽子，每个“杏花楼”粽子的售价是10元，每个“元祖”粽子的售价是8元．（1）4月份，两个品牌的粽子一共销售180个，且总销售额不低于1640元，则卖出“杏花楼”粽子至少多少个？（2）5月份，粽子大量上市，受此影响，“杏花楼”粽子售价降低了（），销售量在4月份的最低销售量的基础上增加了，“元祖”粽子的售价降低了，销售量在4月份的最高销售量的基础上增加了，结果5月份的总销售额比4月份最低销售额增加了680元，求的值．【答案】（1）100个；（2）20【解析】（1）设卖出“杏花楼”粽子个，则卖出“元祖”粽子(180)个．依题意得：10+8(180)≥1640解得：≥100∴卖出“杏花楼”粽子至少100个；（2）依题意得：10(1%)×100(1+5%)+8(1)×(180100)(1+)=1640+680设%=，则化简整理得：175120+17=0解得：=，=∵，且∴=不符合题意∴=，即∴=20．根与系数关系6．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则．【答案】【解析】由根与系数的关系得，，所以，则，则．故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值．7．已知关于x的方程的两根均大于1且小于2，则的取值范围是.【答案】【解析】解：，去分母得，，设的两个根为，，由根与系数的关系可知，，，∴，∵，，均大于1且小于2，∴，，∴．∴．∴．故答案为：【点睛】本题考查根与系数的关系和代数式取值范围问题，熟练进行解方程，解不等式，正确运算是解题的关键.8．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为x1，x2，且x1＞x2，则x1＞3，x2＜3；③若两个根为x1，x2，则（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3）；④若x＝（p为常数），则代数式（x﹣3）（x﹣2）的值为一个完全平方数，其中正确的结论是．【答案】①③【解析】解：由（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0得x2﹣5x+6﹣p2＝0，①Δ＝25﹣4×（6﹣p2）＝1+4p2＞0，∴（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0总有两个不等的实数根，故①正确；②设p＝0，关于x的一元二次方程为（x﹣3）（x﹣2）＝0，若两个根为x1，x2，且x1＞x2，则x1＝3，x2＝2，这与x1＞3不符合，故②不正确；③若x2﹣5x+6﹣p2＝0两个根为x1，x2，则x1+x2＝5，x1•x2＝6﹣p2，（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4＝6﹣p2﹣2×5+4＝﹣p2，（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1•x2﹣3（x1+x2）+9＝6﹣p2﹣3×5+9＝﹣p2，∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3），故③正确；④∵x＝（p为常数），∴（x﹣3）（x﹣2）＝x2﹣5x+6＝＝＝＝，当p为奇数时，不是整数，此时（x﹣3）（x﹣2）不是完全平方数，故④不正确；故答案为：①③．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况及根与系数的关系，涉及完全平方数等知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及完全平方数概念．9．已知关于x的方程，其中p，q都是实数．(1)若时，方程有两个不同的实数根，，且，求实数p的值．(2)若方程有三个不同的实数根，，，且，求实数p和q的值．(3)是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根，，，且？若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)或，(3)存在，时，；当时，【解析】（1）解：若，则方程为．因该方程有两个不同的实数、，可得，，，解得；由，得，解得或．（注意因为，所以．（2）显然．方程可写成．因该方程有三个不同的实数根，即函数与的图象有三个不同的交点，可得：，，即，因为、是方程的两根，即．则，，．，解得．由，得，解得，∴或，．（3）存在．方程有四个不同的实数根，，，，由（2）知，不妨设，是方程的两根，，是方程的两根，则，，，，则，，因为，所以，因为是质数，，，所以，，则，则无解，则，则无解，则，则，解得，则，则，解得，2，5，则，则，解得．故，5，所以存在满足条件的，．当时，；当时，．【点睛】本题考查了一元二次方程的整数根与有理根，根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．10．如果方程有两个实数根，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知，是方程的二根，则(2)已知、、满足，，求正数的最小值．(3)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【解析】（1）解：∵，是方程的二根，∴，，∴，∴；（2）∵，，∴，，∴、是方程的解，∴，∴，∵