专题14全等三角形模型（一）（原卷版）

专题14全等三角形模型（一）题型一三垂直模型1．如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长．2．如图1，点是线段上一点，，，，，（1）求证：．（2）如果是如图2这个图形，、、有什么数量关系？并证明．3．如图所示，在中，，且，点为上一点，连接，过点作于点，交于点，点是上任意一点．（1）如图1，连接，若，且，求的长；（2）如图2，连接，交于点，若点恰为中点，求证，．

4．如图所示，直线一侧有一个等腰，其中，．直线过顶点，分别过点，作，，垂足分别为点，，的角平分线交于点，交于点，连接，恰好满足．延长，交于点．（1）求证：；（2）求证：．5．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．（1）求证：；（2）如果每块砖的厚度，请你帮小明求出三角板的面积．6．如图，在中，点在的延长线上，且．过点作，与的垂线交于点．（1）求证：；（2）请找出线段、、之间的数量关系，并说明理由．7．已知：中，，，过点作，且．（1）如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：；（2）如图2，当点在延长线上时，连接交的延长线于点．求证：．8．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是A． B． C． D．9．如图，已知于，于，，，且为上一点，，，则A．13 B．8 C．6 D．510．如图，，，，，，，则等于A． B． C． D．11．如图，小明的数学作业本上都是等距的横线，相邻两条横线的距离都是1厘米，他把一个等腰直角三角板放在本子上，点、、恰好都在横线上，则斜边的长度为A．10 B． C． D．12．如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2，，之间的距离为3，则的长是A． B． C． D．7

题型二一线三等角模型13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．14．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，．已知，．（1）求证：；（2）若，，求的长．15．如图，等边三角形中，放置等边三角形，且点，分别落在，上，，连结，若平分，则的长度为．

16．如图，在中，，，点在线段上运动（不与点，重合），连接，作，交线段于点．（1）当时，，，当点从点向点运动时，逐渐变（填“大”或“小”；（2）当的值是多少时，．并说明理由；（3）在点的运动过程中，是否存在是等腰三角形？若存在，请直接写出此时的度数；若不存在，请说明理由．17．如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有．请直接写出线段、和之间的数量关系．（3）拓展与应用：如图（3），、是、、三点所在直线上的两动点、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试证明．

18．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，，则的度数是度．（用含的代数式表示）19．已知：在中，，直线过点．（1）如图1，，分别过点，作直线的垂线段，，垂足分别为，．①依题意补全图1；②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当时，设，作，点，在直线上，直接用等式表示线段，，之间的数量关系为．题型三对角互补模型20．如图，已知四边形，，，，则四边形的面积为．21．如图，在四边形中，，，连接．若，则四边形的面积为．22．如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于点、，连接交于点，以下五个结论：①；②；③和互补；④是等腰直角三角形；⑤四边形的面积是面积的，其中正确的结论是A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④23．如图，四边形中，已知，，，若四边形的面积为，则．

24．综合与实践如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，交于点，交于点．知识初探．求证：；探究计算如图1，若，求四边形的面积；拓展探究如图2，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积是（直接写出答案，不写过程）．25．如图，，将一块足够大的三角尺的直角顶点落在的平分线上的任意一点上，使三角形的两条直角边与的两边分别相交于点，．（1）求证：；（2）若点在的反向延长线上，其他条件不变，问还成立吗？请说明理由．

26．已知：如图，是的平分线，是上任意一点，，，垂足分别为点和点．求证：．分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得．【问题解