专题1.2勾股定理（12大易错题型深度导练）-2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍（原卷版）

20222023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍（人教版）专题1.2勾股定理精讲精练（12大易错题型深度导练）【目标导航】【知识梳理】1.勾股定理：（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有,,（4）证明勾股定理时，用几个全等的拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．2.勾股定理逆定理：（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．

说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于才能做出判断．

（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．3.勾股定理的应用：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以的面积和．

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成是两个正整数的直角三角形的斜边．考点1勾股定理【例1】）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长．【变式训练】1．（2022春·内蒙古锡林郭勒盟·八年级校考期末）已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（

）A．52 B．3 C．3+2 2．（2023·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB−AC=2，BC=3，则AC的长为（

A．3 B．4 C．5 D．53．（2022春·广东河源·八年级校考期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠BAC，则点D到AB的距离是（

A．3 B．4 C．25 D．12考点2勾股定理与数轴【例2】利用勾股定理可以在数轴上画出表示20的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：第一步：（计算）尝试满足20=a2+b2，使其中a，b都为正整数，你取的正整数a＝第二步：（画长为20的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt△OEF，使O为原点，点E落在数轴的正半轴上，∠OEF＝90°，则斜边OF的长即为20．请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）第三步：（画表示20的点）在下面的数轴上画出表示20的点M，并描述第三步的画图步骤：．【变式训练】4．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数−1的点重合，点D与数轴上表示数−4的点重合，AB=1，以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（

）A．−10 B．1−10 C．10−15．（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）如图，长方形ABCD的顶点A，B在数轴上，点A表示－1，AB=3，AD=1．若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（

）A．10−1 B．10 C．10+1 6．（2022秋·辽宁阜新·八年级校考期中）如图，Rt△OAB的直角边OA的长为2，直角边AB的长为1，OA在x轴上，在OB上截取BC=BA，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交x轴的正半轴于点P，则OP中点的横坐标是（

A．5−12 B．3−12 C．考点3勾股定理与网格问题【例3】如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：（1）在网格中画出长为5的线段AB．（2）在网格中画出一个腰长为10、面积为3的等腰△DEF．【变式训练】7．（2023秋·陕西西安·八年级统考期末）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边上的高为（

）A．132 B．455 C．308．（2023春·八年级课时练习）如图是3×3的正方形网格，每一个小正方形的边长为1．关于图中的正方形ABCD的面积S，三人的说法如下：甲：要求面积S的值，必须先求出正方形ABCD的边长才行．乙：正方形ABCD的边长是5．丙：正方形ABCD的对角线长m的值介于整数3和4之间．下列判断正确的是（

）A．甲、乙、丙都对 B．甲和乙对 C．甲、乙、丙都不对 D．乙和丙对9．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在边长为1的正方形方格中，A，B，C，D均为格点，构成图中三条线段AB，BC，CD．现在取出这三条线段AB，BC，CD首尾相连拼三角形．下列判断正确的是（

）A．能拼成一个锐角三角形 B．能拼成一个直角三角形C．能拼成一个钝角三角形 D．不能拼成三角形【考点4】勾股定理与折叠问题【例4】（2022秋•垣曲县期末）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则AD的长为（）A． B． C．7cm D．9cm【变式训练】10．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考开学考试）如图，在长方形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上的点F处．若AB=9，CE=4，则折痕AE的长度为（

）A．510 B．103 C．10511．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D、E分别在AC边和AB边上，沿着直线DE翻折△ADE，点A落在BC边上，记为点F，如果CF=2，则BE的长为（

）A．6 B．52 C．32212．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DE的长为（

A．3 B．5 C．3或6 D．2或5【考点5】勾股定理与图形面积【例5】（2022秋•慈溪市期末）勾股定理是我国的伟大数学发明之一．如图，以Rt△ABC的各边为边向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，三个阴影部分的面积分别为S1＝1，S2＝2，S3＝3，则较小两个正方形重叠部分（四边形DEFG）的面积为（）A．4 B．5 C．5.5 D．6【变式训练】13．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△BOD中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1,S2,S3A．18 B．20 C．22 D．24．14．（2022春·河南三门峡·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为S1,S2,S3A．184 B．86 C．119 D．8115．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，以直角三角形ABC的各边边长分别向外作等边三角形，再把较小的两个三角形按如图2的方式放置在最大的三角形内，S1是小梯形面积，S2是三个三角形重叠部分的面积，S3是大梯形的面积，S

A．S1=S4 B．S2=【考点6】勾股定理与最短路径问题【例6】．（2022秋•东明县校级期末）空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24，高是5，内底面的点A有一只飞虫，要吃到B点的食物，最短路径的长是（）A．6 B．7 C．13 D．10【变式训练】16．（2021秋·四川乐山·八年级统考期末）已知52+122=13，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边分别为5、12，计算结果为斜边13，同理计算a2+82A．15 B．16 C．17 D．1817．（2023春·八年级单元测试）如图，有一个圆柱，底面圆的周长为16πcm，高BC=12πcm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为（）A．9πcm B．10πcm C．11πcm D．12πcm18．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图所示，将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则h的取值范围是（

A．ℎ≤17cm B．C．15cm≤ℎ≤16cm【考点7】勾股定理与弦图问题【例7】（2022秋•广饶县校级期末）如图①是美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c．如图②，现将这四个全等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，且外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，则该飞镖状图案的面积（）A．6 B．12 C．16 D．24【变式训练】19．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则a＋b的值是（

）A．6 B．5 C．19 D．420．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+A．672 B．673 C．674 D．67521．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）某大会会标如图所示，它是由相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，则a+b2的值（

A．13 B．19 C．25 D．169【考点8】勾股定理的逆定理【例8】（2022秋•南召县期末）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，△ABC的顶点A，B，C均在正方形格点上，则下列结论错误的是（）A．AB2＝20 B．∠BAC＝90° C．S△ABC＝10 D．点A到直线BC的距离是2【变式训练】22．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（

）A．a=3，b=4，c=5， B．aC．∠A:∠B:∠C=1:1:2 D．∠A+∠B=80°23．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期末）下列数据中，能判定△ABC是直角三角形的是（）A．AB=2，BC=3，AC=4C．AB=1，BC=2，AC=3 D．24．（2023春·全国·八年级专题练习）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理是（

）A．直角三角形两个锐角互余B．三角形内角和等于180°C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形【考点9】勾股定理的计算问题【例9】．（2022秋•宛城区校级期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．【变式训练】25．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，BD是四边形ABCD的一条对角线．(1)作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E．F，垂足为点O（要求用尺规作图，保留作图痕迹．不要求写作法）；(2)若∠C=90°，BC=8，CD=4，求BF的长．26．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB=17，AC=10．(1)若CD=6，则AD=，BD=；(2)若BC=20，求CD的长．27．（2023秋·福建三明·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的D点处，再将边CB沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′(1)求∠ECF的度数；(2)若CE=4，B′F=1，求线段(3)在（2）的条件下，求△ABC的面积．【考点10】勾股定理逆定理的应用【例10】（2022秋•长安区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝4，BC＝2，CD＝1，AD＝．（1）求AC的长；（2）求证：AD⊥CD．【变式训练】28．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m29．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，CD=3，DA=1，求四边形ABCD的面积．30．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上．(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)求△ABC的面积及AC边上的高．【考点11】勾股定理与实际问题【例11】（2022秋•鸡泽县期末）如图，笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点AB，其中AB＝AC，由于某种原因由C到A的路现在已经不通．为方便游客，决定在河边新建一个漂流点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5km，CH＝4km，BH＝3km．（1）CH是否为从旅游地C到河流的最短路线？请通过计算加以说明；（2）求原来路线AC的长．【变式训练】31．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，一架长10米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙BO6米(1)此时梯子顶端A离地面多少米?(2)若梯子顶端A下滑3米到C处，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D处?32．（2023秋·陕西西安·八年级西安市西光中学校考期末）如图，笔直的公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离33．（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）如图，一个无盖长方体的小杯子放置在桌面上，AB=BC=6cm，CD=10(1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？(2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？【考点12】有关勾股定理的综合问题【例12】（2022秋•衢江区期中）阅读材料，解答问题：（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”，这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载说明：在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之间的数量关系是：