第1章二次函数（易错40题12个考点）

第1单元二次函数（易错40题12个考点）一．二次函数的定义（共1小题）1．已知y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为2．【答案】2．【解答】解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，∴|m|＝2且m+2≠0．解得m＝2．故答案为：2．二．二次函数的图象（共2小题）2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；故选：D．3．如图，已知函数y＝与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+＝0的解为x＝﹣3．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵P的纵坐标为1，∴1＝﹣，∴x＝﹣3，∵ax2+bx+＝0化为关于x的方程ax2+bx＝﹣的形式，∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，∴x＝﹣3．故答案为：x＝﹣3．三．二次函数的性质（共2小题）4．下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（）A．点（0，2）在函数图象上 B．开口方向向上 C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点【答案】D【解答】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），得y＝6≠2，∴A错误；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，∵a＝﹣3＜0，∴二次函数的图象开口方向向下，∴B错误；C、∵二次函数对称轴是直线x＝﹣＝，∴C错误；D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，∴﹣3x2+3x+6＝3x，∴﹣3x2+6＝0，∵b2﹣4ac＝72＞0，∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，∴D正确；故选：D．5．抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）过A（4，4），B（2，m）两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，则实数m的取值范围是（）A．m≤2或m≥3 B．m≤3或m≥4 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4【答案】B【解答】解：把A（4，4）代入抛物线y＝ax2+bx+3得：16a+4b+3＝4，∴16a+4b＝1，∴4a+b＝，∵对称轴x＝﹣，B（2，m），且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，∴∴，∴||≤1，∴或a，把B（2，m）代入y＝ax2+bx+3得：4a+2b+3＝m2（2a+b）+3＝m2（2a+﹣4a）+3＝m﹣4a＝m，a＝，∴或，∴m≤3或m≥4．故选：B．四．二次函数图象与系数的关系（共4小题）6．已知b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四个图之一所示：根据图象分析，a的值等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】B【解答】解：因为前两个图象的对称轴是y轴，所以﹣＝0，又因为a≠0，所以b＝0，与b＞0矛盾；第三个图的对称轴﹣＞0，a＞0，则b＜0，与b＞0矛盾；故第四个图正确．由于第四个图过原点，所以将（0，0）代入解析式，得：a2﹣1＝0，解得a＝±1，由于开口向下，a＝﹣1．故选：B．7．已知二次函数y＝x2+2x+2m﹣1的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m≥ C．＜m＜1 D．≤m＜1【答案】D【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+2m﹣1的图象只经过三个象限，∴开口方向向上，其对称轴为x＝﹣1，则＜0，2m﹣1≥0，解得≤m＜1．如图：故选：D．8．已知抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交于点C，则点C的坐标为（0，8）．【答案】C（0，8）．【解答】解：由题意，∵抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交于点C，∴令x＝0，则y＝8．∴C（0，8）．故答案为：（0，8）．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＝0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是①③⑤．（填写正确结论的序号）【答案】见试题解答内容【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＞0，故①正确；直线x＝﹣1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣＝﹣1，可得b＝2a，a﹣2b+4c＝a﹣4a+4c＝﹣3a+4c，∵a＜0，∴﹣3a＞0，∴﹣3a+4c＞0，即a﹣2b+4c＞0，故②错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（，0），当x＝﹣时，y＝0，即，整理得：25a﹣10b+4c＝0，故③正确；∵b＝2a，∴25a﹣20a+4c＝0，∴5a+4c＝0，即c＝﹣a；∵b＝2a，a+b+c＜0，∴，即3b+2c＜0，故④错误；由二次函数的性质可知，当x＝﹣1时，y取最大值，∴对任意﹣m的值，满足a﹣b+c≥am2﹣bm+c，整理得，a﹣b≥m（am﹣b）；故⑤正确；故答案为：①③⑤．五．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题）10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过不同的两点A（2﹣m，n），B（m，n），下列说法正确的是（）A．若m＞2时都有n＞c，则a＜0 B．若m＞1时都有n＜c，则a＜0 C．若m＜0时都有n＞c，则a＞0 D．若m＜0时都有n＜c，则a＞0【答案】C【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2﹣m，n），B（m，n）两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1．对于A选项，若m＞2时，∴2﹣m＜0＜1．又n＞c，∴此时，y随x的增大而减小．∴抛物线开口向上．∴a＞0，故A不符合题意．对于B选项，若m＞1时，∴0＜1＜m．此时（0，c）关于对称轴对称的点为（2，c），若n＜c，∴a＞0或a＜0．∴选项B不符合题意．若m＜0时，∴m＜0＜1．又n＞c，∴此时，y随x的增大而减小．∴抛物线开口向上．∴a＞0，故C符合题意．若m＜0时，∴m＜0＜1．又n＜c，∴此时，y随x的增大而增大．∴抛物线开口向下．∴a＜0，故D不符合题意．故选：C．11．已知点（﹣3，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）在下列某一函数图象上，且y3＜y1＜y2，那么这个函数是（）A．y＝3x B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝﹣【答案】D【解答】解：A．y＝3x，因为3＞0，所以y随x的增大而增大，所以y1＜y2＜y3，不符合题意；B．y＝3x2，当x＝1和x＝﹣1时，y相等，即y3＝y2，故不符合题意；C．y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，x＞0时，y随x的增大而减小，所以y2＜y1＜y3，不符合题意；D．y＝﹣，当x＜0时，y随x的增大而增大，x＞0时，y随x的增大而增大，所以y3＜y1＜y2，符合题意；故选：D．六．二次函数的最值（共4小题）12．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（）A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，对称轴是：x＝﹣1∵a＝1＞0，∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5，x＝﹣1时y有最小值，是﹣4，故选：B．13．当1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣2ax+3的最小值为﹣1，则a的值为（）A．2 B．±2 C．2或 D．2或【答案】A【解答】解：y＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2．抛物线开口向上，对称轴为直线x＝a．∴当a≤1时，若1≤x≤3时，y随x的增大而增大，当x＝1时，y有最小值＝1﹣2a+3＝4﹣2a，∴4﹣2a＝﹣1，∴a＝，不合题意，舍去．当1＜a≤3时，x＝a，y有最小值3﹣a2．∴3﹣a2＝﹣1．∴a2＝4，∵1≤a≤3，∴a＝2．当a≥3时，若1≤x≤3，y随x的增大而减小．∴当x＝3时，y有最小值＝9﹣6a+3＝12﹣6a．∴12﹣6a＝﹣1．∴a＝．∵a≥3．∴不合题意，舍去．综上：a＝2．故选A．14．二次函数y＝ax2+4x+a的最大值是3，则a的值是﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得，＝3，整理得，a2﹣3a﹣4＝0，解得a1＝4，a2＝﹣1，∵二次函数有最大值，∴a＜0，∴a＝﹣1．故答案为：﹣1．15．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是s≥9．【答案】见试题解答内容【解答】解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，∴x≤3，代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，∴s≥9；故答案为：s≥9．七．二次函数的三种形式（共1小题）16．把二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是y＝﹣2（x+1）2+7．【答案】y＝﹣2（x+1）2+7．【解答】解：y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+5＝﹣2（x2+2x+1）+2+5＝﹣2（x+1）2+7，故答案为：y＝﹣2（x+1）2+7．八．抛物线与x轴的交点（共7小题）17．二次函数y＝2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（）A．﹣8 B．8 C．±8 D．6【答案】B【解答】解：由图可知，抛物线与x轴只有一个交点，所以，Δ＝m2﹣4×2×8＝0，解得m＝±8，∵对称轴为直线x＝﹣＜0，∴m＞0，∴m的值为8．故选：B．18．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（）A．﹣或﹣12 B．﹣或2 C．﹣12或2 D．﹣或﹣12【答案】A【解答】解：如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新图象也有三个公共点，令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0），将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0，△＝49﹣4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣，当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12，综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或﹣；故选：A．19．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4【答案】D【解答】解：当k＝3时，函数y＝2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；当k≠3，函数y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函数，当22﹣4（k﹣3）≥0，k≤4即k≤4时，函数的图象与x轴有交点．综上k的取值范围是k≤4．故选：D．20．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为（）A．﹣4，3 B．﹣5，2 C．﹣2，1 D．﹣3，2【答案】C【解答】解：把B（1，1）代入y＝ax2，得a＝1，把A（﹣2，4），B（1，1）代入y＝bx+c，得，解得：，关于x的方程化为x2+x﹣2＝0，（x+2）（x﹣1）＝0，x1＝﹣2，x2＝1，故选：C．21．抛物线y＝9x2﹣px+4与x轴只有一个公共点，则p的值是±12．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意：p2﹣4×9×4＝0，解得p＝±12．22．若二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是k＜．【答案】k＜．【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，∴（﹣1）2﹣4×2k＞0，解得k＜，故答案为：k＜．23．已知k是常数，抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．（1）求k的值；（2）若点P在抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标．【答案】（1）﹣3；（2）P（2，﹣5）或P（﹣2，﹣5）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k的对称轴是y轴，∴k2+k﹣6＝0，解得k1＝﹣3，k2＝2；又∵抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k与x轴有两个交点．即抛物线y＝x2+3k与x轴有两个交点．∴b2﹣4ac＞0，即﹣12k＞0，也就是k＜0，又k1＝﹣3，k2＝2，∴k＝﹣3．此时抛物线的关系式为y＝x2﹣9，因此k的值为﹣3．（2）∵点P在抛物线y＝x2﹣9上，且P到y轴的距离是2，∴点P的横坐标为2或﹣2，当x＝2时，y＝﹣5当x＝﹣2时，y＝﹣5．∴P（2，﹣5）或P（﹣2，﹣5）因此点P的坐标为：P（2，﹣5）或P（﹣2，﹣5）．九．二次函数与不等式（组）（共3小题）24．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（m，0），点C（0，﹣m），其中2＜m＜3，下列结论：①2a+b＞0，②2a+c＜0，③方程ax2+bx+c＝﹣m有两个不相等的实数根，④不等式ax2+（b﹣1）x＜0的解集为0＜x＜m，其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（m，0），∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴是直线：x＝，∵2＜m＜3，∴1＜﹣1+m＜2，∴＜＜1，∴＜＜1，∵＜1，a＞0，∴2a+b＞0，故①正确；②把点A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c中可得：a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，由①得：＞，∵a＞0，∴a+b＜0，∴a+a+c＜0，∴2a+c＜0，故②正确；③由图可知：直线y＝﹣m与二次函数y＝ax2+bx+c的图象抛物线有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝﹣m有两个不相等的实数根，故③正确；④∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（m，0），∴y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2﹣amx+ax﹣am，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，﹣m），∴﹣am＝﹣m，∴a＝1，二次函数y＝ax2+（b﹣1）x的对称轴为直线：x＝，把x＝0代入二次函数y＝ax2+（b﹣1）x中可得：y＝0，∴二次函数y＝ax2+（b﹣1）x的图象与x轴的交点为：（0，0），设二次函数y＝ax2+（b﹣1）x的图象与x轴的另一个交点为（n，0），∴＝，∴n＝＝1﹣b，∵不等式ax2+（b﹣1）x＜0的解集为0＜x＜n，∴不等式ax2+（b﹣1）x＜0的解集为0＜x＜，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴是直线：x＝，∴＝，∴m＝＝1﹣b，∴不等式ax2+（b﹣1）x＜0的解集为0＜x＜m，故④正确，所以：正确结论的个数有4个，故选：D．25．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＜n的解集是﹣3＜x＜1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点，观察函数图象可知：当﹣3＜x＜1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，∴不等式ax2+mx+c＜n的解集是﹣3＜x＜1．故答案为﹣3＜x＜1．26．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，其中正确的是①②④．【答案】见试题解答内容【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点，只是左边那个没画出来而已，从而由二次函数与一元二次方程的关系可知，Δ＝b2﹣4ac＞0，从而b2＞4ac，故①正确；已知该抛物线是开口向上，顶点为（﹣3，﹣6），故ax2+bx+c≥﹣6正确，从而②正确；由抛物线的对称轴为x＝﹣3，点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则点（﹣2，m）离对称轴的距离为1，而点（5，n）离抛物线的距离为2，开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，从而m＜n，故③错误；由图象可知，x＝﹣1为关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的一个根，由二次函数的对称性，可知﹣5为另一个根，从而④正确；、综上，正确的是①②④．故答案为：①②④．一十．二次函数的应用（共9小题）27．飞机着陆后滑行的距离y（单位：米）关于滑行时间t（单位，秒）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，最后6秒滑行的距离为（）米．A．24 B．36 C．48 D．54【答案】D【解答】解：当y取得最大值时，飞机停下来，则y＝﹣1.5t2+60t＝﹣1.5（t﹣20）2+600，此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．因此t的取值范围是0≤t≤20；即当t＝20﹣6＝14时，y＝546，所以600﹣546＝54（米）故选：D．28．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高8m时，水柱落点距O点4m．【答案】8．【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，联立可求出a＝﹣，b＝，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h，将（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0，解得h＝8．故答案为：8．29．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米．（1）求水流运行轨迹的函数解析式；（2）若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明．【答案】（1）抛物线为：y＝﹣（x﹣8）2+5．（2）不能，理由见解答部分．【解答】解：（1）由题可知：抛物线的顶点为（8，5），设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣8）2+5，将点（0，1）代入可得a＝﹣，∴抛物线为：y＝﹣（x﹣8）2+5．（2）不能，理由如下：当x＝12时，y＝﹣（12﹣8）2+5＝4＞3.5，∴水流不能碰到这棵果树．30．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．解答以下问题（1）小球从飞出到落地要用多少时间？（2）小球飞行的最大高度是多少？此时需要多少飞行时间？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）令h＝20t﹣5t2＝0解得t1＝0（舍去），t2＝4∴小球从飞出到落地要用4s（2）由配方法得y＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20∵a＝﹣5＜0∴小球飞行的最大高度是20m，此时需要飞行2s．31．某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管OA长2.25m．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m．（1）建立如图所示平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）的解析式；（2）不考虑其它因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？（3）实际施工时，经测量，水池的最大半径只有2.5m，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度．【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3．（2）水池的直径至少要6米才能使喷出的水流不落到池外．（3）调整后水管的最大长度米．【解答】解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，3），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，将（0，2.25）代入得，a（0﹣1）2+3＝2.25，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3．（2）令y＝0，得，0＝﹣（x﹣1）2+3，解得x＝﹣1（舍）或x＝3，∵2×3＝6（米），∴水池的直径至少要6米才能使喷出的水流不落到池外．（3）将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过点（2.5，0），设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+h，将（2.5，0）代入得，﹣（2.5﹣1）2+h＝0，解得h＝，当x＝0时，y＝﹣（0﹣1）2+＝．∴调整后水管的最大长度米．32．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．①求出y与x之间的函数解析式；②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由题意得：＝，解得x＝26，经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意，∴x+9＝26+9＝35，答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对．（2）①y＝（50+x﹣35）（98﹣2x）＝﹣2x2+68x+1470，答：y与x之间的函数解析式为：y＝﹣2x2+68x+1470．②∵a＝﹣2＜0，∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x＝﹣＝17，物价部门规定其销售单价不高于每对65元，∴x+50≤65，∴x≤15，∵x＜17时，y随x的增大而增大，∴当x＝15时，y最大＝2040．15+50＝65．答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．33．某公司分别在A、B两城生产一批同种产品，共100件，A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系为y＝ax2+bx，当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．（1）求A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系式；（2）当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件．【答案】（1）y＝x2+30x；（2）A城生产20件，B城生产80件．【解答】解：（1）由题意得：，解得：．∴a＝1，b＝30；∴y＝x2+30x；（2）由（1）得：y＝x2+30x，设A，B两城生产这批产品的总成本为w，则w＝x2+30x+70（100﹣x）＝x2﹣40x+7000＝（x﹣20）2+6600，由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时100﹣20＝80．答：A城生产20件，B城生产80件．34．某企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小华第x天生产的帽子数量为y顶，y与x满足如下关系式：y＝（1）小华第几天生产的帽子数量为220顶？（2）如图，设第x天每顶帽子的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小华第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多49元，则第（m+1）天每顶帽子至少应提价几元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）若20x＝220，则x＝11，与0≤x≤5不符，∴10x+100＝220，解得，x＝12，故第12天生产了220顶帽子；（2）由图象得，当0≤x≤10时，P＝5.2；当10＜x≤20时，设P＝kx+b（k≠0），把（10，5.2），（20，6.2）代入上式，得，解得，，∴P＝0.1x+4.2①0≤x≤5时，w＝y（8﹣P）＝20x（8﹣5.2）＝56x当x＝5时，w有最大值为w＝280（元）②5＜x≤10时，w＝y（8﹣P）＝（10x+100）（8﹣5.2）＝28x+280，当x＝10时，w有最大值，最大值为560（元）；③10＜x≤20时，w＝y（8﹣P）＝（10x+100）[8﹣（0.1x+4.2）]＝﹣x2+28x+380当x＝14时，w有最大值，最大值为576（元）．综上，第14天时，利润最大，最大值为576元．（3）由（2）小题可知，m＝14，m+1＝15，设第15天提价a元，由题意得w＝y（8+a﹣P）＝（10x+100）[8+a﹣（0.1x+4.2）]＝250（2.3+a）∴250（2.3+a）﹣576≥49∴a≥0.2答：第15天每顶帽子至少应提价0.2元．35．如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5．由图知图象过以下点：（1.5，3.05）．∴2.25a+3.5＝3.05，解得：a＝﹣0.2，∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5．（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，∵y＝﹣0.2x2+3.5，而球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m，∴h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，∴h＝0.2．答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．一十一．二次函数综合题（共5小题）36．如图，抛物线m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（）A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣3 C．ab＝﹣4 D．ab＝﹣5【答案】B【解答】解：令x＝0，得：y＝b．∴C（0，b）．令y＝0，得：ax2+b＝0，∴x＝±，∴A（﹣，0），B（，0），∴AB＝2，BC＝＝．要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB＝BC，∴2＝．∴4×（﹣）＝b2﹣，∴ab＝﹣3．∴a，b应满足关系式ab＝﹣3．故选：B．37．如图1，抛物线y＝ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，﹣1≤x≤3．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）①4；②是，定值为8，理由见解析．【解答】解：（1）∵当y≥0时，﹣1≤x≤3，∴x1＝﹣1，x2＝3是ax2+2x+c＝0的两根，A（﹣1，0），B（3，0），∴，解得：，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）①把x＝2代入y＝﹣x2+2x+3得：y＝3，∴D（2，3）．又当x＝0，y＝3，∴C（0，3），∴线段CD∥x轴．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴F（1，4），；②设D（m，﹣m2+2m+3）（1＜m＜3），直线AD：y＝k1x+b1，BD：y＝k2x+b2，因此可得：或，解得：或，∴直线AD：y＝（3﹣m）x+（3﹣m），BD：y＝﹣（m+1）x+3（m+1）．令x＝1得yM＝6﹣2m，yN＝2m+2，∴ME＝6﹣2m，NE＝2m+2，∴NE+ME＝8．38．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为抛物线上第二象限内的一个动点，点M为线段CO上一动点，当△APC的面积最大时，求△APM周长的最小值；（3）如图2，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，在新抛物线y'的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝﹣（x+1）2+．（2）△APM周长的最小值为：2+2．（3）存在，点Q的坐标为（﹣7，）或（﹣7，﹣）或（﹣7，7）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，∴x＝h＝﹣1，∵抛物线过点B（2，0），点C（0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+．（2）由（1）知函数解析式为：y＝﹣（x+1）2+．∴A（﹣4，0），∴直线AC：y＝x+4，过点P作PN∥AC，设直线PN的解析式为：y＝x+m，当△APC的面积最大时，直线PN与抛物线有且仅有一个交点，令x+m＝﹣（x+1）2+，整理得x2+4x+2m﹣8＝0，∴Δ＝42﹣4（2m﹣8）＝0，解得m＝6，∴x2+4x+4＝0，∴x＝﹣2，即P（﹣2，4）；作点A关于y轴的对称点A′，连接A′P交y轴于点M，如图1，此时△APM的周长最小，∵A（﹣4，0），∴A′（4，0），∴A′P＝＝2，AP＝＝2，∴△APM周长的最小值为：2+2．（3）由（1）知原抛物线的顶点坐标D（﹣1，），绕点A旋转后的顶点D′（﹣7，﹣），∴y′的对称轴为直线x＝﹣7；设点Q的坐标为（﹣7，t），若△ACQ是等腰三角形，则需要分类讨论：①当AC＝AQ时，如图2；∴（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝（﹣4+7）2+（0﹣t）2，解得t＝±；∴Q（﹣7，）或（﹣7，﹣）；②当CA＝CQ时；∴（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝（0+7）2+（4﹣t）2，无解；③当QA＝QC时，如图3，∴（﹣4+7）2+（0﹣t）2＝（0+7）2+（4﹣t）2，解得t＝7，∴Q（﹣7，7）．综上可知，存在，点Q的坐标为（﹣7，）或（﹣7，﹣）或（﹣7，7）．39．已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的