专题03用待定系数法确定二次函数表达式（1个知识点5种题型1个中考考点）（原卷版）2

专题03用待定系数法确定二次函数表达式（1个知识点5种题型1个中考考点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.用待定系数法确定二次函数表达式【方法二】实例探索法题型1.根据文字信息，确定二次函数表达式题型2.根据图像信息确定二次函数的表达式题型3.根据对称轴或最高（低）点求二次函数表达式题型4.与二次函数相关的图形面积问题题型5.以二次函数为载体的探究性问题【方法三】仿真实战法考法.用待定系数法求二次函数表达式【方法四】成果评定法【学习目标】能根据具体情况及已知条件，用待定系数法确定二次函数的表达式。掌握二次函数表达式的几种常见形式：一般式、顶点式、交点式，并能灵活选用恰当的二次函数表达式解决相关问题。能根据条件建立关于函数表达式中待定系数的方程（组），从中体会二次函数与方程（组）的内在联系，感悟数形结合思想。【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.用待定系数法确定二次函数表达式一．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．二．二次函数的三种形式二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．【例】（2022秋•启东市校级月考）某二次函数的图象过点（0，1），（1，6），且它的形状与抛物线y＝﹣3x2形状相同，开口方向相反，求这个二次函数的解析式．【变式1】一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式．【变式2】已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．【方法二】实例探索法题型1.根据文字信息，确定二次函数表达式1.有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：甲：对称轴是直线x＝4；乙：顶点到x轴的距离为2．请你写出一个符合条件的解析式：．2.老师给出一个二次函数，甲、乙两名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：抛物线开口向下；已知这两位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式．3.老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：当x＜1时，y随x的增大而减小；丙：该函数的开口大小、形状均与函数y＝x2的图象相同．已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式．4.如图，在平面直角坐标系中，有五个点，将二次函数的图象记为W．下列的判断中①点A一定不在W上；②点B，C，D可以同时在W上；③点C，E不可能同时在W上．所有正确结论的序号是_________．5.已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：02606下列结论：①；②当时，函数最小值为；③若点，点在二次函数图象上，则；④方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）题型2.根据图像信息确定二次函数的表达式6.二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+37.如图，经过原点的抛物线是二次函数的图像，那么的值是_________．8.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式．题型3.根据对称轴或最高（低）点求二次函数表达式9．（2022•宜兴市一模）请写出一个开口向上，并且对称轴为直线x＝1的抛物线的表达式y＝10.设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．11.已知二次函数当x＝1时有最大值是﹣6，其图象经过点（2，﹣8），求二次函数的解析式．题型4.与二次函数相关的图形面积问题12.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，5）．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）连接AC、BC，求△ABC的面积．题型5.以二次函数为载体的探究性问题14.．（2022秋•通州区校级月考）已知抛物线y＝ax2经过点A（2，1）．（1）求这个函数的解析式；（2）画出函数的图象，写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标；（3）抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．15.如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D为抛物线的顶点．（1）直接写出抛物线的函数表达式；（2）如图1，抛物线的对称轴上是否存在点F，使得△BCF周长最小，若存在求点F坐标，并求周长的最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线在第二象限的部分上是否存在一点M，使得四边形AOCM面积最大，若存在求点M坐标；若不存在，请说明理由；【方法三】仿真实战法考法.用待定系数法求二次函数表达式1．（2021•无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知二次函数y＝x2，OACB为矩形，A，B在抛物线上，当A，B运动时，点C也在另一个二次函数图象上运动，设C（x，y），则y关于x的函数表达式为．2．（2023•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．3．（2022•牡丹江）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是．注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（﹣，）．4．（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．（1）当b＝4，c＝3时，①求该函数图象的顶点坐标；②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．5．（2022•黑龙江）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【方法四】成果评定法一、单选题1．（23·24九年级上·山西阳泉·阶段练习）顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的抛物线为（

）A． B．C． D．2．（23·24九年级上·山西吕梁·期中）如图，抛物线状沙丘是大漠中常见的沙丘形状，以沙丘顶端为原点建立平面直角坐标系，沙丘中两点M，N的坐标分别为，，则的值为（

）

A．30 B．36 C．48 D．563．（22·23九年级上·北京西城·期末）下表记录了二次函数中两个变量与的5组对应值，其中．…13……020…根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（22·23九年级上·山东枣庄·期末）若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点(

)A． B． C． D．5．（23·24九年级上·安徽滁州·阶段练习）二次函数的图象如图，且，则b等于（

）

A． B．1 C． D．6．（23·24九年级上·广东珠海·期中）若二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过，则二次函数的解析式是（

）A． B． C． D．7．（22·23九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：x…013…y…366…当时，y的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（22·23九年级上·江苏盐城·阶段练习）是的二次函数，其对应值如下表：|…01234……40149…下列叙述不正确的是（

）A．该二次函数的图象的对称轴是直线B．C．当时，随的增大而增大D．图象与轴有两个公共点9．（2023·江苏泰州·中考真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（

）x124y421A． B．C． D．10．（22·23九年级上·安徽合肥·期中）在中，边的长与边上的高的和为8，当面积最大时，则其周长的最小值为（

）A． B． C． D．二、填空题11．（2022·江苏南通·一模）已知二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表x﹣114y3﹣33当x＝2时，函数值为．12．（2023·江苏无锡·一模）请写出一个函数的表达式，使其图象是以直线为对称轴，开口向上的抛物线：．13．（2023·江苏连云港·二模）已知函数满足下列两个条件：①时，y随x的增大而增大：②它的图像经过点．请写出一个符合上述条件的函数的表达式．14．（23·24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则二次函数的解析式为．15．（2023·江苏扬州·二模）已知：二次函数的图象经过点、和，当时，y的值为．16．（23·24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为．17．（23·24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上存在点Q使得的周长最小，则的周长的最小值为．

18．（23·24九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，为抛物线的顶点．若直线交直线于点，且为线段的中点，则的值为．

三、解答题19．（23·24九年级上·福建莆田·开学考试）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线．求抛物线的解析式．

20．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式．(2)将抛物线向右平移，平移后所得的抛物线与轴交于点，，交轴于点，顶点为．若，求抛物线的表达式．21．（2023·广东深圳·三模）如图，抛物线经过点，点，且．

(1)求抛物线的表达式；(2)如图，点是抛物线的顶点，求的面积．22．（23·24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数图象的对称轴是．(1)求二次函数的解析式；(2)将二次函数图象绕顶点旋转180度得到新的抛物线．得到二次函数的解析式为________；(3)若二次函数的图象满足当时，二次函数有最大值1，求的值．23．（23·24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知二次函数图像的顶点为原点，直线与抛物线分别交于两点，且．

(1)求二次函数的表达式；(2)已知点在抛物线上，过点作轴，交抛物线于点，求的面积．24．（23·24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线交轴于A，两点，交轴于点，对称轴是直线，，，请解答下列问题；(1)求抛物线的函数解析式；(2)直接写出抛物线的顶点的坐标，并判断与的位置关系，不需要说明理由．25．（23·24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已