专题03全等三角形常见五种辅助线添法专训（原卷版）

专题03全等三角形常见五种辅助线添法专训【目录】辅助线添法一倍长中线法辅助线添法二截长补短法辅助线添法三旋转法辅助线添法四作平行线法辅助线添法五作垂线法【经典例题一倍长中线法】【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．【常见模型】【例1】（2022秋·北京大兴·八年级统考期末）如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），连接，，则的面积比的面积大；④点，是，所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是（）A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④【变式训练】1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（）A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤82．（2023春·全国·八年级期末）如图，在，点是上的一点，连接，平分，交于中点，连接，若，则___________．

3．（2023春·全国·七年级专题练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接．请根据小明的方法思考：（1）如图2，由已知和作图能得到的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．ASA（2）如图2，长的取值范围是．A．B．

C．

D．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图3，是的中线，交于点E，交于F，且．求证：．【经典例题二截长补短法】【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）．【模型图示】（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段．例：如图，求证BE＋DC＝AD方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等例：如图，求证BE＋DC＝AD方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE【例2】（2023·江苏·八年级假期作业）把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形以D为顶点作，交边、于M、N．(1)若，，两边分别交、于点M、N，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；(2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；(3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【变式训练】1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（

）A．3 B．9 C．11 D．152．（2023·全国·八年级假期作业）如图，为等边三角形，若，则__________（用含的式子表示）．3．（2023春·湖北咸宁·八年级咸宁市温泉中学校联考期中）如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．(1)求证：；(2)连接，则的值为__________；(3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系．【经典例题三旋转法】【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等．注：旋转需要特定条件（两个图形的短边共线），该方法常在半角模型中使用．【模型图示】例：如图，已知AB＝AC，∠ABM＝∠CAN＝90°，求证BM＋CN＝MN方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE＝MN【例3】（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）已知：，，．(1)如图1当点在上，______．(2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（两三角形可以看成是等底的）【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．2．（2021秋·天津和平·八年级校考期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E，（1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________；（2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明；（3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明．3．（2021秋·河南周口·八年级统考期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；（2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．【经典例题四作平行线法】【例4】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．求让：【变式训练】1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）证明：PD＝DQ．（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．2．（2022秋·八年级课时练习）读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明．图(1):延长DE到F使得EF=DE图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F.3．（2023春·全国·七年级专题练习）已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．【经典例题五作垂直法】【例5】（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．(1)如图1，是中的遥望角．①直接写出与的数量关系___________；②连接AE，猜想与的数量关系，并说明理由．(2)如图2，四边形ABCD中，，点E在BD的延长线上，连CE，若已知，求证：是中的遥望角．【变式训练】1．（2022秋·八年级课时练习）如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．（1）求证：△EAF≌△DAF；（2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数．2．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．3．（2022秋·八年级课时练习）如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．【重难点训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，为边上的中线，若，，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2023春·广东湛江·八年级校考期中）已知如图，BD为ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上一点，BE=BA，过点E作EF⊥AB于点F，则下列结论：①EBC可由ABD绕点B旋转而得到；②∠BCE+∠BCD=180º；③∠ABE=∠DAE；④BA+BC=2BF；正确的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．13．（2023·全国·八年级假期作业）如图，中，，点在的边上，，以为直角边在同侧作等腰直角三角形，使，连接，若，则与的数量关系式是（

）A． B． C． D．4．（2022秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标（

）A． B． C． D．5．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________．6．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在等腰中，，D为内一点，且，若，则的面积为________．7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则______．8．（2023秋·广东广州·八年级华南师大附中校考期末）已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=10,AC=4,则AD的取值范围是_____.9．（2022秋·浙江·八年级专题练习）【问题情境】如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果米，那么间的距离为___________米．【探索应用】如图2，在中，若，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是___________；【拓展提升】如图3，在中，的延长线交于点F，求证：．10．（2022秋·八年级课时练习）已知：等腰和等腰中，，，．（1）如图1，延长交于点，若，则的度数为；（2）如图2，连接、，延长交于点，若，求证：点为中点；（3）如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，直接写出的面积．11．（2023春·江苏·八年级专题练习）四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点．（1）当、都在线段上时（如图1），请证明：；（2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为．12．（2022秋·八年级课时练习）（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系；（2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：；（3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．13．（2022秋·河南商丘·八年级统考期中）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝