专项34相似三角形-手拉手模型综合应用(原卷版+解析)

专项34相似三角形-手拉手模型综合应用模型一：有公共顶点的直角三角形模型二：有公共顶点的任意三角形【类型1：有公共顶点的直角三角形】【典例2】【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图①所示的位置摆放，点B，C，E在同一条直线上，其中∠ECF＝90°．【初步探究】（1）如图②，将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE，请直接写出BF与DE的数量关系与位置关系：；【类比探究】（2）如图③，将（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他条件不变．①判断线段BF与DE的数量关系，并说明理由；②连接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．【变式1-1】如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，连接AD，BE．（1）求证：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积．【变式1-2】如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的顶点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝，将△BDE绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为α（0°≤α＜360°）．（1）问题发现当α＝0°时，的值为，直线AE，CD相交形成的较小角的度数为；（2）拓展探究试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明：（3）问题解决当△BDE旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出△ACD的面积．【典例2】已知：如图，△ABD∽△ACE．求证：△DAE∽△BAC．【变式2-1】如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE．【变式2-2】（2022春•龙岗区期末）（1）如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．易求∠DCE＝°；（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．CE＝10，BC＝6，求AE的长．【变式2-3】（1）如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；（2）如图（2），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，延长BD到点E，使∠CAE＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，求出AD的长．（3）如图（3），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，试证明△ADF∽△ECF，并求出的值．1．（2021秋•邵阳县期末）如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，连接AD，BE．（1）求证：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积．2．（2021•长垣市模拟）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．①线段AD，BE之间的数量关系为；②∠AEB的度数为．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△AED均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接CE，求的值及∠BEC的度数；（3）解决问题：如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝，且∠BPD＝90°，请直接写出点C到直线BP的距离．3．（2022•南山区校级一模）（1）【问题发现】如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：①线段CF与DG的数量关系为；②直线CF与DG所夹锐角的度数为．（2）【拓展探究】如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3）【解决问题】如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝10，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为（直接写出结果）．4.（2020秋•赣榆区期末）问题背景：（1）如图1，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用：（2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，BD＝3，CD＝5，求的值；灵活运用：（3）如图3，点A是△BCD内一点，∠ADB＝∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，BD＝3，CD＝，直接写出AD的长．专项34相似三角形-手拉手模型综合应用模型一：有公共顶点的直角三角形模型二：有公共顶点的任意三角形【类型1：有公共顶点的直角三角形】【典例2】【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图①所示的位置摆放，点B，C，E在同一条直线上，其中∠ECF＝90°．【初步探究】（1）如图②，将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE，请直接写出BF与DE的数量关系与位置关系：；【类比探究】（2）如图③，将（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他条件不变．①判断线段BF与DE的数量关系，并说明理由；②连接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．【解答】解：（1）如图②，BF与CD交于点M，与DE交于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，∵△ECF是等腰直角三角形，∴CF＝CE，∠ECF＝90°，∴∠BCD＝∠ECF，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴BF＝DE，∠CBF＝∠CDE，∵∠BMC＝∠DMF，∠CBF+∠BMC＝90°，∴∠CDE+∠DMF＝90°，∴∠BND＝90°，∴BF⊥DE，故答案为：BF＝DE，BF⊥DE；（2）①如图③，，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠ECF＝90°，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∵，∴△BCF∽△DCE，∴＝；②如图③，连接BD，∵△BCF∽△DCE，∴∠CBF＝∠CDE，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝12，∵CE＝6，，∴＝，∴CF＝8，BC＝16，∵∠DBO+∠CBF+∠BDC＝∠BDO+∠CDE+∠BDC＝∠DBO+∠BDO＝90°，∴∠BOD＝90°，∴∠DOF＝∠BOE＝∠EOF＝90°，在Rt△DOF中，DF2＝OD2+OF2，在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，在Rt△DOB中，DB2＝OD2+OB2，在Rt△EOF中，EF2＝OE2+OF2，∴DF2+BE2＝OD2+OF2+OB2+OE2＝DB2+EF2，在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2＝162+122＝400，在Rt△CEF中，EF2＝EC2+CF2＝62+82＝100，∴BD2+EF2＝400+100＝500，∴DF2+BE2＝500【变式1-1】如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，连接AD，BE．（1）求证：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，又∵，∴△ACD∽△BCE；（2）解：过A作AG⊥CD于G，由（1）知，∠ACD＝∠DCB＝∠BCE＝45°，∴AG＝CG，在Rt△ACG中，由勾股定理得：∴CG＝AG＝3，∴S＝＝．【变式1-2】如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的顶点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝，将△BDE绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为α（0°≤α＜360°）．（1）问题发现当α＝0°时，的值为，直线AE，CD相交形成的较小角的度数为；（2）拓展探究试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明：（3）问题解决当△BDE旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出△ACD的面积．【解答】解：（1）∵△ABC与△BDE都是等腰直角三角形，∴DE∥AC，∴，∴，∵∠B＝45°，∴直线AE，CD相交形成的较小角的度数为45°，故答案为：；45；（2）无变化，理由如下：延长AE，CD交于点F，CF交AB于点G，∵△ABC与△BDE都是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠DBE＝45°，，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，∴∠CBD＝∠ABE，又∵，∴△ABE∽△CBD，∴，∠BAE＝∠BCD，∴∠F＝180°﹣∠BAE﹣∠AGF＝180°﹣∠BCD﹣∠BGC＝∠ABC＝45°；（3）如图，当DE在AB上方时，作AH⊥CD于H，由A，D，E三点在同一条直线上知，∠ADB＝90°，∴AD＝，由（2）知∠ADH＝45°，，∴AH＝＝，CD＝，∴S△ACD＝CD×AH＝＝12+，当DE在AB下方时，同理可得S△ACD＝×CD×AH＝＝12﹣，【典例2】已知：如图，△ABD∽△ACE．求证：△DAE∽△BAC．【解答】证明：∵△ABD∽△ACE，∴，∴，而∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△BAC．【变式2-1】如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE．【解答】证明：∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，＝．∴∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，又∵＝．∴△ABC∽△ADE．【变式2-2】（2022春•龙岗区期末）（1）如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．易求∠DCE＝°；（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．CE＝10，BC＝6，求AE的长．【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD+∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝60°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝120°，故答案为：120；（2）DE2＝CD2+BD2；理由如下：在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，根据勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝CD2+BD2；（3）由（2）知，BD＝CE，∵CE＝10，∴BD＝10，∵BC＝6，∴CD＝BD﹣BC＝4，由（2）知，∠BCE＝90°，∴∠DCE＝90°，根据勾股定理得，DE2＝CE2+CD2＝116，在Rt△ADE中，DE2＝2AE2＝116，∴AE＝．【变式2-3】（1）如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；（2）如图（2），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，延长BD到点E，使∠CAE＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，求出AD的长．（3）如图（3），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，试证明△ADF∽△ECF，并求出的值．【解答】（1）证明：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE；（2）解：过点A作AM⊥AB，过点D作DM⊥AD，两条垂线交于M，连接BM，∴∠BAD+∠DAM＝90°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，∴△ADM∽△CDB，∴，∵∠BDC＝∠ADM，∴∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴，∴BM＝AC＝＝6，∴AM＝，∴AD＝AM＝；（3）解：由（1）同理可得，△ABD∽△ACE，∴，∠ACE＝∠ABD＝30°，∵∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴，∵AD＝AE，∴，∴＝3．1．（2021秋•邵阳县期末）如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，连接AD，BE．（1）求证：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，又∵，∴△ACD∽△BCE；（2）解：过A作AG⊥CD于G，由（1）知，∠ACD＝∠DCB＝∠BCE＝45°，∴AG＝CG，在Rt△ACG中，由勾股定理得：∴CG＝AG＝3，∴S＝＝．2．（2021•长垣市模拟）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．①线段AD，BE之间的数量关系为；②∠AEB的度数为．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△AED均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接CE，求的值及∠BEC的度数；（3）解决问题：如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝，且∠BPD＝90°，请直接写出点C到直线BP的距离．【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB＝AB，CD＝CE＝DE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△CDA和△CEB中，，∴△CDA≌△CEB（SAS），∴AD＝BE；②∵△CDA≌△CEB，∴∠CEB＝∠ADC，∵∠CDE＝60°，∴∠ADC＝120°＝∠CEB，∴∠AEB＝120°﹣60°＝60°；故答案为：①AD＝BE，②60°；（2）∵△ACB和△AED均为等腰直角三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝45°，∠BAC＝45°，，∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，即∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，∴，∠AEC＝∠ADB，∵∠ADE＝45°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣45°＝135°，∵∠AED＝90°，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝∠ADB﹣∠AED＝135°﹣90°＝45°，故，∠BEC＝45°；（3）∵点P满足PD＝，∴点P在以D为圆心，为半径的圆上，∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上，∴如图3，点P是两圆的交点，若点P在BD上方，连接BP，过点C作CH⊥BP于H，过点D作DE⊥CH于E，∵CD＝＝BC，∠BCD＝90°∴BD＝2，∵∠BPD＝90°∴BP＝＝3，∵∠BPD＝∠PHE＝∠DEH＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠2，四边形PHED是矩形，∴PH＝DE，在△BCH和△CDE中，，∴△BCH≌△CDE，∴BH＝CE，CH＝DE，∴CH＝PH，∵BP＝3，BC＝，∴CH＝PH＝3﹣BH，在Rt△CHB中，BC2＝CH2+BH2，即（）2＝（3﹣BH）2+BH2，解得：BH＝或．∴点C到直线BP的距离为或．3．（2022•南山区校级一模）（1）【问题发现】如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：①线段CF与DG的数量关系为；②直线CF与DG所夹锐角的度数为．（2）【拓展探究】如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3）【解决问题】如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝10，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为（直接写出结果）．【解答】解：（1）连接AF，∵四边形AEFG、ABCD是正方形，∴∠GAF＝45°，∴点A、F、C三点共线，∴AC＝，AF＝AG，∴CF＝GD，故答案为：CF＝GD，45°；（2）仍然成立，连接AF，AC，∵∠CAD＝∠FAG＝45°，∴∠CAF＝∠DAG，，∴△CAF∽△DAG，∴CF＝DG，∠ACF＝∠ADG，∴∠COD＝∠CAD＝