专题4.2因式分解的应用（压轴题专项讲练）（浙教版）

专题4.2因式分解的应用【典例1】教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4，＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3），例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝；（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+20有最小值，并求出这个最小值．【思路点拨】（1）将多项式加4再减4，利用配方法可得；（2）将多项式配方后可得结论；（3）将多项式配方后可得结论．【解题过程】解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣9＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）＝（m+1）（m﹣5），故答案为：（m+1）（m﹣5）．（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5；（3）∵a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+20＝a2﹣2ab+b2﹣2（a﹣b）+1+b2﹣6b+9+10＝（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+10，∴当a＝4，b＝3时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+20有最小值10．1．（2021春•长安区期末）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，5，x2﹣y2，a，x+y，a2﹣ab分别对应下列七个字：会、城、我、美、爱、运、丽，现将5a2（x2﹣y2）﹣5ab（x2﹣y2）因式分解，分解结果经密码翻译呈现准确的信息是（）A．我爱美丽城 B．我爱城运会 C．城运会我爱 D．我美城运会【思路点拨】利用提公因式法和平方差公式分解因式的结果为5a（x﹣y）（x+y）（a﹣b），然后找出对应的汉字即可对各选项进行判断．【解题过程】解：5a2（x2﹣y2）﹣5ab（x2﹣y2）＝5a（x2﹣y2）（a﹣b）＝5a（x﹣y）（x+y）（a﹣b），信息中的汉字有：我、爱、会、运、城．所以经密码翻译呈现准确的信息是我爱城运会，故选：B．2．（2021秋•博兴县期末）已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．6【思路点拨】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．【解题过程】解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故选：B．3．（2021秋•泉州期末）若实数a、b满足a2+b2＝1，则ab+a+3b的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．3【思路点拨】由a2+b2＝1，可得a2≤1，b2≤1，﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，然后通过因式分解的应用将原式变形为（b+1）（a+3）﹣3，从而分析其最值．【解题过程】解：∵a2+b2＝1，∴a2≤1，b2≤1，∴﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，∴ab+a+3b＝a（b+1）+3（b+1）﹣3＝（b+1）（a+3）﹣3，又∵a+3＞0，b+1≥0，∴当b+1＝0，即b＝﹣1时，原式有最小值为﹣3，故选：A．4．（2021春•永嘉县校级期末）已知x3+x2+x+1＝0，则x2019+x2018+x2017+…+x+1的值是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【思路点拨】多项式x2019+x2018+x2017+x2016+…+x4+x3+x2+x+1共有2020项，从第一项起每4项一组，每组都含有x3+x2+x+1，于是分解后得到（x3+x2+x+1）（x2016+…+x4+1），然后利用整体代入的方法计算．【解题过程】解：∵x3+x2+x+1＝0，∴x2019+x2018+x2017+x2016+…+x4+x3+x2+x+1＝x2016（x3+x2+x+1）+…+（x3+x2+x+1）＝（x3+x2+x+1）（x2016+…+x4+1）＝0．故选：A．5．（2021秋•如皋市校级月考）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2021，且a、b、c互不相等，则c2（a+b）﹣2020＝（）A．0 B．1 C．2020 D．2021【思路点拨】先通过已知等式，找到a，b，c的关系再求值．【解题过程】解：∵a2（b+c）＝b2（a+c）．∴a2b+a2c﹣ab2﹣b2c＝0．∴ab（a﹣b）+c（a+b）（a﹣b）＝0．∴（a﹣b）（ab+ac+bc）＝0．∵a≠b．∴ab+ac+bc=0，即ab+ac=bc．∵a2（b+c）＝2021．∴a（ab+ac）＝2021．∴a（﹣bc）＝2021．∴﹣abc＝2021．∴abc＝﹣2021．∴原式＝c（ac+bc）﹣2020＝c（﹣ab）﹣2020＝﹣abc﹣2020＝2021﹣2020＝1．故选：B．6．（2021春•高州市月考）已知：a＝2020x+2019，b＝2020x+2020，c＝2020x+2021，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路点拨】由题意：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，设S＝a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc，则2S＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，将式子的右边进行因式分解变形，结论可得．【解题过程】解：∵a＝2020x+2019，b＝2020x+2020，c＝2020x+2021，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1．设S＝a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc，则2S＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc．∵2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2＝6，∴S＝3．∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝3．故选：D．7．（2021春•南京月考）若A＝11×996×1005，B＝1004×997×11，则B﹣A的值88．【思路点拨】根据A＝11×996×1005，B＝1004×997×11，可以求得B﹣A的值，本题得以解决．【解题过程】解：∵A＝11×996×1005，B＝1004×997×11，∴B﹣A＝1004×997×11﹣11×996×1005＝[（1005﹣1）×（996+1）﹣996×1005]×11＝（1005×996+1005﹣996﹣1﹣996×1005）×11＝8×11＝88，故答案为：88．8．（2021春•鄞州区校级期末）已知724﹣1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是48，43．【思路点拨】利用平方差公式，对已知的多项式进行因式分解即可得出结论．【解题过程】解：724﹣1＝（712+1）（712﹣1）＝（712+1）（76+1）（76﹣1）＝（712+1）（76+1）（73+1）（73﹣1）＝（712+1）（76+1）（7+1）（72﹣7×1+1）（7﹣1）（72+7×1+1）＝（712+1）（76+1）×8×43×6×57＝（712+1）（76+1）×48×43×57，∵724﹣1可被40至50之间的两个整数整除，∴这两个整数是48，43．故答案为：48，43．9．（2020秋•卫辉市期末）若△ABC的三边长是a、b、c，且a2+b2+c2＝ab+bc+ac，则这个三角形形状是等边三角形．【思路点拨】利用完全平方公式，将等式转化为12（a﹣b）2+12（b﹣c）2+12（c﹣a【解题过程】解：∵a2+b2+c2＝ab+bc+ac，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，∴12（a﹣b）2+12（b﹣c）2+12（c﹣a∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形，故答案为：等边．10．（2020秋•九龙县期末）若a2+a﹣1＝0，则a4+a3﹣2a2﹣a+2016的值为2015．【思路点拨】将所求式子变形，然后将a2+a﹣1＝0代入，即可解答本题．【解题过程】解：∵a2+a﹣1＝0，∴a4+a3﹣2a2﹣a+2016＝a2（a2+a﹣1）﹣（a2+a﹣1）+2015＝a2×0﹣0+2015＝0+0+2015＝2015，故答案为：2015．11．（2020秋•崇川区期末）已知实数m，n满足n＝km+3，（m2﹣2m+5）（n2﹣4n+8）＝16，则k＝﹣1．【思路点拨】已知等式括号中配方后，利用非负数的性质确定出m与n的值，即可求出k的值．【解题过程】解：∵（m2﹣2m+5）（n2﹣4n+8）＝16∴[（m2﹣2m+1）+4][（n2﹣4n+4）+4]＝16，即[（m﹣1）2+4][（n﹣2）2+4]＝16，∵（m﹣1）2≥0，（n﹣2）2≥0，且4×4＝16，∴m﹣1＝0，n﹣2＝0，解得：m＝1，n＝2，代入n＝km+3得：2＝k+3，解得：k＝﹣1．故答案为：﹣1．12．（2021春•奉化区校级期末）若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值﹣2020．【思路点拨】由已知条件求得m+n＝﹣1，m2﹣n＝2020，n2﹣m＝2020，再将原式化成m（m2﹣n）+n（n2﹣m），连接两次代值计算便可得出答案．【解题过程】解：∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，∴m2﹣n2＝n﹣m，∴（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，∵m≠n，∴m+n＝﹣1，∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，∴m2﹣n＝2020，n2﹣m＝2020，∴原式＝m3﹣mn﹣mn+n3＝m（m2﹣n）+n（n2﹣m）＝2020m+2020n＝2020（m+n）＝2020×（﹣1）＝﹣2020．故答案为：﹣2020．13．（2021秋•二道区校级月考）已知两个数a，b（a＞b），若a+b＝4，a2+b2＝10，求a2b﹣ab2的值．【思路点拨】把a+b＝4两边平方，利用完全平方公式展开，再把a2+b2＝10代入求出ab的值，然后再利用完全平方公式求出（a﹣b）2的值，根据a＞b，求出算术平方根即可得a﹣b，然后将a2b﹣ab2因式分解成ab（a﹣b），最后将ab，a﹣b的值代入即可求出答案．【解题过程】解：∵a+b＝4，∴a2+2ab+b2＝16，∵a2+b2＝10，∴2ab＝16﹣10＝6，∴ab＝3，∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝10﹣6＝4，∵a＞b，∴a﹣b＝2，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝3×2＝6．14．（2021秋•潮安区期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣4a﹣8b+20＝0，c＝3cm，求△ABC的周长．【思路点拨】先对含a、b的方程配方，利用非负数的和为0，求出a、b，再求周长．【解题过程】解：∵a2+b2﹣4a﹣8b+20＝0∴a2﹣4a+4+b2﹣8b+16＝0∴（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0，又∵（a﹣2）2≥0，（b﹣4）2≥0∴a﹣2＝0，b﹣4＝0，∴a＝2，b＝4，∴△ABC的周长为a+b+c＝2+4+3＝9（cm）．答：△ABC的周长为9cm．15．（2021春•广陵区校级期中）阅读材料并回答问题：如图，有足够多的边长为a的小正方形卡片（A类）、长为a宽为b的长方形卡片（B类）以及边长为b的大正方形卡片（C类），发现利用图①中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）取图①中卡片若干张（A、B、C三种卡片都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在虚框Ⅰ中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2．（2）取图①中卡片若干张（A、B、C三种卡片都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．①你的图中需要A类、B类、C类卡片共12张．②根据图形，可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为（a+2b）（a+3b）．（3）试在虚框Ⅱ中画出一个几何图形，结合面积表示，把多项式b2﹣3ab+2a2因式分解．【思路点拨】（1）根据长方形的长和宽得出每个图形的个数，然后再根据图②的提示拼出长方形，把每个图形的面积都加起来即是长方形的面积；（2）①根据a2+5ab+6b2可得出A类、B类、C类的个数；②由长方形的面积公式即可得出结论；（3）根据多项式b2﹣3ab+2a2可确定A类、B类、C类的个数，然后把它们拼成一个长方形，再由长方形的面积公式即可因式分解．【解题过程】解：（1）拼出一个长为2b+a，宽为2a+b的长方形需要A类图形2个，B类图形5个，C类图形2个，拼出的长方形如下：根据图象可知，长方形的面积为2a2+5ab+2b2，∴（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，故答案为2a2+5ab+2b2；（2）①由a2+5ab+6b2可得需要A类、B类、C类图形共1+5+6＝12个，故答案为12；②∵一个A类图形，5个B类图形，6个C类图形可拼如下图形，由图象可知，长方形的面积可表示为（a+2b）（a+3b），∴a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b），故答案为（a+2b）（a+3b）；（3）根据b2﹣3ab+2a2可知需要A类图象2个，B类图形3个，C类图形一个，拼出的图形如下：由图象可知b2﹣3ab+2a2＝（b﹣a）（b﹣2a）．16．（2021秋•滑县期末）人教版八年级数学上册教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种亚要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3．原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．求代数式2x2+4x﹣6的最小值．2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值﹣8．根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）填空：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2；2m2+4m＝2（m+1）2﹣2；（2）利用配方法分解因式：x2+4x﹣12；（3）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+8有最大值？并求出这个最大值．【思路点拨】（1）两式利用完全平方公式判断即可得到结果；（2）原式变形后，利用完全平方公式配方得到结果，分解即可；（3）原式变形后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质得出有最大值，并求出最大值即可．【解题过程】解：（1）x2﹣6x+9＝（x﹣3）2；2m2+4m＝2（m+1）2﹣2；故答案为：9，2；（2）原式＝x2+4x+4﹣16＝（x+2）2﹣16＝（x+2+4）（x+2﹣4）＝（x+6）（x﹣2）；（3）原式＝﹣2（x2+2x）+8＝﹣2（x2+2x+1）+10＝﹣2（x+1）2+10，∵（x+1）2≥0，∴﹣（x+1）2≤0，即﹣2（x+1）2+10≤10，则当x＝﹣1时，多项式﹣2x2﹣4x+8有最大值，最大值为10．17．（2021春•碑林区校级期中）在全国中学生编程比赛中，我校学子用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3﹣4x分解结果为x（x+2）（x﹣2）．当x＝20时，x﹣2＝18，x+2＝22，此时可得到数字密码201822，或者是182022等．（1）根据上述方法，当x＝16，y＝4时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码（写出两个即可）？（2）将多项式x3+（m﹣n）x2+nx因式分解后，利用题目中所示的方法，当x＝10时可以得到密码101213，求m、n的值．【思路点拨】（1）先将多项式x3﹣xy2分解因式，利用题干中的方法即可得出结论；（2）由于密码为101213，x＝10，可得多项式x3+（m﹣n）x2+nx因式分解后的式子为x（x+2）（x+3），因为多项式x3+（m﹣n）x2+nx＝x[x2+（m﹣n）x+n]，所以x2+（m﹣n）x+n＝（x+2）（x+3），将（x+2）（x+3）展开后结论可得．【解题过程】解：（1）∵x3﹣xy2＝x（x+y）（x﹣y），又∵当x＝16，y＝4时，x+y＝20，x﹣y＝12，∴可得到数字密码为：162012或161220；（2）∵x＝10，得到的密码为101213，∴多项式x3+（m﹣n）x2+nx可分解为x（x+2）（x+3），∵x3+（m﹣n）x2+nx＝x[x2+（m﹣n）x+n]，∴x2+（m﹣n）x+n＝（x+2）（x+3）．∵（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，∴n＝6，m﹣n＝5，∴m＝11．∴m＝11，n＝6．18．（2021秋•江北区期末）阅读下列材料，解决后面两个问题：对于一个四位正整数（各数位上的数字都不为零），若将它的千位上的数字移到个位数字的后面，将得到一个新的四位正整数，则称新数为原数的“变形数”．例如：1234的“变形数”为2341，6789的“变形数”为7896．（1）请写出1999的“变形数”，并判断1999的“变形数”与它的差能否被9整除？说明理由．（2）任意一个四位正整数与其“变形数”的差都能被9整除吗？说明理由．【思路点拨】（1）根据“变形数”的定义可写1999的“变形数”，再求差即可判断；（2）设一个四位正整数的千位数字是x，百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c（其中x，a，b，c都是不为零的数字），分别表示这个数和它的“变形数”，再求差即可判断．【解题过程】（1）解：1999的“变形数“为9991，1999的“变形数”与它的差能被9整除，理由如下：它们的差9为9991﹣1999＝7992，∵7992＝888×9，∴它们的差能被9整除；（2）证明：任意一个四位正整数与其变形数的差都能被9整除，理由如下：设一个四位正整数的千位数字是x，百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c（其中x，a，b，c都是不为零的数字），则这个数为1000x+100a+10b+c，它的“变形数”为1000a+100b+10c+x，∴它们的差为：1000a+100b+10c+x﹣（1000x+100a+10b+c）＝1000a+100b+10c+x﹣1000x﹣100a﹣10b﹣c＝900a+90b+9c﹣999x＝9（100a+10b+c﹣111x），∵x，a，b，c都是不为零的数，∴9（100a+10b+c﹣111x）一定能够被9整除，∴任意一个四位正整数与其“变形数”的差都能被9整除．19．（2021春•当涂县期末）阅读下列材料：定义任意两个实数a，b，按规则p＝ab﹣a+b扩充得到一个新数p，称所得的新数p为a，b的“衍生数”．（1）若a＝2，b＝﹣3，则a，b的“衍生数”p＝﹣11．（2）若a＝﹣m﹣3，b＝m，求a，b的“衍生数”p的最大值．【思路点拨】（1）根据“衍生数”的定义，直接算出p即可；