数学例题与探究：4平面向量的数量积

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1若向量a、b、c满足a+b+c=0，且｜a|=3，｜b｜=1，｜c|=4.则a·b+b·c+a·c=_____________思路解析:本题可以利用数量积公式两边平方求解；也可由已知条件，先得出三个向量之间的两两夹角,再用数量积公式.方法一：∵a+b+c=0，∴（a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·∴2（a·b+b·c+a·c)=—（a2+b2+c2)=—(|a|2+｜b|2+|c|2）=-（32+12+42）=—26，∴a·b+b·c+a·c=-13。方法二：根据已知条件可知｜c|=|a｜+｜b｜，c=—a—b,所以a与b同向，c与a+b反向.所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3—4-12=—13.答案:—13绿色通道：方法一是将“(a+b）2=a2+2a·b＋b2"推广到（a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a变式训练已知｜a|=5，|b|=12,当且仅当m为何值时，向量a+mb与a-mb互相垂直?思路分析：（a+mb）⊥(a-mb）(a+mb）·(a-mb)=0.根据这一点可以很容易寻找到解题突破口.解：若向量a+mb与a—mb互相垂直，则有(a+mb）·(a—mb)=0.∴a2-m2b2=0.∵｜a|=5，|b|=12，∴a2=25,b2=144。∴25-144m2∴m=±。∴当且仅当m=±时,向量a+mb与a—mb互相垂直.例2(福建高考卷，理11)已知|｜=1,｜｜=,·=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°。设=m+n（m、n∈R），则等于（）A.B.3C.D.思路分析：本题可以利用向量的加法、实数与向量的积的坐标运算、向量数量积来解.深刻理解向量的运算，做到灵活运用，使解题简便.方法一：以直线OA、OB分别为x轴、y轴建立直角坐标系,则A（1，0)，B（0,）。设=λ(cos30°，sin30°)=（λ,λ）,另外=m+n=m（1,0)+n（0，）,得（λ，λ）=(m，n)方法二：=(m+n）2=m2+n2=m2+3n2，∴||=.由已知得∠BOC=60°，在等式=m+n（m、n∈R)两端同乘以,得·=m，∴m=|｜·|｜cos30°=m2=9n2.由题设知m＞0，n＞0，所以=3。答案：B黑色陷阱：对向量的坐标运算或向量数量积的运算不熟练，易导致难寻问题的切入口；有关向量的运算失误也易导致解答失误.变式训练（2006福建高考卷，文9）已知向量a与b的夹角为120°，｜a|=3，|a+b｜=，则|b｜等于（)A.5B。4C思路解析：向量a与b的夹角为120°，｜a|=3,｜a+b|=，a·b=｜a｜·|b|·cos120°=-|b｜，|a+b｜2=|a|2+2a·b+|b|2∴13=9—3｜b｜+|b｜2，则｜b｜=-1（舍去）或｜b｜=4.答案：B例3（福建高考卷,理12）对于直角坐标平面内的任意两点A（x1,y1），B（x2,y2），定义它们之间的一种“距离”：｜|AB||=|x2—x1|+｜y2-y1｜.给出下列三个命题：（1）若点C在线段AB上，则｜|AC||+｜｜CB｜｜=｜｜AB||；(2)在△ABC中，若∠C=90°,则｜｜AC｜｜2+｜｜CB||2=｜｜AB||2；（3）在△ABC中，|｜AC｜|+||CB｜｜＞||AB｜|。其中说法正确的个数为(）A.0B。1C思路解析：在坐标平面上取几个具体的符合条件的点并写出其坐标，进行观察、比较、分析、综合，不难确定命题的真假.不妨取直角坐标系中x非负半轴上的三点A（0,0),C(c,0),B（b，0)，0＜c＜b，由题设，可得||AC||+｜｜CB|｜=c+（b-c)=b=||AB|｜;另外在△ABC中，若∠C=90°，取C（0，0)，B（1，0），A(0，2），则|｜AC|｜=2，｜|BC｜｜=1，|｜AB｜|=3,但｜｜AC|｜2+|｜CB｜｜2≠｜｜AB｜|2，且||AC｜|+｜｜CB||=｜|AB|｜.所以(2)与（3）都不正确.答案：B黑色陷阱:对题设理解不够准确，易导致运算(操作）上的失误.对平面上两点之间的距离的全新定义，易引起考生理解上的困难，这时更需要独立思考与一定的创新意识.变式训练（2006陕西高考卷，理9）已知非零向量与满足()·=0且=，则△ABC为（）A。三边均不相等的三角形B.直角三角形C。等腰非等边三角形D。等边三角形思路解析：非零向量与满足(）·=0，即角A的平分线垂直于BC,∴AB=AC。又cosA==,∴∠A=，所以△ABC为等边三角形.答案:D问题探究问题1任给8个非零实数a1,a2,…，a8，试探究下列六个数a1a3+a2a4，a1a5+a2a6,a1a7+a2a8，a3a5+a4a6,a3a7+a导思：观察六个数有共同的形式且与向量的数量积有关,思考时可借助向量作解题尝试，本题通过构造四个向量，然后利用向量之间的位置关系，运用向量的数量积坐标运算解决问题。探究:在直角坐标系xOy中，构造向量、、、，它们的坐标分别为（a1，a2）、(a3，a4）、（a5，a6)、(a7,a8).显然，平面上四个向量两两所成的角中至少有一个不超过90°，不妨设和的夹角不大于90°，则cos〈,>=≥0,∴a1a3+a2a问题2是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?导思：本题是一个探索性问题，解决本题关键在于构造一个正三角形及其内切圆，得到四个向量，这也是本题的难点.然后利用向量之间的关系，运用数量积的运算律论证+与+垂直。探究：如图