2024-2025学年江苏省扬州市江都区某中学高三毕业班线上模拟考试试题（含解析）

2024-2025学年江苏省扬州市江都区大桥高级中学高三毕业班线上模拟考试试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i为虚数单位，复数z=（l+z）（2+z）,则其共朝复数、（）

A.l+3zB.l-3zC.-1+3/D.-l-3z

2.已知正方体AB。-AgGR的棱长为1,平面a与此正方体相交.对于实数如果正方体

ABCD-A4Gq的八个顶点中恰好有根个点到平面夕的距离等于d,那么下列结论中，一定正确的是

A.mw6B.m于5

C.D.HZW3

3.已知x>0,y>0,x+2y=3,则三土包的最小值为（）

孙

A.3-242B.20+1C.V2-1D.72+1

4.已知函数/（x）="—皿根〉0,且mwl）的图象经过第一、二、四象限，则a="（、历）|,6=/4，,C=|/（O）|

I）

的大小关系为（）

A.c<b<aB.c<a<b

C.a<b<cD.b<a<c

5.金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，”……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋

味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混

合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（）

A.20B.24C.25D.26

22

6.已知双曲线C:二-2=1（。>0,6>0）的焦距为2c,过左焦点6作斜率为1的直线交双曲线C的右支于点尸，若线

ab

段P片的中点在圆0：必+丁2=02上，则该双曲线的离心率为（）

A.V2B.2&C.V2+1D.272+1

7.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）

A.C.D.

65

8.已知i为虚数单位，实数x。满足（x+2）=y—i,贝！||x—yi|=（）

A.1B.V2C.73D.75

9.已知函数/（x）=半上.下列命题：①函数f（x）的图象关于原点对称；②函数/（X）是周期函数；③当尤=£时,

函数/■（》）取最大值；④函数/（X）的图象与函数y=，的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（）

X

A.①④B.②③C.①③④D.①②④

10.函数___的图象可能是下列哪一个？（）

二《二：=sml二二।二一丁

11.已知AA3C中，忸。|=2,343。=一2.点P为BC边上的动点，则PC«P4+P3+PC)的最小值为()

325

A.2B.----C.—2D・------

412

12.已知函数了(%)=3九+2cosx,若a=/(3^),b=/(2),c=/(log27),则用b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.抛物线＞=4必的焦点E到准线/的距离为.

14.如图，在ABC中，已知A3=3,AC=2,ABAC=120°,。为边的中点.若CELAD,垂足为E,

则E9EC的值为一.

15.在AABC中，已知AB.AC+254-BC=3CA-C8，贝！IcosC的最小值是.

16.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖腌，如图，在鳖腌P-A5C中，平面ABC,

ABLBC,且AP=AC=4,过A点分别作于点E,APLPC于点厂，连接所，则三棱锥P—A所的

体积的最大值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知直线人丁=%+人与抛物线。：：/=2/5〉0）切于点2，直线/2：2x——根+1=0过定点0,

且抛物线C上的点到点Q的距离与其到准线距离之和的最小值为巫.

2

（1）求抛物线C的方程及点P的坐标；

（2）设直线4与抛物线C交于（异于点P）两个不同的点A、B,直线协，的斜率分别为匕、k2,那么是否存在实

数X,使得左+右=几？若存在，求出彳的值；若不存在，请说明理由.

18.（12分）在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,4c.已知tanA,tan8,tanC成等差数列，

cosA,VcosC,cosB成等比数列.

（1）求A的值；

（2）若ABC的面积为1,求。的值.

19.（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切.

（1）求圆的方程；

(2)设直线ax-y+5=0(a>0)与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围；

(3)在(2)的条件下，是否存在实数°,使得弦A5的垂直平分线/过点尸(-2,4),若存在，求出实数a的值;

若不存在，请说明理由.

20.(12分)设X,y,ZGR，z(x+2y)=m.

(1)若V+2y2+3z2的最小值为4,求加的值；

(2)若必+49+gz?21,证明：mW—1或

21.(12分)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且向量加=(2a-c,6)与向量〃=(cosC,cosB)共线.

(1)求5；

(2)若b=35，。=3,且AD=2DC，求3。的长度.

22

22.(10分)已知椭圆：C:二+4=l(a〉b〉0)的四个顶点围成的四边形的面积为2/，原点到直线二+2=1的

abab

距离为典.

4

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知定点P(0,2),是否存在过P的直线/,使/与椭圆。交于A,B两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C的左

顶点？若存在，求出/的方程：若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

先根据复数的乘法计算出z,然后再根据共辗复数的概念直接写出I即可.

【详解】

由z=（l+z）（2+z）=l+3z\所以其共朝复数』=1—33

故选:B.

本题考查复数的乘法运算以及共轨复数的概念，难度较易.

2.B

【解析】

此题画出正方体模型即可快速判断机的取值.

【详解】

如图（1）恰好有3个点到平面戊的距离为d；如图（2）恰好有4个点到平面e的距离为d；如图（3）恰好有6个

点到平面a的距离为d.

所以本题答案为B.

AR.

,96

（1）（2）（3）

本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系,考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力

和知识方法的迁移能力，属于难题.

3.B

【解析】

八3-2+（x+2y）—+[+2]+21

--=1+2A/2，选B

盯xyyx土

y%

4.C

【解析】

根据题意，得0<加<1,/(1)=0,则/'(X)为减函数，从而得出函数|/(x)|的单调性，可比较。和6,而

c=l/(O)|=l-m,比较/(0)"(2),即可比较”,4c.

【详解】

因为/(x)=m工—根(根>0,且加/1)的图象经过第一、二、四象限，

所以0(加<1,/(1)=0,

所以函数为减函数，函数l/(x)I在(-8,1)上单调递减，在(l,y)上单调递增，

133

又因为1<6=25<48=2玉<2，

所以a<b,

又c=1/(。)1=1一"，"(2)|=nr-m,

则1"(2)|-"(0)|=疗—1<0，

即"(2)|<"(0)],

所以。<b<c.

故选：C.

本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.

5.D

【解析】

利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为C；+C：+C；+C；,再利用组合数的计算公式可得所求的种数.

【详解】

混合后可以组成的所有不同的滋味种数为C>C>C/+Cf=20+5+1=26(种)，

故选：D.

本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.

6.C

【解析】

设线段P6的中点为4,判断出A点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率.

【详解】

设线段「耳的中点为A，由于直线£尸的斜率是1，而圆O:/+y2=c2,所以4(0,C).由于。是线段月月的中点,

所以|Pg|=2|Q4|=2c，而|PK|=2|AE|=2x夜c=2后c,根据双曲线的定义可知户周―归闾=2。，即

c2

2A/2C-2c=2a‘即片运三V2+1.

本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档

题.

7.D

【解析】

截去部分是正方体的一个角，其体积是正方体体积的,，剩余部分体积是正方体体积的所以截

66

去部分体积与剩余部分体积的比值为L,故选D.

考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.

8.D

【解析】

x=-l

(x+20Z=y-i,:.-2+xi=<

y=-2

则以一词=卜1+24=占

故选D.

9.A

【解析】

根据奇偶性的定义可判断出①正确；由周期函数特点知②错误；函数定义域为H，最值点即为极值点，由

知③错误；令g(x)=/(x)-L在％>0和x<0两种情况下知g(x)均无零点,知④正确.

【详解】

由题意得：/(%)定义域为人，

〃T)==—^"T=一/(『)，，/(龙)为奇函数，图象关于原点对称，①正确；

(/-%):+1：%+17

，y=sinx为周期函数，y=三+1不是周期函数，，/(九)不是周期函数，②错误；

/、(2+l)cosx-2xsinx(什、(八

/(%)-X『1)2'"图，。’"(j)不是最值

,③错误；

1

人1^1smx-x——

XX+1XX+1

当x>0时，sinx<x—>0,g(x)<0,此时/(x)与y无交片

9X%

当x<0时，sinx>x,—<0,/.g(%)>0,此时与y无交点

XX

综上所述：“X)与y=g无交点，④正确.

故选：A.

本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的

求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求.

10.A

【解析】

由排除选项-；排除选项-；由函数-，…二)有无数个零点，排除选项匚，从而可得结果.

二(9=二一>0-(-i)=-z-j<0<

【详解】

由，可排除选项可排除选项由□(口)=。可得__:--=»a-Q.neoi>

二传=二4>。二-二」

即函数二：匚）有无数个零点，可排除选项二，故选A.

本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特

点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、

单调性、奇偶性、特殊点以及二T.匚一夕,二一+£二_工时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的

选项一一排除.

11.D

【解析】

以的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得5（—1,O）,C（1,O）,设P（a,O）,A（x,y）,运用向量的坐标表示，

求得点A的轨迹，进而得到关于a的二次函数，可得最小值.

【详解】

以的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，

可得B（-l,0）,C（l,0）,设尸（a,0）,A（x,y）,

由=—2，

可得(x+1,y)•(2,0)=2x+2=—2,即尤=—2,y/0,

贝|JPC.(_PA+P3+PC)=(1-a,0).(x-a-1-a+1-a,y+O+O)

=(1__3a)=(1—Q)(—2—3a)=3o—a—2

1./\?5

当。=—时，pg.PA+P3+PC的最小值为—上.

6''12

故选D.

本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题.

12.D

【解析】

根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得/（X）在R上为增函数，又由

2=log24<log27<3<3^,分析可得答案.

【详解】

解：根据题意，函数/（九）=3九+2COS光，其导数函数1（x）=3-2sinx,

则有f'（x）=3-2sinx>0在R上恒成立，

则/（X）在R上为增函数；

又由2=log24<log27<3<3^,

则b<c<a；

故选：D.

本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

8

【解析】

试题分析：由题意得，因为抛物线>=4必，即f=；y,.•..=!，即焦点F到准线/的距离为1.

考点：抛物线的性质.

,,27

14.

7

【解析】

EB•EC=（EA+AB}EC=AB•EC=（AD+DB）.EC=CD•EC=-EC?,

由余弦定理，得不。=，9+4—2x3x2xcosl20，

「4+19-92^9,3日,

得cosC二----

4V19

所以“=一二，所以EB-EC=——.

S7

点睛：本题考查平面向量的综合应用.本题中存在垂直关系，所以在线性表示的过程中充分利用垂直关系，得到

EBEC=-EC?，所以本题转化为求CE长度，利用余弦定理和面积公式求解即可.

15亚

3

【解析】

分析：可先用向量的数量积公式将原式变形为：bccosA+2accosB=3abcosC,然后再结合余弦定理整理为

/+2/=3。2,再由cosC的余弦定理得到a,b的关系式，最后利用基本不等式求解即可.

详解：已知4。+2区4・5。=3。1・。_5，becosA+2accosB=3abcosC,将角A,B,C的余弦定理代入得

221/2/T-

a2+lb2=3c\由厂a~+b2-c~§/+丁、夜，当a=b时取到等号，故cosC的最小值为土.

COSC=----------------=—----------->——Q

2ab2ab3

点睛：考查向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用，能正确转化48.4。+2区4・8。=3。1・。8是解题关

键.属于中档题.

472

lfib.----

3

【解析】

由已知可得AAERAPE尸均为直角三角形，且4尸=2百，由基本不等式可得当AE=EP=2时，△AEF的面积最大,

然后由棱锥体积公式可求得体积最大值.

【详解】

由阴_L平面ABC,得E4_L8C,

5LAB1BC,且所AB=A,PAB,贝!J8C_LAE,

5LPBLAE,贝UAE_L平面PBC,

于是AE_LEF,S.AELPC,结合条件AF_LPC,得PC_L平面AEF,

:.△AEF、△PEP均为直角三角形，由已知得AF=2后，

而SAAEF='义AE义E/74』(AE2+EF2)=—AF2=2,

244

当且仅当AE=EF=2时，取“="，此时AAEP的面积最大，

三棱锥P-AEF的体积的最大值为：

迎四JxPCS.但」义2行义2=逑.

333

故答案为逑

3

本题主要考查直线与平面垂直的判定，基本不等式的应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属

于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)y2=4x,(1,2)；(2)存在，-

3

【解析】

(1)由直线恒过点点及抛物线c上的点到点。的距离与到准线的距离之和的最小值为巫，求出抛物线的方程,

2

再由直线人与抛物线相切，即可求得切点的坐标；

(2)直线乙与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，求得直线B4,尸8的斜率，求出斜率之和为定值，即存在实数2

使得斜率之和为定值.

【详解】

(1)由题意，直线变为2x+l-m(2y+l)=0,所以定点。的坐标为-g,-；

抛物线C:y"=2px(p>0)的焦点坐标歹1-I",0

由抛物线C上的点到点。的距离与到其焦点F的距离之和的最小值为芈,

可得|。叫=,解得P=2或夕=—4(舍去),

故抛物线C的方程为V=4x

y=x+b.,

又由<2,消去y得V+23—2)x+/=0,

[K=4%

因为直线人与抛物线C相切，所以心以。—2)丁—44=0,解得b=l,

此时x=l,所以点P坐标为(1,2)

(2)设存在满足条件的实数X,点4(%,%),3(々,为)，

2x-2my-m+l=0,

联立《2，消去x得y-4根y-2nz+2=0,

y=4x

则％+为=4〃7,=2-2m,

依题意，可得△=(4根y-4(2-2加)〉0,解得加＜-1或机〉:，

由(1)知尸(1,2),

k=X-2=_____M-2______2(yt-2)

2m+m3

可得玉「I_l(2my1+m-l)-l-^-'

同理可得左2=2吵LL3

g、12_2(%—2)2(%-2)_2[4/叫%-3(m+1)(%+%)-4(m-3)]

所y»A-I-Zy

2my{+m-32my2+m-34my1y2+2m(m-3)(yl+y2)+(m-3)

_2[4m(2-2m)-3(m+l)4m-4(m-3)]_8(-5疗-2m+3)_8

4m2(2-2m)+2m(m-3)4m+(m-3)23(-5疗-2m+3)3

Q

故存在实数满足条件.

3

本题主要考查抛物线方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物

线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较

好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

18.(1)A=—；(2).

【解析】

⑴根据口砒切瓦切”。成等差数列与三角形内角和可知3iC=Ta〃(A+5),再利用两角和的正切公式，代入

2tanB=tanA+化简可得2tanAtan3—tan2A=3，同理根据三角形内角和与余弦的两角和公式与等比数列的

性质可求得以7必34=2,联立即可求解求A的值.

(2)由(1)可知tanB=2,tanC=3，再根据同角三角函数的关系与正弦定理可求得6=述。,再结合，ABC的面积为1,

3

利用面积公式求解即可.

【详解】

解：⑴tanA.tanB.tanC成等差数列，

可得2tanB=tanA+tanC,

■「/A八\tanA+tanB口「八八tanA+tanB0寸八〜口

而tanC=-tan(A+B)=---------------，即2tanB-tanA4=-----------------，展开化间得

tanAtanB-1tanAtanB-l

2tanAtan2B-2tanB-tan2Atan3=tan5,因为tan5w0,故

2tanAtanB-tan?A=3①

又cosA,JcosC,cosB成等比数列，

可得cosAcosB=cosC=~cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB,

即sinAsinB=2cosAcosB,

可得tanAtanB=2,②

联立①②解得勿九4=1(负的舍去),

7T

可得锐角4=:；

4

（2）由⑴可得tanB=2,tanC=3,

,-r\

由318=空一=2.4B+CO/B=LB为锐角,

cos3

解得§加8=拽，

5

因为tanC=^-=3,sirrC+cos2c=1,C为锐角，故可得sinC=^-,

cosC10

2_

、,7csinBJ?2A/2

由正弦定理可得人=-^7=洋。=—^

smCJ3

Vio

又，ABC的面积为1,

―r4B17.12^2,2正=1,

可得一bcsmA=---------c2

2232

解得c=6.

本题主要考查了等差等比中项的运用以及正切的和差角公式以及同角三角函数关系等.同时也考查了正弦定理与面积公

式在解三角形中的运用,属于中档题.

53

19.(2)(x-2)2+y2=2.(2)(—,+8).(3)存在，ci=—

“124

【解析】

(2)设圆心为加，。)，根据相切得到回二TuS,计算得到答案.

5

(2)把直线〃x-y+5=0,代入圆的方程，计算△=4(5(2-2)2-4(d?+2)>0得到答案.

(3)/的方程为y=----(%+2)+4,即x+〃y+2-4〃=0,过点M(2,0),计算得到答案.

a

【详解】

(2)设圆心为0)(mez).由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5,

l4m-29l

所以J---------U5,即|4机-29|=2.因为加为整数，故机=2.

5

故所求圆的方程为(X-2)2+y2=2.

(2)把直线“x-y+5=0,即》="+5,代入圆的方程，消去y,

整理得(解+2)x2+2(5。-2)x+2—0,

由于直线ax-y+5=0交圆于A,B两点，故^=4(5a-2)2-4(a2+2)>0,

即22a2-5a>0,由于。>0,解得。〉工，所以实数。的取值范围是(+s).

1212

(3)设符合条件的实数。存在，则直线/的斜率为-工，

a

/的方程为y=(x+2)+4,BPx+ay+1-4a=0,

a

由于/垂直平分弦AB,故圆心M(2,0)必在/上，

33(5、3

所以2+0+2-4a=0,解得a=一.由于177r,+oo],故存在实数a=一

44U2J4

使得过点尸(-2,4)的直线/垂直平分弦AA

本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.

20.(1)2；(2)见解析

【解析】

(1)将x?+2y2+3z2化简为(x2+z2)+2(y2+z2),再利用基本不等式即可求出最小值为4,便可得出机的值；

(2)根据a?+Z?22,即2(a?+/)之(a+,得出x?+4y?+52?、5(x+2y)+—z2,利用基本不等式求

出最值，便可得出机的取值范围.

【详解】

解：(1)由题可知，X,y,ZeR,z(x+2y)=m

x2+2y2+3z2=(f+z,+2(y2+z2^j>2xz+4-yz=2m=4,

m=2.

(2)Va2+b2>2\ab\,

2(/+Z?2^>(6Z+Z?)2,

x2+4y2+~z22g(x+2y)2+gz?>■^■-2|(x+2y)z|>1,

/.|m|>1,即：切<一1或根N/.

本题考查基本不等式的应用，利用基本不等式和放缩法求最值，考查化简计算能力.

21.(1)B"(2)BD=M

【解析】

(1)根据共线得到(2a-c)cos6=385C,利用正弦定理化简得到答案.

--1

(2)根据余弦定理得到。=9,cosC=］万，再利用余弦定理计算得到答案.

【详解】

(1)*.*m=(2a—c,b)与〃=(cosC,cosB)共线，/.(2a—c)cosB=bcosC.

即(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,/.2sinAcosB=sin(B+C)=sinA

即sinA(2cos5—l)=0,sinAwO,「・cosB=—,Be(0,7r),

2

jr

(2)b=3币,a=3,B=3,在ABC中，由余弦定理得:

a2+c2-b29+C2-631

cosB=・•・C2-3C-54=0.

lac2x3xc2

则c=9或c=-6(舍去).