人教版初中九年级数学上册同步讲义-图形的旋转（解析版）

第01讲图形的旋转

学习目标

课程标准学习目标

1.理解掌握旋转的定义并能够判断生活中的旋转现

①旋转的定义及生活中的旋转现象象。

②旋转的性质2.掌握旋转的性质，并能够利用性质熟练解题。

③旋转作图3.掌握旋转作图的方法步骤，能够确定旋转中心，作

④旋转对称图形出旋转后的图形。

4,掌握旋转对称图形。

思维导图

知识点01旋转的概念

i.旋转的概念:

在平面内，把一个图形绕着某一个点。按照顺时针或逆时针旋转一定角度的图形变换叫做3^。点

o叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角，顺时针或逆时针叫做旋转方向。它们是旋转

的三要素。

2.旋转的相关概念:

如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点叫做对应点，如果图形上的线段AB经过旋

转变为点A'B',那么这两条线段叫做对应线段，如果图形上的/ABC经过旋转变为点/A'B，,

那么这两个角叫做对应角。

题型考点：①判断生活中的旋转现象。②旋转中心与对应点对应边的判断。

【即学即练1】

1.有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆

的运动；⑥荡秋千运动.其中属于旋转的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【解答】解：①高层公寓电梯的上升，是平移，故不符合要求：

②传送带的移动，是平移，故不符合要求；

③方向盘的转动，是旋转，故符合要求；

④风车的转动，是旋转，故符合要求；

⑤钟摆的运动，是旋转，故符合要求；

⑥荡秋千运动，是旋转，故符合要求；

故选：C.

【即学即练2】

2.如图，△/OB旋转到OB'的位置.若NAOA，=90°,则旋转中心是点，旋转角

是，点/的对应点是,线段N3的对应线段是,的对应角是,

/BOB'=.

B'

OA

【解答】解：由图形可得，旋转中心是点。，旋转角是N404,点/的对应点为4,线段的对应线

段为48',48的对应角为/⑶，ZBOB'=AOA'=90°.

故答案为：。、/A'CM、A'、A'B'、ZB'、90°.

【即学即练2】

3.如图，按顺时针旋转到△/£>£的位置,以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是（）

、R

A.点/是旋转中心，点3和点E是对应点

B.点。是旋转中心，点8和点。是对应点

C.点/是旋转中心,点C和点£是对应点

D.点D是旋转中心，点/和点D是对应点

【解答】解：：如图，△N8C按顺时针旋转到△/£>£的位置,

二点/是旋转中心，点2和点。是对应点，点。和点E是对应点.

故B,〃错误，C正确.

故选：C.

知识点02旋转的性质

1.旋转的性质：

①旋转前后的两个图形全等。所以对应边相等，对应角相等。

②对应点到旋转中心的距离相等。

③对应点与旋转中心的连线形成的夹角等于旋转角。

题型考点：①旋转的性质理解。②旋转的性质利用。

【即学即练1】

4.下列关于图形旋转的说法中，错误的是()

A.图形上各点旋转的角度相同

B.对应点到旋转中心距离相等

C.由旋转得到的图形也一定可以由平移得到

D.旋转不改变图形的大小、形状

【解答】解：4、图形上各点旋转的角度相同，本选项正确，不符合题意；

3、对应点到旋转中心距离相等，本选项正确，不符合题意；

C、由旋转得到的图形不一定可以由平移得到，本选项不正确，符合题意；

D.旋转不改变图形的大小、形状，本选项正确，不符合题意.

故选：C.

【即学即练2】

5.如图，△43C中，ZB=35°,NB4c=70°,将△A8C绕点/旋转逆时针旋转a度(0<a<180)后得

D

A.30°B.35°C.40°D.不能确定

【解答】解：-：ZB=35°,/BAC=70°,

/.ZC=180°-ZB-ZBAC=75°,

・・•将△45。绕点4旋转逆时针旋转a度(0<a<180)后得到△ZOE,点E恰好落在5C上，

*.AC=AE,NCAE=a,

:・/AEC=/C=75°,

・・・NC4£=a=180°-AAEC-ZC=30°,

故选：A.

【即学即练3】

6.如图.中，ZC=90°,BC=3,AC=4f将△Z5C绕点5逆时针旋转得△/，BC',若点

AB22

=VAC+BC=V42+32=5，

由旋转得：AC=A'C=4,BC=BC'=3,/C=NBCA'=90°,

・・・4C'=AB-BC'=5-3=2,ZACrA'=180°-NBC'A'=90°,

AA，2?

=VAC/+AC/2=722+42=2遥，

故答案为：2，^.

【即学即练4】

7.如图，边长为1的正方形/夙力绕点/逆时针旋转30°到正方形/夕CD',图中阴影部分的面积为

A.-1B.近C.1-近D.1-近

2334

【解答】解：如图，设/C与CD的交点为E,连接

在RtZX/夕E和RtZX/DE中，,

IAB'=AD

/.RtA^5,E2RtAADE(HL),

：.ZDAE=ZB'AE,

:旋转角为30°,

ZDAB'=60°,

AZDAE^—X60°=30°,

2

:.DE=\小区=立~,

33

...阴影部分的面积=1X1-2X(Lxixl)=1-叵.

233

故选：C.

D'

知识点03旋转作图

1.旋转作图的步骤:

①确定旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角。

②在原图中找到关键点，做出图形关键点旋转后的对应点。

③按照原图形连接各对应点。

题型考点：旋转作图。

【即学即练1】

8.已知：如图，四边形/BCD及一点P

求作：四边形B'CD',使得它是由四边形N3CD绕尸点顺时针旋转150。得到的.

【解答】解:

四边形HB'CD'就是所求的图形.

【即学即练2】

9.如图，△/BC绕点。旋转后，顶点N的对应点为,试确定旋转后的三角形.

知识点04旋转对称图形

1.平面直角坐标系中的旋转：

若一个图形绕着平面直角坐标系原点旋转90。，则对应点之间的坐标关系为：原横坐标的绝对值变为

对应点的纵坐标的绝对值，原纵坐标的绝对值变成对应点的横坐标的绝对值。坐标符号看坐标

所在象限。简称横变纵，纵边横，符号看象限。

当在平面直角坐标系中绕着某点旋转180°时，可利用中点坐标公式求解坐标。

2.旋转对称图形：

若一个图形绕着某点旋转一定的角度能够与原图形完全重合，这样的图形叫做旋转对称图形。

题型考点：①判断旋转对称图形的旋转角。②平面直角坐标系中的旋转

【即学即练11

10.下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重

合的是（

®®

A【解答】解：A、最小旋转角度=幽匚=120°；

3

B、最小旋转角度=3600=90。；

4

C、最小旋转角度=360°=。0。；

2

D、最小旋转角度=%二=72°；

5

综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是/.

故选：A.

【即学即练2】

11.如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数为

()

A.30°B.60°C.120°D.180°

【解答】解：正六边形被平分成六部分，

因而每部分被分成的圆心角是60°,

因而旋转60度的整数倍，就可以与自身重合.

则a最小值为60度.

故选：B.

【即学即练3】

12.如图，将△N3C先向上平移1个单位，再绕点尸按逆时针方向旋转90°,得到B'C,则点/

的对应点的坐标是()

C.(3,-2)D.(-1,4)

△HB'C即为所求,

则点4的对应点4,的坐标是（-1,4）.

故选：D.

【即学即练4】

13.如图，把图中的△ZBC经过一定的变换得到△%'B'C,如果图中△45。上的点尸的坐标为（a,b）,

)

C.(~a-2f-b)D.(Q+2,-b)

【解答】解：由图可知，4ABe与MB'C关于点（-1,0）成中心对称,

设点尸/的坐标为（％,V）,

所以，空区=-1,也=0,

22

解得x=-2,y=-b,

所以，P'(-a-29-6).

故选：C.

题型精讲

题型01生活中的旋转现象

【典例1】

下列运动属于旋转的是（）

A.滚动过程中的篮球的滚动

B.钟表的钟摆的摆动

C.气球升空的运动

D.一个图形沿某直线对折的过程

【解答】解：/、滚动过程中的篮球属于滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属旋转;

8、钟表的钟摆的摆动，符合旋转变换的定义，属于旋转；

C、气球升空的运动是平移，不属于旋转；

。、一个图形沿某直线对折的过程是轴对称，不属于旋转.

故选：B.

【典例2】

下列现象属于旋转的是（）

A.摩托车在急刹车时向前滑动

B.飞机起飞后冲向空中的过程

C.幸运大转盘转动的过程

D.笔直的铁轨上飞驰而过的火车

【解答】解：/、摩托车在急刹车时向前滑动是平移，故此选项错误；

8、飞机起飞后冲向空中的过程是平移，故此选项错误；

C、幸运大转盘转动的过程是旋转，故此选项正确；

。、笔直的铁轨上飞驰而过的火车是平移，故此选项错误；

故选：C.

题型02利用旋转求角度

【典例1】

如图，把△NBC绕C点顺时针旋转35°,得到△/'B'C,A'B'交NC于点。，若NH。。=90°,则

//=_________

【解答】解：绕着点C顺时针旋转35°,得到△，'B'C,

：.AACA'=35°,

又；NADC=90°,

：.ZA'=55°,

:的对应角是N/',即//=//',

，//=55°；

故答案为：55.

【典例2】

如图，将△/BC绕点C顺时针旋转，点2的对应点为点£,点/的对应点为点。，当点E恰好落在边/C

上时，连接4D,若//CB=30°,则/£UC的度数是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

【解答】解：由题意知△NBCgZVJEC,

则NNC3=NDCE=30°,AC=DC,

•.•Z—LJ/iCz-1--8-0--°------Z---D---C---A-_1--8--0--°-------3--0--°---_”/3。,

22

故选：D.

【典例3】

如图，△/BC中/比1C=100°,将△48C绕点/逆时针旋转150°,得到△4DE,这时点2、C、。恰好

在同一直线上，则NE的度数为（

【解答】解：•.,将△NBC绕点/逆时针旋转150°,得到

ZBAD=l50°,AD=AB,NE=/ACB,

■:点、B,C,。恰好在同一直线上，

.♦.△胡。是顶角为150°的等腰三角形，

NB=NBDA,

：.ZB=1.(180°-/BAD)=15°,

2

AZE=ZACB=l80°-ABAC-ZS=180°-100°-15°=65°,

故选：C.

【典例4】

如图，菱形/BCD,£是对角线NC上一点，将线段DB绕点£顺时针旋转角度2a,点。恰好落在8C边上

点尸处，则ND/8的度数为()

A.aB.90°-aC.180°-2aD.2a

【解答】解：如图，连接BE,

:四边形/2CO是菱形，

:.CD=BC,NDAB=NDCB,NACD=/ACB,

在△OCE和△BCE中，

'DC=BC

•ZDCE=ZBCE-

LCE=CE

:.△DCE"£BCECSAS),

：.DE=BE,ZEDC=ZEBC,

:将线段DE绕点E顺时针旋转角度2a,

：.DE=EF,/DEF=2a,

：.BE=DE=EF,

：.ZEBF=ZEFB,

：.NEDC=NEBC=NEFB,

VZEFB+ZEFC=1^°,

:.NEDC+NEFC=180°,

ZEDC+ZEFC+ZDEF+ZDCF=360°,

/.Z£>CF=180°-2a=ZDAB,

故选：C.

题型03利用旋转求线段

【典例1】

如图,将矩形/BCD绕点/顺时针旋转90°后，得到矩形/夕C»,如果C£>=2£U=2,那么CC'=.

【解答】解：由旋转的性质可知，ZCAC=90°,AC=AC',

RtZUCD中，由勾股定理得，

^C=VAD2+CD2=V12+22=V5,

在RtZ\C/C'中，由勾股定理得，

cc=VAC2+AC/2=VTO-

【典例2】

如图，在△43C中，4B=4,/C=3,NA4c=30°,将△43C绕点/按逆时针旋转60°得到△/囱。连接

BCi,则BCi的长为（）

【解答】解：根据旋转的定义和性质可得NCi=/C=3,NBiACi=NBAC=30°,ZBABi=60°.

所以Cl=90°.

所以在RtA^Ci中，利用勾股定理可得8G=JAB2+AC[2=V16+9=5.

故选：C.

【典例3】

如图，Rt443C中，NC=90°,BC=3,4c=4,将△43C绕点2逆时针旋转得BC',若点C'在

AB±.,则44,的长为（）

A.V13B.4C.2-75D.5

【解答】解：根据旋转可知：

NA'CB=ZC=90°,A'C=AC=4,AB=A'B,

根据勾股定理，得/8={BC2+AC2=在2+42=5,

.".A'B=AB=5,

：.AC'=AB-BC'=2,

在Rt444'C'中，根据勾股定理，得

AA'=VAC'2+AyC/2=722+42=2Vs-

故选：c.

【典例4】

已知等边△/BC的边长为8,点尸是边2。上的动点，将尸绕点/逆时针旋转60°得到△NC0,点D

是ZC边的中点，连接。。，则。。的最小值是（）

D.不能确定

【解答】解：如图，由旋转可得//CQ=/8=60°,

又•：NACB=6Q°,

AZBCQ=120°,

:点。是4C边的中点，

：.CD=4,

当时，D。的长最小,

此时，NCDQ=30°,

；.CQ=_1_CZ)=2,

"0=山2_22=2%,

的最小值是2我，

题型04旋转作图与坐标计算

【典例1】

作图：

(D如图甲,以点。为中心，把点尸顺时针旋转45°.

(2)如图乙，以点。为中心，把线段A8逆时针旋转90°.

(3)如图丙，以点。为中心，把△/2C顺时针旋转120°.

(4)如图丁，以点3为中心，把△/BC旋转180°.

【解答】解：(1)如图甲，点P为所求;

(2)如图乙，线段HB'为所求；

(3)如图丙，B'C为所求;

(4)如图丁，△/'BC为所求.

【典例2】

在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点叫格点，△N3C的三个顶点都在格点

上，在图中画出将△/8C绕点C按顺时针方向旋转90°后得到的△NEC.

【典例3】

如图，在直角坐标系中，已知菱形CU8C的顶点N(1,2),B(3,3).作菱形ON3C关于y轴的对称图形

ONE。，再作图形ON5C关于点。的中心对称图形CM"B"C",则点。的对应点C”的坐标是()

【解答】解：•••点C的坐标为(2,1),

...点C的坐标为(-2,1),

...点C〃的坐标的坐标为(2,-1),

故选：A.

【典例4】

如图，在平面直角坐标系中，点N(-1,0)与点8关于y轴对称，现将图中的“月牙①”绕点5顺时针

【解答】解：如图，连接HB,

:点4(-1,0)与点8关于y轴对称，

:.点B(1,0),

：.AB=2,

:月牙①绕点3顺时针旋转90°得到月牙②,

：.A'2_Lx轴，A'B=AB,

：.A'的坐标为(1,2).

【典例5】

如图，将线段42绕点。顺时针旋转90°得到线段卬"，那么-2,5)的对应点的坐标是()

【解答】解：作轴于点。，作/'D'轴于点£>',

贝|JOD=HD',AD=OD',OA=OA',

：.AOAD^/\ArOD'(SSS),

U：A(-2,5),

：・0D=2,AD=5f

二点H的坐标为(5,2),

故选：A.

【典例6】

如图1,已知△48C三个顶点的坐标分别是/(-3,1),3(-1,-1),C(-2,2).

(1)画出△/2C关于y轴对称的△/出C1，并写出点出，Bi,Ci的坐标；

(2)画出△/2C绕点2逆时针旋转90°所得到的△/2比。2.

【解答】解：(1)如图所示：Ai(3,0),Bi(1,-1),Ci(2,2)；

(2)如图所示：

【典例7】

如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△NBC的三个顶点的坐标分别为/(-1,

3),5(-4,0),C(0,0)

(1)画出将△43C向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△/1历。1；

(2)画出将△/2C绕原点。顺时针方向旋转90°得到△/再2。；

(3)在x轴上存在一点尸，满足点P到小与点出距离之和最小，请直接写出P点的坐标.

【解答】解：(1)如图所示，△NbBiCi为所求做的三角形;

(2)如图所示，为所求做的三角形;

(3)作出点关于x轴的对称点出，

二出坐标为(4,-4),

又「山坐标为(3,1),

；./乂3所在直线的解析式为：y=-5x+16,

令y=0,贝

题型05旋转对称图形

【典例1】

【解答】解：/、360°+5=72°,旋转72°的整数倍即可与原图形重合，是旋转对称图形，故本选项

正确；

3、不是旋转对称图形，故本选项错误；

C、360°4-8=45°,旋转45°的整数倍即可与原图形重合，是旋转对称图形，故本选项正确；

D、3600+4=90°,旋转90°的整数倍即可与原图形重合，是旋转对称图形，故本选项正确.

故选：B.

【典例2】

如图所示的图案绕旋转中心旋转后能够与自身重合，那么它的旋转角可能是（）

A.60°B.90°C.72°D.120°

【解答】解：该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°,

并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合.

故选：C.

【典例3】

数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心。旋转多少度后和它自身重合？甲同学说:

45。；乙同学说：60°；丙同学说：90。；丁同学说：135°.以上四位同学的回答中，错误的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【解答】解：圆被平分成八部分，旋转45°的整数倍，就可以与自身重合，因而甲，丙，丁都正确；错

误的是乙.

故选：B.

【典例4】

点。是正五边形/8CDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如

图）.这个图案绕点。至少旋转°后能与原来的图案互相重合.

【解答】解：连接。4OE,则这个图形至少旋转//OE才能与原图象重合，⑨⑨

ZAOE^——=72°.

5

故答案为：72.

强化训练

1.下列现象中是旋转的是（

A.雪橇在雪地上滑行B.抽屉来回运动

C.电梯的上下移动D.汽车方向盘的转动

【解答】解：/、雪橇在雪地上滑行不是旋转，故此选项错误；

B,抽屉来回运动是平移，故此选项错误；

C、电梯的上下移动是平移，故此选项错误；

D,汽车方向盘的转动是旋转，故此选项正确；

故选：D.

2.将△/。2绕点。旋转180°得到则下列作图正确的是（）

【解答】解：与△■DOE关于点。中心对称的只有。选项.

故选：D.

3.如图，将△043绕点。逆时针旋转80°,得到△OCD,若//=2/。=100°,则Na的度数是（

A.50°B.60°C.40°D.30°

【解答】解：：将△0/5绕点。逆时针旋转80°

:./N=NC,ZAOC=80°

：.ZDOC^SQ0-a

'：乙4=2/。=100°

ZD=50°

'：ZC+ZD+ZDOC=180°

.•.100°+50°+80°-a=180°解得a=50°

故选：A.

4.如图，在△/C8中，ZC=90°,Z5=60°,BC=\,△NC8绕点/顺时针旋转90°,得到△/£>£,

点、B,E之间的距离为（）

A.2B.遍C.2V2D.3

【解答】解：连接5E,

"：BC=\,ZC=90°,Z5=60°,

AB—2BC=2,

由旋转可知：ZBAE=90°,AE=AB=2,

BE=VA?+AB2=2V2>

故选：C.

5.如图，在平面直角坐标系中，点/的坐标为（-2,3）,将点/绕原点。逆时针方向旋转90°得到点8,

则点2的坐标为（

B.(-3,-2)C.(2,3)D.(3,2)

【解答】解：过月点作NDLy轴，过3点作轴,

3),

：.AD=2,OD=3,

VZAOB=90°，

：.ZAOD+ZAOE=90°,

ZBOE+ZAOE=90°,

JNAOD=NBOE,

•：OA=OB,

在△40。和△BOE中，

<ZADO=ZBEO

<ZAOD=ZBOE，

OA=OB

:.XAODQXBOE(AAS)f

:・OE=OD=3,OA=OD=3

・,•点5的坐标为(-3,-2),

故选：B.

6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点5在第二象限，点4在》轴正半轴上，ZAOB=ZB=30°,0A=

2.将△405绕点。顺时针旋转90°得到则点5的对应点E的坐标是()

A.(3,1)B.(3,V3)C.(V3,3)D.(-V3,3)

【解答】解：过点9作歹轴于C,如图所示：

AZB1OA=60°,OA=OB=2,

・・•将△405绕点0顺时针旋转90°得到△4。9,

：・/BOB'=90°,OA=OB=OA'=A'B'=2,

：.AByOA=ZOByAy=90°-N〃CM=30°,

・・・N5WC=N8CW+NO5N'=60°，

：.ZA^C=30°，

・・・HC=1,

.•.°C=4C+°/=3,B'C=NkB，2-k.2地2_12=后

二点2'的坐标为：(3,V3),

故选：B.

7.如图，在平面直角坐标系中，将正方形。42c绕点。逆时针旋转45°后得到正方形O4131C1,依此方

式，绕点。连续旋转2023次得到正方CM202382023c2023，如果点/的坐标为(1,0),那么比023的坐标

C.(^2,0)D.(-1,-1)

OA—1,

...四边形0/8C是正方形，

：.ZOAB=90°,AB=OA=1,

：.B(2,2),

连接05,如图：

由勾股定理得：0B=V/+12s

由旋转的性质得：0B=0B1=0B2=0B3="­­=V2,

•.•将正方形。/3。绕点。逆时针旋转45°后得到正方形ON/iCi，

相当于将线段05绕点。逆时针旋转45°,依次得到//。8=/8。31=/81。比=・“=45°,

Bi(0,V2),及(-1,1),B(-V2,0)，为(-1,-1).BR(0,&A&(L一1)，

B7(V2,0)，…，

发现是8次一循环，则2023+8=252…7,

点比023的坐标为(V210),

故选：B.

8.如图，点£为正方形48co内一点，ZAEB=90°,将Rt4/BE绕点3按顺时针方向旋转90°,得到

△CBG.延长NE交CG于点尸，连接。£.下列结论：@AFLCG,②四边形3EFG是正方形，③若

DA=DE,则CF=FG；其中正确的结论是（）

C.②③D.①③

【解答】解：设N尸交3C于K,如图:

:四边形是正方形，

:./ABK=90°,

:.NKAB+NAKB=90°,

•.•将绕点3按顺时针方向旋转90°,得到△CBG,

ZKAB=ZBCG,

'：NAKB=NCKF,

：.NBCG+/CKF=90°,

：./KFC=90°,

：.AF±CG,故①正确；

:将绕点3按顺时针方向旋转90°,

：./AEB=/CGB=90°,BE=BG,NE8G=90°,

又；NBEF=9Q°,

二四边形2£FG是矩形，

又,：BE=BG,

四边形是正方形，故②正确；

如图，过点。作MLdE于X,

；D4=DE,DHLAE,

：.AH=—AE,

2

AZADH+ZDAH=90°,

:四边形N2CD是正方形，

；.AD=AB,/DAB=90°,

/.ZDAH+ZEAB=90°,

?.NAD"ZEAB,

又；AD=4B,ZAHD=ZAEB=90°,

/./\ADH^^BAECAAS),

;.AH=BE=LAE,

2

•.•将绕点3按顺时针方向旋转90°,

：.AE=CG,

•.•四边形是正方形，

:.BE=GF,

：.GF=^CG,

2

：.CF=FG,故③正确；

・••正确的有：①②③，

故选：A.

9.如图，将△ZBC以点4为旋转中心逆时针旋转得到△，/)£,当点。在3C边上时，恰好有AE〃BC,若

：.ZC=ZE=40°,AB=AD,

'JAE//BC,

：.ZCAE=ZC=40°,

•；/BAD、NC4E均为旋转角,

AZBAD=ZCAE=40°，

U：AB=AD,

：.NB=ZADB=180°-/BAD=10°,

2

故答案为：40°,70°.

10.如图，△48C中，ZC=90°，4B=5,BC=3,将△/8C绕/点按顺时针旋转60°,得到C,

则CC'=.

【解答】解：:△48。中，ZC=90°,AB=5,BC=3,

AC=VAB2-BC2=4'

•将△NBC绕N点按顺时针旋转60。，得到△/夕C,

：.AC=AC',ZCAC'=60°,

：./\ACC'是等边三角形，

：.CC=4C=4,

故答案为：4.

11.如图，等边△48C中，8c=12,M是高Cff所在直线上的一个动点，连接儿必，将线段绕点3逆

时针旋转60°得到3N,连接HN.在点M运动过程中，线段HV长度的最小值是.

取5c的中点G,连接MG,

\•线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,

AZMBH+ZHBN=60°,

又是等边三角形，

/.ZABC=60°,

即乙团阳+NAffiC=60°,

,ZHBN=/GBM,

,**CH是等边三角形的高，

：.BH=—AB,

2

：.BH=BG,

又；BM旋转到BN,

：.BM=BN,

:AMBG沿△NBH(&4S),

：.MG=NH,

根据垂线段最短，当MGLCH时，MG最短，即最短，

此时4BCH=上乂60°=30°,

2

CG=Lc=工X12=6,

22

.•.”G=LG=3,

2

：.HN=3.

二线段HV长度的最小值是3.

故答案为：3.

12.如图，在△/BC中，ZC=90°,/B=30°,/C=4,点尸为45上一点，将线段总绕点P顺时针旋

转得线段尸。，点。在射线5c上，当尸。的垂直平分线经过△/3C一边中点时，心的长为.

【解答】解：：NC=90°,/B=30°,4c=4,

：.AB=S,BC=4近，

尸。的垂直平分线MN经过△48C一边中点，可分为以下三种情况：经过的中点。；经过ZC的中点

E-,经过3c的中点?

当MV经过4/的中点。时，交BC于点G,如图：BD卷AB=4,

：.PQ=PB,

：・/PQB=/B=30°,

・・•N。。。是△尸。的外角，

AZDPQ=ZB+ZPQB=60°,

•・・；W垂直平分PQ,

:・PD=QD,

•••△PQD是等边三角形，

:・PD=QP,

:・PD=PB,

・•・PB-|BD=2；

当跖V经过4C的中点E时，交5C于点G,如图：EC=yAC=2

AZEGQ=60°,

：.ZCEG=30°,

在RtzXECG中，EC=2,

•・•点G在MN上，

：.PG=QG,

：.ZPQB=ZQPG=30°,

・・・ZPGB是△尸。G的外角，

AZPGB=ZPQB+ZQPG=60°,

；・/GPB=90°，

：・PG工PB,

在Rt△尸G5中，BG吟仃,

PG[BG鸟%，

由勾股定理得：PB=VBG2-PG2=5;

当经过的中点尸时，交3c于点尸（G）,如图:BF=yBC=2V3，

同理可证：PGLPB,

在RtZ\PG8中，Z5=30°,BF=2愿，

：.PB=3.

综上：尸3的长为：2或5或3.

故答案为：2或3或5.

13.如图，在中，点E在3c边上，AE=AB,将线段/C绕/点旋转到/尸的位置，使得NC4P=

ZBAE,连接EF,EF与4c交于■点、G.

（1）求证：BC=EF；

（2）若//8C=64°,NACB=25°,求/4G