《线性代数》课件 第6章 矩阵运算法

第六章第六章

第一节主要学习内容矩阵的运算矩阵运算法求解线性方程组6.1矩阵运算

这一章主要介绍矩阵运算及矩阵运算法求解线性方程组.6.1矩阵运算一、引例某高校期中、期末考试有选择题、填空题、解答题三种类型的题，小王期中、期末考试答对选择题分别为10题、6题，答对填空题分别为3题、5题，答对解答题分别为6题、7题；小李期中、期末考试答对选择题分别为8题、4题，答对填空题分别为3题、2题，答对解答题分别为5题、6题.选择题每题2分，填空题每题3分，解答题每题8分.问：（1）他们两次考试各题型的分别答对了多少题？（2）他们期中、期末成绩分别为多少？（3）如果期中占40%，期末占60%，他们的总评成绩分别为多少？小王、小李在两次数学考试中答对题数如表6-1考试情况所示：

题型

答题数姓名期中期末选择题填空题解答题选择题填空题解答题小王1036657小李8354266.1矩阵运算思考：（1）如何用矩阵表示他们两次考试各题型的答对题数？（2）如何用矩阵表示他们期中、期末成绩？（3）如果期中占40%，期末占60%，如何用矩阵表示他们的总评成绩？6.1矩阵运算

二、矩阵的运算6.1矩阵运算

现实生活中的许多问题都可以转化为相应的矩阵问题来处理，矩阵加减法、数乘、乘法、转置、矩阵的逆等运算不仅符合数学逻辑，而且在现实生活中都有其实际意义.6.1矩阵运算

图6-1矩阵加法

6.1矩阵运算

图6-1矩阵加法

所以矩阵加法的几何意义就是：它可以将两个向量组合并成一个新的向量组，这个新的向量组包含了原来两个向量组中的所有向量.6.1矩阵运算

当然，如果有更多的向量组合起来，可以形成这样的矩阵乘法.6.1矩阵运算

图6-2矩阵乘法6.1矩阵运算

图6-3筛子及筛眼四、矩阵的秩图6-2矩阵乘法6.1矩阵运算那么矩阵A的秩rank(A)可以看作筛眼的大小，R(A)越小对应的筛眼越小（忽略掉筛子的形状，下面用带网格的圆来表示筛子），如图6-4秩与筛子大小所示：图6-4秩与筛子大小

图6-5网格圆表示筛子6.1矩阵运算可以用带网格两个圆来表示这两个筛子，可以看到各自的筛眼大小不同，也就是各自的矩阵的秩不相同，如图6-6不同筛眼叠加所示：

当这两个筛子叠在一起的时候，叠加部分的筛眼变小了，比单独某一个筛子的筛眼要小,此时有rank(AB)<min(rank(A)，rank(B)).当然还有可能矩阵A，B的秩相同，筛眼大小相同，这时叠在一起时，叠加部分的筛眼等于其中某一个筛子的筛眼，如图6-7相同筛眼叠加所示，此时有rank(AB)=min(rank(A)，rank(B)).

综上所述：rank(AB)≤min(rank(A)，rank(B)).图6-6不同筛眼叠加图6-7相同筛眼叠加6.1矩阵运算五、矩阵的转置

产品原料（吨）

甲

乙9445310例6.1.1一个工厂生产甲、已两种产品，需用A，B，C三种原材料.如表6-2原材料需求表所示：表6-2原材料需求表6.1矩阵运算

6.1矩阵运算六、方阵的行列式

6.1矩阵运算

6.1矩阵运算

6.1矩阵运算七、矩阵的逆基于矩阵乘法和逆矩阵定义使用待定系数法求逆矩阵

6.1矩阵运算矩阵分块法求逆矩阵

6.1矩阵运算逆矩阵的几何意义：线性变换的“逆变换”

6.1矩阵运算

6.1矩阵运算逆矩阵的应用：矩阵编制Hill密码密码学在经济和军事方面都起着极其重要的作用.1929年，希尔（Hill）通过矩阵理论对传输信息进行加密处理，提出了在密码学史上有重要地位的希尔加密算法.下面我们介绍一下这种算法的基本思想.

6.1矩阵运算

6.1矩阵运算

在实际应用中，可以选择不同的可逆矩阵，不同的映射关系，也可以把字母对应的数字进行不同的排列得到不同的矩阵，这样就有多种加密和解密的方式，从而保证了传递信息的秘密性.上述例子是矩阵乘法与逆矩阵的应用，将数学与密码学紧密结合起来，运用数学知识破译密码，进而运用到军事等方面.6.2矩阵运算法求解线性方程组

6.2矩阵运算法求解线性方程组二、矩阵乘法、逆矩阵法求解线性方程组

6.2矩阵运算法求解线性方程组

6.2矩阵运算法求解线性方程组三、逆矩阵法求解线性方程组：图6-8逆矩阵法求解线性方程组设AX=B，A可逆，则X=A-1B，A-1(A，B)=(E，X)，即(A，B)行(E，X)，求解步骤如图6-8逆矩阵法求解线性方程组所示：6.2矩阵运算法求解线性方程组

6.2矩阵运算法求解线性方程组

6.2矩阵运算法求解线性方程组

6.2矩阵运算法求解线性方程组

6.2矩阵运算法求解线性方程组

6.2矩阵运算法求解线性方程组

四、应用拓展表6-3营养成分及单价表要求既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料方案.

饲料蛋白质（克）矿物质（克）维生素（毫克）价格（元/斤）1310.50.2220.510.736220.3410.50.80.4求最优问题例6.2.7

某动物园饲养动物，设每头动物每天需要300克蛋白质，90克矿物质，100毫克维生素.现有4种饲料可供使用，各种饲料每公斤营养成分含量及单价如表6-3营养成分及单价表所示：6.2矩阵运算法求解线性方程组

求