易错点05二次函数(原卷版+解析)

易错点05二次函数1.二次函数的定义与图像2.二次函数的性质3.二次函数图象与系数的关系4.二次函数图象上点的坐标特征5.二次函数图象与几何变换6．二次函数的最值7．待定系数法求二次函数解析式8．抛物线与x轴的交点9．二次函数与不等式（组）01二次函数的定义与图象：考虑要周全，注意二次项系数不能为0.1（2022•崆峒区校级二模）如果函数是二次函数，则的值为．1．（2022•莱西市一模）二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是A． B． C． D．2．（2022秋•黔东南州期中）如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是．3．（2022•福州模拟）下列关于的函数中，是二次函数的是A． B． C． D．02二次函数的性质：结合图像分析更快1.（2022•贺州二模）已知二次函数，当时，取得最小值为，则的值为A． B．0 C．1 D．21.（2022•云岩区一模）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是抛物线，，为常数，对称轴上的一个动点．若抛物线的对称轴上恰存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值为A．或 B．或0 C．或2 D．0或22．（2022•天元区校级模拟）已知点，，，，，均在抛物线其中．下列说法正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则3．（2022•汉阳区校级模拟）已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表：0234105225若、两点都在函数的图象上，则当满足时，A． B． C． D．03二次函数图象与系数的关系：考虑对称轴、3个系数，另外还有自变量的常用值。1．（2022•槐荫区一模）二次函数为常数，，当时二次函数的函数值恒小于4，则的取值范围为A． B． C．或 D．或1．（2022•凤翔县二模）二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如表：0141670则下列说法正确的是A． B．顶点坐标为C．该函数的图象与轴仅有一个交点 D．若点、在该二次函数图象上，则2．（2022•天津二模）已知抛物线，，均是不为0的常数）经过点．有如下结论：①若此抛物线过点，则；②若，则方程一定有一根；③点，，，在此抛物线上，若，则当时，，其中，正确结论的个数是A．0 B．1 C．2 D．33．（2022•龙湖区一模）如图是抛物线的部分图象，图象过点对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③的最大值为3；④方程有实数根；⑤．其中，正确结论的个数是A．1 B．2 C．3 D．404二次函数图象上点的坐标特征：结合图象解题1.（2022•江汉区模拟）若将双曲线向下平移3个单位后，交抛物线于点，则的取值范围是A． B． C． D．1．（2022•龙岩模拟）已知点，，，均在抛物线上，若，，则A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，2．（2022•临安区一模）已知点，，，为抛物线上两点，且，则下列说法正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则3．（2022•平谷区二模）在平面直角坐标系中，点、、是抛物线上三个点．（1）直接写出抛物线与轴的交点坐标；（2）当时，求的值；（3）当时，求的取值范围．0505二次函数图象与几何变换：上加下减、左加右减1．（2021•灞桥区模拟）将抛物线向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则所得到的抛物线的解析式为A． B． C． D．1．（2022•南岗区校级一模）把抛物线向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是A． B． C． D．2．（2020•河南模拟）关于的一元二次方程两根为，，则方程的两根为．06二次函数的最值：常用到配方法或顶点坐标1．（2022•涡阳县二模）如图，在菱形中，，，矩形的四个顶点分别在菱形的四边上，，则矩形的最大面积为A． B． C． D．1．（2022•锡山区校级二模）当时，二次函数的最小值为，则的值为A．2 B． C．2或 D．2或2．（2022•夏邑县模拟）如图，已知二次函数，当时，则函数的最小值和最大值A．和5 B．和5 C．和 D．和507待定系数法求二次函数解析式1．（2022•南通一模）已知抛物线经过点，当时，的最小值为．（1）求抛物线的解析式；（2）当时，的取值范围是，求的值．1．（2022•金水区校级模拟）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，点在一次函数的图象上．（1）若二次函数图象经过点，．①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；②当时，请直接写出与的大小关系；（2）若只有当时，满足，请求出此时二次函数的解析式．2．（2022•永嘉县三模）已知抛物线经过点，．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线交抛物线于点，．点在抛物线上且在直线下方（不与点，重合），设点横坐标为，纵坐标为，若，求的取值范围．3．（2022•盘龙区二模）如图，已知抛物线经过点和点，顶点为，点在对称轴上且位于点下方，将线段绕点按顺时针方向旋转，点恰好落在抛物线上的点处．（1）求这条抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）求线段的长．08抛物线与x轴的交点1.（2022•下城区校级二模）关于的二次函数与轴只有一个交点，下列正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则1．（2022•文登区一模）如图，点，点的坐标分别为，，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于，两点（点在点的左侧）．若点的横坐标的最大值为6，则点的横坐标的最小值为A． B．1 C． D．2．（2022•槐荫区一模）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表：01204664从表中可知，下列说法中正确的是A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线与轴的一个交点为 C．函数的最大值为6 D．在对称轴右侧，随增大而增大09二次函数与不等式（组）1．（2022•大冶市模拟）如图，二次函数的图象经过点，点，点，其中，下列结论：①，②，③方程有两个不相等的实数根，④不等式的解集为，其中正确结论的个数为A．1 B．2 C．3 D．41．（2022•牡丹江一模）如图，抛物线，其顶点坐标为，抛物线与轴的一个交点为，直线与抛物线交于，两点，下列结论：①，②，③方程有两个相等的实数根，④抛物线与轴的另一个交点是，⑤当时，有．其中正确结论的个数是A．5 B．4 C．3 D．22．（2022•宝应县一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是．一．选择题（共8小题）1．（2022•密云区二模）一辆经营长途运输的货车在高速公路某加油站加满油后匀速行驶，下表记录了该货车加满油之后油箱内剩余油量（升与行驶时间（小时）之间的相关对应数据，则与满足的函数关系是行驶时间（小时）0122.5剩余油量（升100806050A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系2．（2022•莱西市一模）二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是A． B． C． D．3．（2022•云岩区一模）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是抛物线，，为常数，对称轴上的一个动点．若抛物线的对称轴上恰存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值为A．或 B．或0 C．或2 D．0或24．（2022•槐荫区一模）二次函数为常数，，当时二次函数的函数值恒小于4，则的取值范围为A． B． C．或 D．或5．（2022•龙岩模拟）已知点，，，均在抛物线上，若，，则A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，6．（2022•夏邑县模拟）如图，已知二次函数，当时，则函数的最小值和最大值A．和5 B．和5 C．和 D．和57．（2022•下城区校级二模）关于的二次函数与轴只有一个交点，下列正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则8．（2022•牡丹江一模）如图，抛物线，其顶点坐标为，抛物线与轴的一个交点为，直线与抛物线交于，两点，下列结论：①，②，③方程有两个相等的实数根，④抛物线与轴的另一个交点是，⑤当时，有．其中正确结论的个数是A．5 B．4 C．3 D．2二．填空题（共2小题）9．（2019•东西湖区模拟）关于的一元二次方程两根为，，则方程的两根为．10．（2022•石家庄模拟）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点，为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为．（1）雕塑高的值是；（2）落水点，之间的距离是．三．解答题（共2小题）11．（2022•平谷区二模）在平面直角坐标系中，点、、是抛物线上三个点．（1）直接写出抛物线与轴的交点坐标；（2）当时，求的值；（3）当时，求的取值范围．12．（2022•永嘉县三模）已知抛物线经过点，．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线交抛物线于点，．点在抛物线上且在直线下方（不与点，重合），设点横坐标为，纵坐标为，若，求的取值范围．易错点05函数1.二次函数的定义与图像2.二次函数的性质3.二次函数图象与系数的关系4.二次函数图象上点的坐标特征5.二次函数图象与几何变换6．二次函数的最值7．待定系数法求二次函数解析式8．抛物线与x轴的交点9．二次函数与不等式（组）01二次函数的定义与图象：考虑要周全，注意二次项系数不能为0.1（2022•崆峒区校级二模）如果函数是二次函数，则的值为．【分析】根据二次函数的定义，可得且，然后进行计算即可解答．【解析】由题意得：且，或且，．故答案为：．1．（2022•莱西市一模）二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是A． B． C． D．【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致．【解答】、由二次函数可知，图象过原点，故本选项错误；、由二次函数可知，图象过原点，故本选项错误；、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项错误；、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项正确．故选：．2．（2022秋•黔东南州期中）如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是．【分析】由图可知，二次函数图象经过坐标原点，然后代入函数解析式进行计算即可求出的值，再根据抛物线开口向下求出的取值范围，从而得解．【解析】二次函数经过，，解得，，抛物线开口向下，，解得，．故答案为：．3．（2022•福州模拟）下列关于的函数中，是二次函数的是A． B． C． D．【分析】根据二次函数的定义，、、为常数，，判断即可．【解析】、，是二次函数，故符合题意；、，是一次函数，故不符合题意；、，不是二次函数，故不符合题意；、，不是二次函数，故不符合题意；故选：．02二次函数的性质：结合图像分析更快1.（2022•贺州二模）已知二次函数，当时，取得最小值为，则的值为A． B．0 C．1 D．2【分析】先求出二次函数图像的对称轴，再根据函数的增减性判断出当时，，代入函数关系式求出的值即可．【解析】二次函数，二次函数图像的对称轴为，，开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大，当时，即在对称轴左侧，取得最小值为，当时，，，解得：或（舍去），故的值为．故选：．1.（2022•云岩区一模）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是抛物线，，为常数，对称轴上的一个动点．若抛物线的对称轴上恰存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值为A．或 B．或0 C．或2 D．0或2【分析】由题意是直角三角形，当对称轴或时，可知一定存在两个以，为直角顶点的直角三角形，当对称轴或时，不存在满足条件的点，当以为直径的圆与抛物线的对称轴相切时，对称轴上存在1个以点为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，利用图象法求解即可．【解析】是直角三角形，当对称轴或时，一定存在两个以，为直角顶点的直角三角形，且点在对称轴上的直角三角形，当对称轴或时，不存在满足条件的点，当以为直径的圆与抛物线的对称轴相切时，对称轴上存在1个以为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形（如图所示）．观察图象可知，或4，或2．故选：．2．（2022•天元区校级模拟）已知点，，，，，均在抛物线其中．下列说法正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【分析】先将抛物线的解析式化为顶点式，然后得到函数的顶点即为点，再由的正负分情况讨论，得到之间的大小关系．【解析】，函数的顶点坐标为，即为点，当时，抛物线开口向下，则当越靠近3时，的值越大，当时，，当时，，当时，抛物线开口向上，则当越靠近3时，的值越小，当时，，故选项，无法确定，不符合题意；当时，是最小值，此时，开口向上，则当越靠近3时，的值越小，，故选项正确，符合题意．故选：．3．（2022•汉阳区校级模拟）已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表：0234105225若、两点都在函数的图象上，则当满足时，A． B． C． D．【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以求得满足什么条件时，．【解析】由表格可知，该函数图象开口向上，对称轴直线，、两点都在函数的图象上，，，解得，，故选：．03二次函数图象与系数的关系：考虑对称轴、3个系数，另外还有自变量的常用值。1．（2022•槐荫区一模）二次函数为常数，，当时二次函数的函数值恒小于4，则的取值范围为A． B． C．或 D．或【分析】分，两种情况讨论，当时，抛物线开口向上，再根据二次函数的对称轴为，且与轴交于这个点，可得当时，，代入二次函数解析式，形成关于的不等式，解之即可；当时，抛物线开口下，其顶点坐标为，根据题意可得，当时，函数值恒小于4，解关于的不等式即可．【解析】①当时，抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为，根据抛物线的对称性可得，点与关于对称轴对称．时，．，（不合题意）．时，，把，代入抛物线解析式得，，解得．的取值范围为．②当时，抛物线开口向下，抛物线的顶点为最高点，其坐标为．，，解得．的取值范围为．综上所述，的取值范围为或．故选：．1．（2022•凤翔县二模）二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如表：0141670则下列说法正确的是A． B．顶点坐标为C．该函数的图象与轴仅有一个交点 D．若点、在该二次函数图象上，则【分析】先求二次函数的解析式，再判断．【解析】将点，，代入得：，解得：，，，，抛物线的顶点坐标为．，不合题意．△，抛物线与轴有两个不同交点，不合题意．，，符合题意．故选：．2．（2022•天津二模）已知抛物线，，均是不为0的常数）经过点．有如下结论：①若此抛物线过点，则；②若，则方程一定有一根；③点，，，在此抛物线上，若，则当时，，其中，正确结论的个数是A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．【解析】抛物线经过点，，抛物线的对称轴为直线，，①正确．抛物线过点．，，，．方程可化为：，，，或，②正确．，抛物线开口向上，抛物线经过点．，，对称轴，当时，随的增大而减小，，③正确．故选：．3．（2022•龙湖区一模）如图是抛物线的部分图象，图象过点对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③的最大值为3；④方程有实数根；⑤．其中，正确结论的个数是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．【解析】抛物线开口向下，与轴交于正半轴，，，抛物线的对称轴为，且过点，，抛物线过点．，．①错误，②正确．抛物线开口向下，对称轴是直线，当时，有最大值，其值与有关，③错误．方程的根即是的图象与的交点，由图象知，的图象与的图象有两个交点．④正确．抛物线过点，，，，，⑤正确．故选：．04二次函数图象上点的坐标特征：结合图象解题1.（2022•江汉区模拟）若将双曲线向下平移3个单位后，交抛物线于点，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】根据题意可得出平移后的函数的解析式，由两个函数交于点可得出关于的方程，利用方程的根的正负关系可得出结论．【解析】双曲线向下平移3个单位后的函数为，交抛物线于点，，整理得，，令，且随的增大而增大．当时，，当时，，当时，，若，则的取值范围为：．故选：．1．（2022•龙岩模拟）已知点，，，均在抛物线上，若，，则A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，【分析】根据题意可知，抛物线对称轴是直线；再对的不同范围进行讨论，判断和的大小．【解答】解析：由抛物线得，故抛物线对称轴是直线．①当时，抛物线开口向上，，点比点距离对称轴更远，；②当时，抛物线开口向下，同理；当时，且，和的大小不确定．，都错误．③当时，此时开口向下，，点比点距离对称轴更远，．故选：．2．（2022•临安区一模）已知点，，，为抛物线上两点，且，则下列说法正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【分析】通过函数解析式求出抛物线的对称轴，分类讨论及时各选项求解．【解析】，抛物线对称轴为直线，，关于直线的对称点为，，若，由，，可得，当抛物线开口向上时，，选项错误．若，由，，可得，当抛物线开口向下时，，选项错误．若，当时，则，，抛物线开口向上，，当时，则，，抛物线开口向下，，选项正确．若，当时，，，抛物线开口向下，，选项错误．解法二：作差法，，，，，当时，则，，故选：．3．（2022•平谷区二模）在平面直角坐标系中，点、、是抛物线上三个点．（1）直接写出抛物线与轴的交点坐标；（2）当时，求的值；（3）当时，求的取值范围．【分析】（1）根据轴上点的坐标特征计算即可；（2）根据抛物线的对称轴是直线计算；（3）根据抛物线的对称性、二次函数图象上点的坐标特征列出不等式，解不等式得到答案．【解析】（1）对于，当时，，则抛物线与轴的交点坐标为；（2）当时，抛物线的对称轴为，，解得：；（3）当时，对称轴在的左侧，即，解得：，当时，，解得：，当时，．0505二次函数图象与几何变换：上加下减、左加右减1．（2021•灞桥区模拟）将抛物线向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则所得到的抛物线的解析式为A． B． C． D．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解析】将抛物线向左平移4个单位所得抛物线解析式为：；再向下平移2个单位后抛物线解析式为：．故选：．1．（2022•南岗区校级一模）把抛物线向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是A． B． C． D．【分析】易得原抛物线的顶点及平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项系数利用顶点式可得抛物线解析式．【解析】函数的顶点为，向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为，将函数的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为，故选：．2．（2020•河南模拟）关于的一元二次方程两根为，，则方程的两根为2或6．【分析】根据函数与方程的关系及函数平移的规律，变形要求的方程，利用平移规律可解．【解析】由方程得①方程①可看作左边是二次函数，右边是一次函数根据平移知识，可知方程①相当于关于的一元二次方程②，左右两边都向右平移3个单位而方程②的两根为，方程①的两根为，故答案为2或6．06二次函数的最值：常用到配方法或顶点坐标1．（2022•涡阳县二模）如图，在菱形中，，，矩形的四个顶点分别在菱形的四边上，，则矩形的最大面积为A． B． C． D．【分析】将矩形面积表示出来，再求最值．【解析】如图：连接，交于点，分别交，于点，．菱形中，，，是等边三角形，，．矩形，，，．，设，，．由勾股定理得：．．．，当时，矩形面积有最大值．故选：．1．（2022•锡山区校级二模）当时，二次函数的最小值为，则的值为A．2 B． C．2或 D．2或【分析】将二次函数化成顶点式，再求最值．【解析】．抛物线开口向上，对称轴为直线．当时，若时，随的增大而增大，当时，有最小值，，，不合题意，舍去．当时，，有最小值．．，，．当时，若，随的增大而减小．当时，有最小值．．．．不合题意，舍去．综上：．故选．2．（2022•夏邑县模拟）如图，已知二次函数，当时，则函数的最小值和最大值A．和5 B．和5 C．和 D．和5【分析】先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可．【解析】二次函数，对称轴是：，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，由图象可知：在内，时，有最大值，，时有最小值，是，故选：．07待定系数法求二次函数解析式1．（2022•南通一模）已知抛物线经过点，当时，的最小值为．（1）求抛物线的解析式；（2）当时，的取值范围是，求的值．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用二次函数的图象和性质，结合函数的图象分别计算对应的函数值，列出关于的方程，解方程即可得出结论．【解析】（1）抛物线经过点，，．，该抛物线的对称轴为直线．当时，的最小值为．当时，，解得：．；（2）由（1）知，抛物线为．当时，的取值范围是，不能取最小值，即，在对称轴的同侧．分两种情况讨论：①，即时，在对称轴左侧随的增大而减小，当时，，解得：或，当时，，解得：或，，．②时，在对称轴左侧随的增大而增大，当时，，整理得：．当时，，整理得：．与不一致，不合题意，舍去．综上所述，当时，的取值范围是时，．1．（2022•金水区校级模拟）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，点在一次函数的图象上．（1）若二次函数图象经过点，．①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；②当时，请直接写出与的大小关系；（2）若只有当时，满足，请求出此时二次函数的解析式．【分析】（1）①用待定系数法求二次函数的解析式，配成顶点式求出图象的顶点坐标；②根据二次函数的图象上点的坐标特征表示，，比较大小看差的结果；（2）根据二次函数的图象上点的坐标特征表示，，①当时，，②当时，，分两种情况讨论得出函数所经过的点的坐标，从而求出解析式．【解析】（1）①把，代入，得，，解得，二次函数的解析式，顶点坐标；②点在二次函数上，，点在一次函数的图象上，，，，，，；（2）点在二次函数的图象上，，点在一次函数的图象上，，，时，满足，①当时，，，②当时，，，的图象过，，，，二次函数的解析式：．2．（2022•永嘉县三模）已知抛物线经过点，．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线交抛物线于点，．点在抛物线上且在直线下方（不与点，重合），设点横坐标为，纵坐标为，若，求的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求得解析式，然后化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）分析函数图像，根据求得与的关系及的取值，将结果代入点，然后即可解得的值，最后根据函数图像的特征，即可完成求解．【解析】（1）把，代入，得，解得，抛物线的表达式为，配方得，顶点坐标为．（2），点在抛物线上且在直线下方（不与点，重合），直线交抛物线于点，，顶点坐标为，或，①时，，解得，，②时，，，，解得（舍去），或，，综上所述：．3．（2022•盘龙区二模）如图，已知抛物线经过点和点，顶点为，点在对称轴上且位于点下方，将线段绕点按顺时针方向旋转，点恰好落在抛物线上的点处．（1）求这条抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）求线段的长．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，再利用配方法求出顶点坐标．（2）利用（1）中点的坐标可得出抛物线的对称轴为，设，则，根据旋转性质得，，则代入得到关于的方程，从而解方程可得到的长．【解析】（1）把和代入，得，解得：，抛物线的解析式：，配成顶点式为：，顶点的坐标为：，（2）由（1）知：抛物线的对称轴为直线，设，则，线段绕点按顺时针方向旋转，点恰好落在抛物线上的点处，，，，将代入得，整理得：，解得：，（舍去）线段的长为2．08抛物线与x轴的交点1.（2022•下城区校级二模）关于的二次函数与轴只有一个交点，下列正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【分析】求二次函数与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，根据△，一元二次方程有两个相等的实数根，求出、的数量关系，再进一步求出的值，进而选出正确答案．【解析】关于的二次函数与轴只有一个交点，令，，，，，关于的二次函数，，，，，因为方程有两个相等的实数根，，解得，，，、当时，，，，，当，，，，，无法确定大小，、错误；当，，，，、错误；、正确；故选：．1．（2022•文登区一模）如图，点，点的坐标分别为，，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于，两点（点在点的左侧）．若点的横坐标的最大值为6，则点的横坐标的最小值为A． B．1 C． D．【分析】根据题意可以得到的值，的取值范围，再根据点的横坐标最大值为6，可以求得的值，从而可以求得点的横坐标最小值．【解析】点，的坐标分别为，，抛物线的顶点在线段上运动，，，又与轴交于，两点（点在点的左侧），点的横坐标最大值为6，当时，函数与轴的交点的横坐标是6，，得，当时，函数与轴的交点的坐标为，此时点的横坐标就是该函数与轴交点的横坐标最小值，即点的横坐标的最小值为．故选：．2．（2022•槐荫区一模）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表：01204664从表中可知，下列说法中正确的是A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线与轴的一个交点为 C．函数的最大值为6 D．在对称轴右侧，随增大而增大【分析】先利用待定系数法确定抛物线解析式为，利用函数的对称性可判定，；求得抛物线的对称轴为直线，可知函数的最大值不是6，由此判断；根据二次函数的性质可得出选项．【解析】设抛物线解析式为，把，，分别代入得，解得，抛物线解析式为，抛物线过点，，抛物线的对称轴为直线，故不正确，不符合题意；抛物线过点，抛物线与轴的一个交点为．故正确，符合题意．抛物线的最值在处取得，不是6，故不正确，不符合题意；，在对称轴右侧，随增大而减小，故不正确，不符合题意；故选：．09二次函数与不等式（组）1．（2022•大冶市模拟）如图，二次函数的图象经过点，点，点，其中，下列结论：①，②，③方程有两个不相等的实数根，④不等式的解集为，其中正确结论的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①利用点，点求出对称轴，然后利用判断即可；②把点代入中可得，再结合①中的结论即可解答；③利用直线与二次函数的图象的交点个数判断即可；④先求出函数的对称轴，再求出与轴的两个交点坐标即可解答．【解析】①二次函数的图象经过点，点，二次函数的图象的对称轴是直线：，，，，，，，，故①正确；②把点代入中可得：，，由①得：，，，，，故②正确；③由图可知：直线与二次函数的图象抛物线有两个交点，方程有两个不相等的实数根，故③正确；④二次函数的图象经过点，点，，二次函数的图象经过点，，，二次函数的对称轴为直线：，把代入二次函数中可得：，二次函数的图象与轴的交点为：，设二次函数的图象与轴的另一个交点为，，，不等式的解集为，不等式的解集为，二次函数的图象的对称轴是直线：，，，不等式的解集为，故④正确，所以：正确结论的个数有4个，故选：．1．（2022•牡丹江一模）如图，抛物线，其顶点坐标为，抛物线与轴的一个交点为，直线与抛物线交于，两点，下列结论：①，②，③方程有两个相等的实数根，④抛物线与轴的另一个交点是，⑤当时，有．其中正确结论的个数是A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根据抛物线的图象特征和对称性可得①②④；将方程转化为函数图象求交点问题可解；通过数形结合可得⑤．【解析】由抛物线对称轴为直线，则①正确；由图象，同号，，则，则②正确；方程可以看作是抛物线与直线求交点横坐标，由抛物线顶点为则直线过抛物线顶点．方程有两个相等的实数根．故③正确；由抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点则有对称性抛物线与轴的另一个交点为则④正确；，，直线与抛物线交于，两点当当时，抛物线的图象在直线上方，则，故⑤正确．故选：．2．（2022•宝应县一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是．【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．【解析】抛物线与直线交于，两点，，，抛物线与直线交于，两点，观察函数图象可知：当时，直线在抛物线的上方，不等式的解集是．故答案为．一．选择题（共8小题）1．（2022•密云区二模）一辆经营长途运输的货车在高速公路某加油站加满油后匀速行驶，下表记录了该货车加满油之后油箱内剩余油量（升与行驶时间（小时）之间的相关对应数据，则与满足的函数关系是行驶时间（小时）0122.5剩余油量（升100806050A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系【分析】从表格可看出，货车每行驶一小时，耗油量为20升，即余油量与行驶时间成一次函数关系．【解析】从表格可看出，货车每行驶一小时，耗油量为20升，即余油量与行驶时间成一次函数关系．故选：．2．（2022•莱西市一模）二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是A． B． C． D．【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致．【解答】、由二次函数可知，图象过原点，故本选项错误；、由二次函数可知，图象过原点，故本选项错误；、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项错误；、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项正确．故选：．3．（2022•云岩区一模）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是抛物线，，为常数，对称轴上的一个动点．若抛物线的对称轴上恰存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值为A．或 B．或0 C．或2 D．0或2【分析】由题意是直角三角形，当对称轴或时，可知一定存在两个以，为直角顶点的直角三角形，当对称轴或时，不存在满足条件的点，当以为直径的圆与抛物线的对称轴相切时，对称轴上存在1个以点为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，利用图象法求解即可．【解析】是直角三角形，当对称轴或时，一定存在两个以，为直角顶点的直角三角形，且点在对称轴上的直角三角形，当对称轴或时，不存在满足条件的点，当以为直径的圆与抛物线的对称轴相切时，对称轴上存在1个以为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形（如图所示）．观察图象可知，或4，或2．故选：．4．（2022•槐荫区一模）二次函数为常数，，当时二次函数的函数值恒小于4，则的取值范围为A． B． C．或 D．或【分析】分，两种情况讨论，当时，抛物线开口向上，再根据二次函数的对称轴为，且与轴交于这个点，可得当时，，代入二次函数解析式，形成关于的不等式，解之即可；当时，抛物线开口下，其顶点坐标为，根据题意可得，当时，函数值恒小于4，解关于的不等式即可．【解析】①当时，抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为，根据抛物线的对称性可得，点与关于对称轴对称．时，．，（不合题意）．时，，把，代入抛物线解析式得，，解得．的取值范围为．②当时，抛物线开口向下，抛物线的顶点为最高点，其坐标为．，，解得．的取值范围为．综上所述，的取值范围为或．故选：．5．（2022•龙岩模拟）已知点，，，均在抛物线上，若，，则A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，【分析】根据题意可知，抛物线对称轴是直线；再对的不同范围进行讨论，判断和的大小．【解答】解析：由抛物线得，故抛物线对称轴是直线．①当时，抛物线开口向上，，点比点距离对称轴更远，；②当时，抛物线开口向下，同理；当时，且，和的大小不确定．，都错误．③当时，此时开口向下，，点比点距离对称轴更远，．故选：．6．（2022•夏邑县模拟）如图，已知二次函数，当时，则函数的最小值和最大值A．和5 B．和5 C．和 D．和5【分析】先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可．【解析】二次函数，对称轴是：，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，由图象可知：在内，时，有最大值，，时有最小值，是，故选：．7．（2022•下城区校级二模）关于的二次函数与轴只有一个交点，下列正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【分析】求二次函数与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，根据△，一元二次方程有两个相等的实数根，求出、的数量关系，再进一步求出的值，进而选出正确答案．【解析】关于的二次函数与轴只有一