2024年上海复旦大学附中自主招生数学试卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页复旦附中2023学年初三年级自招飞行考一、填空题1．实数满足，则．2．已知，则．3．关于的不等式组有解，那么实数的取值范围是．4．若有整数解，则．5．不等式对于一切实数都成立，则的最大值为．6．已知四边形为正方形，其中几个阴影部分面积如图所示，则四边形的面积最大为．7．一个三角形的边长为、、，另一个三角形的边长分别为、、，其中，若两个三角形的最小内角相等，则．8．张扑克牌，将第一张扔掉，第二张放到最后，第三张扔掉，第四张放到最后，依次进行下去，当手中最后只剩下一张牌时，这张是最开始的扑克牌顺序从上面数的第张．9．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为．10．已知：不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x＝1，试求a、b的值.11．正实数满足，且，(1)求的值；(2)证明：．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．【分析】本题考查利用因式分解解一元二次方程的应用，先用两式相减计算，然后两式相加得到再根据完全平方公式的变形得到，代入计算即可解题．【详解】解：∵实数满足，∴，即∵，∴，∴，解得∴，∴．2．【分析】本题考查分式的化简求值，先根据方程得到，然后化简分式为，代入计算即可．【详解】解：∵，∴，，∴原式，故答案为：．3．或a>0【分析】本题主要考查其它不等式的解法，由题意分类讨论的范围，先判断a>0时满足条件，当时，再根据，求出的范围即可．【详解】解：∵关于的不等式组的解集有解，，当a>0时，满足不等式组的解集有解；当时，不等式组即，∵它有解集，，解得，综上可得，的范围为或a>0，故答案为：或a>0．4．4或【分析】本题考查了一元二次方程的整数解，将方程转化为的形式，根据x、y均为整数可得，，由此可求解，将原方程变形处理是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵x、y是整数，∴且，解得或，故答案为：4或．5．5【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得要使不等式对于一切实数都成立，则需满足，进而根据二次函数的最值问题可求解．【详解】解：由题意得：，∵，∴当时，函数的最小值是当时取得，即为9；当时，函数的最小值是当时取得，即为5；∴，∴，即a的最大值为5．6．24【分析】本题考查正方形的性质，根据正方形的性质以及三角形面积公式的图形间的面积关系是解题关键．由正方形的性质可得出，，即，等式两边减去和，即可得出，然后代入数据即可求出即可．【详解】解：∵四边形为正方形，∴．∵，∴．∵，∴．∴，即，∴，解得：．故答案为：24．7．【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是添加合适的辅助线，构造直角三角形．在中，，，在中，，，．过点A作于点H，于点．设，利用勾股定理求出，再根据，推出，构建关系式，即可得出答案．【详解】解：如图，在中，，，在中，，，．过点A作于点H，于点．设，，，，，，，，，解得：或（负值舍去）故答案为：8．【分析】此题主要考查了数字规律，第一次剩下能被整除的数，第二次剩下能被整除的数和，依次找出规律即可，读懂题意，找出规律是解题的关键．【详解】解：根据题意可得：第一次剩下的卡片是：，，，，，，，，，，，；第二次剩下的卡片是：，，，，，，，，，，，，，，第三次剩下的卡片是：，，，，，，，第四次剩下的卡片是：，，，，第五次剩下的卡片是：，；第六次剩下的卡片是：，故答案为：．9．【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OMCD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝21，∴OMCD，即OM的最大值为；故答案为．【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是解题的关键，也是难点．10．，【分析】首先把根x=1代入原方程中得到一个关于k的方程，再根据方程与k无关的应满足的条件即可得a、b的值．【详解】解：把x＝1代入原方程并整理得（b＋4）k＝7－2a要使等式（b＋4）k＝7－2a不论k取什么实数均成立，只有解之得a=,b=-4.故答案为:，【点睛】本题考查代入法、一元一次方程的解法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．11．(1)1(2)见解析【分析】本题考查了分式的加减法，单项式与多项式，多项式与多项式的乘法运算及提公因式，比较复杂，正确计算是关键．（1）先去分母