四边形中的折叠问题专项训练(20题)-【重要笔记】2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)(原卷版+解析)

四边形中的折叠问题（20题）一．选择题（共5小题）1．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．75°2．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的D'处，点C落在C'处，若∠AD'M＝50°，则∠MNC'的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．130°3．如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C'，若∠ADC'＝20°，则∠BDC的度数为（）A．55° B．50° C．60° D．65°4．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．要使四边形AECF是菱形，则∠BAE的度数是（）A．30° B．40° C．45° D．50°5．如图，将三角形纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是（）①△BDF是等腰三角形；②DE＝BC；③四边形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC＝2∠A．A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共7小题）6．如图1，在一张长方形纸片ABCD上画一条线段MN，将纸片沿线段MN折叠（如图2），当∠1＝70°时，∠KNC＝（注：长方形纸片对边平行，即：CD∥AB，AD∥BC）．7．如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE＝50°，则∠APD等于．8．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于度．9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA＝6，AB＝10，则点E的坐标是．10．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B（2，4），则OE的长为．11．如图，在矩形纸片ABCD中，边AB＝12，AD＝5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为．12．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，则∠AEF＝．三．解答题（共8小题）13．如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上一点，CE＝2BE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，则线段DF的长度是多少？14．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直接MN交BC于点M，交AD于点N．求证：四边形AMCN是菱形．15．如图，在三角形纸片ABC中，AD是△ABC的角平分线，把△ABC进行折叠，使点A与点D重合，折痕与AB相交于E，与AC相交于F，求证：四边形AEDF是菱形．16．如图：在梯形ABCD中，CD∥AB，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，连接CE．求证：四边形AECD为菱形．17．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，求矩形ABCD长与宽的比值．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，E是BC上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，且CE＝BE．（1）求AD的长；（2）求FG的长．19．如图，四边形ABCD是矩形．（1）作∠A的角平分线AE，交BC于点E；（2）把矩形ABCD沿AE折叠，使点B刚好落在线段AD上的F处，求证：四边形ABEF是正方形．20．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，把这张纸片沿DE折叠，使点A与C重合，连接CE，过点B作CE的平行线，与DE的延长线交于点F．（1）求证：四边形BCEF为平行四边形．（2）当四边形BCEF为菱形时，求∠A的度数．四边形中的折叠问题（20题）一．选择题（共5小题）1．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．【解答】解：连接BD，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵DC′是AB的垂直平分线，∴P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．故选：D．2．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的D'处，点C落在C'处，若∠AD'M＝50°，则∠MNC'的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．130°【分析】折叠后，四边形CDMN与四边形C′D′MN关于MN对称，则∠DMN＝∠D′MN，同时∠AMD′＝90°﹣∠AD'M＝40°，所以∠DMN＝∠D′MN＝（180°﹣40°）÷2＝70°，根据四边形内角和360°即可求得∠MNC'的度数．【解答】解：四边形CDMN与四边形C′D′MN关于MN对称，则∠DMN＝∠D′MN，且∠AMD′＝90°﹣∠AD'M＝40°，∴∠DMN＝∠D′MN＝（180°﹣40°）÷2＝70°由于∠MD′C′＝∠NC′D′＝90°，∴∠MNC'＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°故选：B．3．如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C'，若∠ADC'＝20°，则∠BDC的度数为（）A．55° B．50° C．60° D．65°【分析】由折叠的性质可知∠BDC＝∠BDC′，故∠ADB＝∠BDC′﹣∠ADC′＝∠BDC﹣20°，根据∠ADB+∠BDC＝90°，列方程求∠BDC．【解答】解：由折叠的性质，得∠BDC＝∠BDC′，则∠ADB＝∠BDC′﹣∠ADC′＝∠BDC﹣20°，∵∠ADB+∠BDC＝90°，∴∠BDC﹣20°+∠BDC＝90°，解得∠BDC＝55°．故选：A．4．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．要使四边形AECF是菱形，则∠BAE的度数是（）A．30° B．40° C．45° D．50°【分析】证出∠BAE＝∠CAE＝∠DAC，即可解决问题．【解答】解：由折叠的性质得：∠BAE＝∠CAE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACE，∵四边形AECF是菱形，∴AE＝CE，∴∠CAE＝∠ACE，∴∠BAE＝∠CAE＝∠DAC，∴∠BAE＝×90°＝30°，故选：A．5．如图，将三角形纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是（）①△BDF是等腰三角形；②DE＝BC；③四边形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC＝2∠A．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据菱形的判定和等腰三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．【解答】解：①∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠EDF＝∠BFD，又∵△ADE≌△FDE，∴∠ADE＝∠EDF，AD＝FD，AE＝CE，∴∠B＝∠BFD，∴△BDF是等腰三角形，故①正确；同理可证，△CEF是等腰三角形，∴BD＝FD＝AD，CE＝FE＝AE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，故②正确；∵∠B＝∠BFD，∠C＝∠CFE，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B+∠BFD+∠BDF＝180°，∠C+∠CFE+∠CEF＝180°，∴∠BDF+∠FEC＝2∠A，故④正确．而无法证明四边形ADFE是菱形，故③错误．所以一定正确的结论个数有3个，故选：C．二．填空题（共7小题）6．如图1，在一张长方形纸片ABCD上画一条线段MN，将纸片沿线段MN折叠（如图2），当∠1＝70°时，∠KNC＝40°（注：长方形纸片对边平行，即：CD∥AB，AD∥BC）．【分析】由折叠的性质可得∠1＝∠NMK＝70°，由平行线的性质可求∠MNK＝∠1＝70°，∠CNM＝110°，即可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠MNK＝∠1＝70°，由折叠的性质可得：∠1＝∠NMK＝70°，∵CN∥BM，∴∠CNM+∠KMN＝180°，∴∠CNM＝110°，∴∠KNC＝40°，故答案为：40°．7．如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE＝50°，则∠APD等于50°．【分析】根据折叠的性质和中位线定理得出结论．【解答】解：由折叠得：∠PDE＝∠CDE＝50°，∵D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，∴DE∥AB，∴∠APD＝∠PDE＝50°，故答案为：50°．8．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于30度．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到EC＝AE，从而得到∠A＝∠ACE，再由折叠的性质及三角形的外角性质得到∠B＝2∠A，从而不难求得∠A的度数．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，∴AE＝CE，∴∠A＝∠ACE，∵△CED是由△CBD折叠而成，∴∠B＝∠CED，∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝2∠A，∴∠B＝2∠A，∵∠A+∠B＝90°，∴∠A＝30°．故答案为：30．9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA＝6，AB＝10，则点E的坐标是（10，）．【分析】根据题意AF＝AB＝10，由勾股定理可以得到OF，进而得CF的长度，设CE＝a，则EF＝BE＝6﹣a，由勾股定理列出a的方程求得a的值，便可求得E点坐标．【解答】解：设CE＝a，则BE＝6﹣a，由题意可得，EF＝BE＝6﹣a，由对折知，AF＝AB＝10，∴，∴CF＝OC﹣OF＝10﹣8＝2，∵∠ECF＝90°，∴a2+22＝（6﹣a）2，解得，a＝，∴点E的坐标为（10，），故答案为（10，）．10．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B（2，4），则OE的长为．【分析】由四边形OABC是矩形与折叠的性质，易证得△AEC是等腰三角形，然后在Rt△AEO中，利用勾股定理求得AE，OE的长．【解答】解：∵四边形OABC是矩形，∴OC∥AB，∴∠ECA＝∠CAB，根据题意得：∠CAB＝∠CAD，∠CDA＝∠B＝90°，∴∠ECA＝∠EAC，∴EC＝EA，∵B（2，4），∴AD＝AB＝4，设OE＝x，则AE＝EC＝OC﹣OE＝4﹣x，在Rt△AOE中，AE2＝OE2+OA2，即（4﹣x）2＝x2+4，解得：x＝，∴OE＝，故答案为：．11．如图，在矩形纸片ABCD中，边AB＝12，AD＝5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为8．【分析】连接AC，当点D'在AC上时，CD'有最小值，根据矩形的性质和折叠的性质解答即可．【解答】解：连接AC，当点D'在AC上时，CD'有最小值，∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，AD＝5，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，∴AC＝，由折叠性质得：AD＝AD'＝5，∠AD'P＝∠D＝90°，∴CD'的最小值＝AC﹣AD'＝13﹣5＝8，故答案为：8．12．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，则∠AEF＝75°．【分析】根据矩形的性质、折叠的性质可以求得∠AEF的度数，本题得以解决．【解答】解：∵∠BAF＝60°，∠BAD＝90°，∴∠FAD＝30°，由折叠的性质可得，∠FAE＝∠DAE，∠D＝∠AFE＝90°，∴∠FAE＝∠DAE＝∠FAD＝15°，∴∠AEF＝∠AFE﹣∠FAE＝90°﹣15°＝75°，故答案为：75°．三．解答题（共8小题）13．如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上一点，CE＝2BE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，则线段DF的长度是多少？【分析】利用翻折变换的性质结合勾股定理得出AE的长，进而求出EN的长，再利用勾股定理求出FN的长，进而求出DF即可．【解答】解：作FN⊥BC，FM⊥DC，垂足分别为N，M，连接BF，交AE于K，∵正方形ABCD的边长为6，E为BC上一点，CE＝2BE，∴BE＝2，∴AE＝2，∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，∴BF⊥AE，∴AB×BE＝BK×AE，∴KB＝KF＝，设EN＝x，则22﹣x2＝（）2﹣（2+x）2，解得：x＝，故FN＝＝，则DM＝6﹣＝，FM＝NC＝6﹣2﹣＝，则DF＝＝．14．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直接MN交BC于点M，交AD于点N．求证：四边形AMCN是菱形．【分析】由矩形ABCD与折叠的性质，易证得△CMN是等腰三角形，即CM＝CN，即可证得AM＝CM＝CN＝AN，即可得四边形AMCN是菱形．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ANM＝∠NMC，由折叠的性质，可得：∠ANM＝∠CNM，AM＝CM，AN＝CN，∴∠NMC＝∠CNM，∴CM＝CN，∴AM＝CM＝CN＝AN，∴四边形AMCN为菱形．15．如图，在三角形纸片ABC中，AD是△ABC的角平分线，把△ABC进行折叠，使点A与点D重合，折痕与AB相交于E，与AC相交于F，求证：四边形AEDF是菱形．【分析】由∠BAD＝∠CAD，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°证△AEO≌△AFO，推出EO＝FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF．【解答】证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF＝90°在△AEO和△AFO中，，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO＝FO，又∵A点与D点重合，∴AO＝DO，∴EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形∵点A与点D关于直线EF对称，∵EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形．16．如图：在梯形ABCD中，CD∥AB，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，连接CE．求证：四边形AECD为菱形．【分析】先由△ADC≌△AEC，证得CD＝CE，∠DCA＝∠ACE，再根据CD∥AB，得到∠DCA＝∠CAE，则EA＝EC，根据“四条边都相等的四边形是菱形”行证明．【解答】证明：∵△ADC≌△AEC，∴CD＝CE，∠DCA＝∠ECA（2分），又梯形ABCD中，CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAE（3分）∴∠CAE＝∠ACE（4分）∴AE＝CE，∴CD＝AE（5分）∴四边形AECD为平行四边形，∵AE＝CE，∴四边形AECD为菱形．（6分）17．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，求矩形ABCD长与宽的比值．【分析】连接DE，由翻折的性质知，四边形ABEF为正方形，∠EAD＝45°，而M点正好在∠NDG的平分线上，则DE平分∠GDC，易证Rt△DGE≌Rt△DCE，得到DC＝DG，而△AGD为等腰直角三角形，得到AD＝DG＝CD．【解答】解：连接DE，如图：∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，∴四边形ABEF为正方形，∴∠EAD＝45°，由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上，∴DE平分∠GDC，∴∠GDE＝∠CDE，∵DG为折痕，∴∠DGE＝90°＝∠C，而DE＝DE，∴Rt△DGE≌Rt△DCE（AAS），∴DC＝DG，∵∠EAD＝45°，∠DGA＝90°，∴△AGD为等腰直角三角形，∴AD＝DG＝CD，∴矩形ABCD长与宽的比值为，故答案为．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，E是BC上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，且CE＝BE．（1）求AD的长；（2）求FG的长．【分析】（1）由折叠的性质可得AB＝AG＝15，AD＝AH，EB＝EG＝5x，∠B＝∠AGE＝90°，∠D＝∠AHF＝90°，由勾股定理可求CG＝3x，由余角的性质可求∠AGD＝∠CEG，由锐角三角函数可得，即可求解；（2）由锐角三角函数可得，