【中考大赢家·押题】尖子生培优密卷(模拟卷)(原卷版+解析)

绝密★启用前【中考冲刺满分】2022年中考数学名师押题预测全真模拟卷（北京专用）【中考大赢家·押题】尖子生培优密卷（模拟卷）（本卷共28小题，满分100分，考试用时120分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；请将答案正确填写在答题卡上。2.本卷试题共三大题，共28小题，单选8题，填空8题，解答12题，限时120分钟，满分100分。一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）1．地球赤道周长约为40076000米，将40076000用科学记数法表示为（

）A．B．C．D．2．一个正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和是（

）A． B． C． D．3．若ab＝1，m＝，则m2021的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．5．下列命题中，假命题的是（

）A．等角的余角相等 B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．两直线平行，同位角相等6．如图，数轴上有两点、分别表示的数为1，，则数轴上表示数的点必然落在（

）A．点的左边 B．线段上 C．点的右边 D．与点重合7．如图，，是的切线，，是切点，，是上的点，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．8．为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计．绘制出如下的统计图1和图2，根据相关信息，下列选项正确的是（）A．m的值为28% B．平均数为5 C．众数为6 D．中位数为5二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9．当______时，分式有意义；如果分式的值为0，那么x的值是______．10．甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是1.28m，方差分别是S甲2＝0.60，S乙2＝0.62，S丙2＝0.58，S丁2＝0.45，则这四名同学跳高成绩最稳定的是_____．11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2＝10，S3＝12，则S1＝___．12．如图，直线与双曲线交于两点，则的值为_______．13．如图，在5×5的正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O，则tan∠AOC＝_____．14．下列几何体中，仅主视图与左视图相同的是_____．（填序号）15．如图，在中，，斜边上的中线BE的长为4cm，高BD的长为3cm，则的面积是______．16．图1是一种木质投石机模型，其示意图如图2所示．已知，cm，cm，木架高cm．按压点F旋转至点，抛杆EF绕点A旋转至，弹绳DE随之拉伸至，测得，则抛杆EF的长为______cm．若弹绳自然状态时，点A，E，D在同一直线上，则此次旋转后弹绳被拉长的长度为______cm．三、解答题（本题共12个小题，17-20每小题5分，21题6分，22题5分，23-24每小题6分，25题5分，26题6分，27-28每小题7分，共68分）17．计算：．18．解不等式（组）.（1）解不等式：x﹣，并把它的解集表示在数轴上．（2）解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解．19．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两根x1，x2，满足（x1+1）（x2+1）＝4，求k的值．20．已知是等腰三角形，，将绕点B逆时针旋转得到，(1)感知：如图①，当落在AB边上时，与之间的数量关系是_____（不需要证明）；(2)探究：如图②，当不落在AB边上时，AB与是否相等？如果相等；如果不相等，请说明理由；(3)应用：如图③，若，、交于点E，则_____度．21．如图，D是上一点，点C在直径BA的延长线上，且CD是的切线，交CD的延长线于点E，连接EB．(1)求证：EB是的切线．(2)若，，求的半径．22．某学校第二课堂要创办“足球特色班”，大量的热爱足球的同学踊跃报名参加，但由于名额有限，所以需要考核选拔，考核的最终评价成绩是由足球知识、身体素质、足球技能三项成绩构成的，如果最终评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”．下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录：足球知识身体素质足球技能小张709080小王9075(1)若按三项成绩的平均分记为最终评价成绩，请计算小张的最终评价成绩；(2)根据实际情况，学校决定足球知识、身体素质、足球技能三项成绩按的权重来确定最终评价成绩．①请计算小张的最终评价成绩为多少分？②小王在足球技能应该最少考多少分才能达到优秀？23．为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高单位：，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．(1)填空：样本容量为______，______；(2)把频数分布直方图补充完整；(3)若从该地随机抽取名学生，估计这名学生身高低于的概率．24．平行四边形ABCD中，∠A＝∠B(1)求证平行四边形ABCD是矩形(2)若BC＝AB，求∠ACB的度数(3)在（2）的条件下，点E，F分别在AB，AC上，且CE＝CF，∠ECF＝30°，AC＝4，求AE＋AF的值25．在如图1所示的平面直角坐标系中，O为原点，⊙C的圆心坐标为(−2，−2)，半径为，直线y=−x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，点P在线段AB上运动（包括端点）．(1)直线CO与AB的夹角是_________；(2)当是等腰三角形时，求点P的坐标；(3)当直线与相切时，求的度数；(4)如图2．直线与相交于点E，F，M为线段的中点，当点P在线段上运动时，点M也相应运动，请直接写出点M所经过路径的长度．26．某公司生产的一种产品在市场上很受欢迎，该公司每年的产量为6万件，可在国内和国外两个市场全部销售．若在国外销售，平均每件产品的利润（元）与国外销售量x（万件）之间的函数关系如图所示．若在国内销售，平均每件产品的利润为元，设该公司每年在国内和国外销售的总利润为w万元．(1)求与x之间的函数关系式，并求x的取值范围．(2)该公司每年在国内国外销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是多少？(3)该公司计划以国外销售的每件产品中捐出（）元给希望工程，从国内销售的每件产品中捐出m元给希望工程，且国内销售量不低于4万件，若这时国内外销售的总利润的最大值为520万元，求m的值．27．问题提出：(1)如图①，在矩形ABCD内，以BC的中点O为圆心，BC为直径作半圆，Q为半圆上一点．若AB=6，BC=8，求△ADQ的面积的最小值；问题解决：(2)如图2，矩形ABCD是城区改造过程中的一块闲置空地，AB=300m，BC=400m，E是AB边上一点，AE=200m，F是BC边上的任意一点．为了美化环境，市规划办决定修建AG、CG、EG、FG四条小路，并在四边形AGCD围成的区域种植草坪，△AEG，△GFC围成的区域种植鲜花，△BEF围成的区域修建供市民休息的凉亭，△GEF围成的区域投放健身器材，供市民锻炼身体，且△BEF与△GEF关于EF成轴对称．根据以上所给信息，求出草坪AGCD面积的最小值．28．如图（1），直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B（3，0）、点C（0，3），经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P．(1)求该抛物线的解析式与点P的坐标；(2)当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；(3)连接AC，点N在x轴上，点M在对称轴上，①是否存在使以B、P、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由；②是否存在点M，N，使以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（图（2）、图（3）供画图探究）绝密★启用前【中考冲刺满分】2022年中考数学名师押题预测全真模拟卷（北京专用）【中考大赢家·押题】尖子生培优密卷（模拟卷）（本卷共28小题，满分100分，考试用时120分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；请将答案正确填写在答题卡上。2.本卷试题共三大题，共28小题，单选8题，填空8题，解答12题，限时120分钟，满分100分。一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）1．地球赤道周长约为40076000米，将40076000用科学记数法表示为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据科学记数法的定义，计算求值即可；【详解】解：40076000=，故选：C．【点睛】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．2．一个正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．【详解】解：该正多边形的边数为：360°÷60°=6，该正多边形的内角和为：（6-2）×180°=720°．故选：A．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．3．若ab＝1，m＝，则m2021的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【答案】A【分析】先把进行化简，然后代入计算，即可得到答案．【详解】解：∵ab＝1，∴；∴；故选：A．【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是正确的进行化简．4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的概念可直接进行判断即可．【详解】解：A、此图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意；B、五角星不是中心对称图形，是轴对称图形，故B不符合题意；C、此图案不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；D、此图是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的判断，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键．5．下列命题中，假命题的是（

）A．等角的余角相等 B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．两直线平行，同位角相等【答案】B【分析】根据余角的性质，绝对值的性质，三角形三边关系和平行线的性质逐项判断即可．【详解】解：A.等角的余角相等，正确，为真命题；

B.若两个数的绝对值相等，则这两个数可能相等，也可能互为相反数，故错误，为假命题；C.三角形的任意两边之和大于第三边，正确，为真命题；D.两直线平行，同位角相等，正确，为真命题．故选B．【点睛】本题考查判断命题真假，掌握余角的性质，绝对值的性质，三角形三边关系和平行线的性质是解题关键．6．如图，数轴上有两点、分别表示的数为1，，则数轴上表示数的点必然落在（

）A．点的左边 B．线段上 C．点的右边 D．与点重合【答案】B【分析】先根据数轴上两点距离表示出中点表示的数，进而可得表示的点是的中点，即可判断数的点所在的位置【详解】解：∵数轴上有两点、分别表示的数为1，，设的中点为∴点表示的数为表示数的点必然落在线段上故选B【点睛】本题考查了线段中点的性质，数轴上两点的距离，掌握线段中点的性质是解题的关键．7．如图，，是的切线，，是切点，，是上的点，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，连接先求解再利用圆周角定理可得，从而可得答案.【详解】解：如图，连接，是的切线，故选A【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，圆周角定理的应用，圆的切线的性质的应用，理解是解本题的关键.8．为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计．绘制出如下的统计图1和图2，根据相关信息，下列选项正确的是（）A．m的值为28% B．平均数为5 C．众数为6 D．中位数为5【答案】D【分析】根据平均数、众数与中位数的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】解：A、m%＝×100%＝28%，则m的值为28，故本选项错误；B、平均次数是：＝5.16，故本选项错误；C、∵5次出现了16次，出现的次数最多，∴众数为5，故本选项错误；D、把这些数从小到大排列，则中位数是5，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了平均数、众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9．当______时，分式有意义；如果分式的值为0，那么x的值是______．【答案】

≠1

1【分析】依据分式有意义的条件、分式的值为0的条件，即可得出结论．【详解】解：∵分式有意义∴x-1≠0，解得x≠1，∴当x≠1时，分式有意义；∵分式的值为0，∴，解得x=1，故答案为：≠1；1．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件、分式的值为0的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．10．甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是1.28m，方差分别是S甲2＝0.60，S乙2＝0.62，S丙2＝0.58，S丁2＝0.45，则这四名同学跳高成绩最稳定的是_____．【答案】丁【分析】直接利用方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，进而分析即可．【详解】解：∵S甲2＝0.60，S乙2＝0.62，S丙2＝0.58，S丁2＝0.45，∴S丁2＜S丙2＜S甲2＜S乙2，∴这四名同学跳高成绩最稳定的是丁，故答案为：丁．【点睛】此题主要考查了方差，正确理解方差的意义是解题关键．11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2＝10，S3＝12，则S1＝___．【答案】2【分析】先根据勾股定理得出△ABC的三边关系，再根据正方形的性质即可得出S1的值．【详解】解：∵△ABC中，∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2，∴BC2＝AC2﹣AB2，∵BC2＝S1，AB2＝S2＝10，AC2＝S3＝12，∴S1＝S3﹣S2＝12﹣10＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查的是勾股定理及正方形的面积公式，先根据勾股定理得出AB、BC及AC之间的关系是解答此题的关键．12．如图，直线与双曲线交于两点，则的值为_______．【答案】-4【分析】根据反比例函数的对称性得到A、B两点坐标的关系和反比例函数图象上点的坐标特点求得，，再代入计算即可．【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点，∴，，，，∴，，∴.故答案是：-4．【点睛】考查了反比例函数的性质，代数式求值，反比例函数是中心对称图形，对称中心是原点，则过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称，理解这一性质是关键．13．如图，在5×5的正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O，则tan∠AOC＝_____．【答案】【分析】将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，设正方形网格的边长为单位1，由勾股定理求得CF，CD，DF，得出CF2＋CD2＝DF2，则∠FCD＝90°，据此即可得出结果．【详解】解：如图：将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，∴∠AOC＝∠FDC，设正方形网格的边长为单位1，根据勾股定理可得：，，，∵，∴，∴∠FCD＝90°，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了利用网格、勾股定理求正切值，利用平移是解决本题的关键．14．下列几何体中，仅主视图与左视图相同的是_____．（填序号）【答案】③④【分析】分别画出立体图的三视图即可解题．【详解】解：的俯视图、左视图、主视图都是的俯视图、左视图、主视图都是的俯视图是，左视图、主视图都是的俯视图是，左视图、主视图都是仅主视图与左视图相同的是③④故答案为：③④．【点睛】本题考查简单几何体的三视图，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．如图，在中，，斜边上的中线BE的长为4cm，高BD的长为3cm，则的面积是______．【答案】12【分析】根据直角三角形的性质求出AC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：在Rt△ABC中，BE为斜边上的中线，BE＝4cm，则AC＝2BE＝2×4＝8（cm），∴S△ABC＝AC•BD＝×8×3＝12（cm2），故答案为：12．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．16．图1是一种木质投石机模型，其示意图如图2所示．已知，cm，cm，木架高cm．按压点F旋转至点，抛杆EF绕点A旋转至，弹绳DE随之拉伸至，测得，则抛杆EF的长为______cm．若弹绳自然状态时，点A，E，D在同一直线上，则此次旋转后弹绳被拉长的长度为______cm．【答案】

【分析】过点A作AH⊥DE′于H，先证四边形HDGA为正方形，再证△E′AH≌△BAG（ASA），根据勾股定理AB=，AD=，DE′=DH+E′H=8+4=12即可．【详解】解：过点A作AH⊥DE′于H，∵AG⊥BC，∴∠AGD=90°，∵AH⊥DE′∴∠AHD=90°∴∠AHD=∠HDG=∠AGD=90°，∴四边形HDGA为矩形，∵AB=AC，AG⊥BC，∴BG=CG=cm，∵BD=4cm，∴DG=BG+DB=8cm，∵AG=8cm，∴DG=AG，∴四边形HDGA为正方形，∴AH=AG，∠HAG=90°，∵∠BAF′=90°，∴∠HAB+∠BAG=∠HAB+∠E′AH=90°，∴∠HAB=∠E′AH，在△E′AH和△BAG中，，∴△E′AH≌△BAG（ASA），∴AE′=AB，E′H=BG=4，在Rt△ABG中，AB=cm，∴EF=E′F′=2AB=cm，在Rt△ADG中，AD=，∴DE=AD-AE=AD-AB=cm，DE′=DH+E′H=8+4=12cm，∴DE′-DE=12-cm．故答案为：；．【点睛】本题考查正方形判定与性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，等腰三角形性质，掌握正方形判定与性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，等腰三角形性质是解题关键．三、解答题（本题共12个小题，17-20每小题5分，21题6分，22题5分，23-24每小题6分，25题5分，26题6分，27-28每小题7分，共68分）17．计算：．【答案】-2．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．解不等式（组）.（1）解不等式：x﹣，并把它的解集表示在数轴上．（2）解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解．【答案】（1）x＞﹣5，图见解析；（2）不等式组的解集为﹣1＜x≤3，整数解为0，1，2，3．【分析】（1）根据不等式的解题步骤：去分母，去括号，移项合并同类项，系数化1；解不等式即可；（2）分别求两个不等式的解集，然后求解集的公共部分，再取整数解即可．【详解】解：（1）去分母得：6x+3（x﹣1）＜2（1+5x），去括号，得：6x+3x﹣3＜2+10x，移项，得：6x+3x﹣10x＜2+3，合并同类项，得：﹣x＜5，系数化为1，得：x＞﹣5，在数轴上表示不等式的解集为：（2）解不等式①得：x≤3，解不等式②得：x＞﹣1，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤3，∴整数解为0，1，2，3．【点睛】本题考查了不等式（组）的解；解题的关键是掌握不等式组的解集由所组成的不等式解集的公共部分组成．19．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两根x1，x2，满足（x1+1）（x2+1）＝4，求k的值．【答案】(1)k≥﹣3且k≠1；(2)2【分析】（1）由方程有两个实数根，结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，并使k﹣1≠0，即可得出结论．（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2＝，x1x2＝﹣，再将它们代入（x1+1）（x2+1）＝4，即可求出k的值．【详解】(1)解：（1）∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．∴k﹣1≠0，∆＝b2﹣4ac≥0，即（﹣4）2﹣4×（k﹣1）×（﹣1）≥0，∴k≥﹣3且k≠1．(2)解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝，x1x2＝﹣．∵（x1+1）（x2+1）＝4，∴（x1+x2）+x1x2+1＝4，即﹣+1＝4，整理，得：k﹣1＝1，解得：k＝2，经检验，k＝2是方程的解，∴k＝2．∴k的值为2．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题关键是熟练运用根与系数关系列出方程或不等式．20．已知是等腰三角形，，将绕点B逆时针旋转得到，(1)感知：如图①，当落在AB边上时，与之间的数量关系是_____（不需要证明）；(2)探究：如图②，当不落在AB边上时，AB与是否相等？如果相等；如果不相等，请说明理由；(3)应用：如图③，若，、交于点E，则_____度．【答案】(1)相等；(2)相等；理由见解析；(3)．【分析】（1）根据旋转的性质及图中各角之间的数量关系可得，利用等边对等角求解即可得；（2）根据旋转的性质及相似三角形的判定和性质即可证明；（3）根据（2）中结论及各角之间的等量代换可得，设与AE相交于点O，可得，利用等腰直角三角形的性质可得，据此计算即可得．【详解】(1)解：感知：∵将绕点B逆时针旋转得到，，∴，当落在AB边上时，即，∵，，∴，即，故答案为：相等；(2)探究：，证明如下：∵将绕点B逆时针旋转得到，∴，，，∴，∴，∴；(3)应用：∵，∴，∵，∴，∴，设与AE相交于点O，如图所示：∵，∴，∵，，∴，∴．【点睛】题目主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．21．如图，D是上一点，点C在直径BA的延长线上，且CD是的切线，交CD的延长线于点E，连接EB．(1)求证：EB是的切线．(2)若，，求的半径．【答案】(1)见详解；(2)【分析】（1）由题意连接OD，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠BOE＝∠DOE，证明△OBE≌△ODE得出∠OBE＝∠ODE＝90°，即可得出结论；（2）根据题意连接BD，设⊙O的半径为r，由圆周角定理得出∠ADB＝90°，在Rt△ADB和Rt△ODE中，由三角函数得出，由平行线得出△CAD∽△COE，得出，即可得出结果．【详解】(1)解：证明：连接OD，如图1所示：∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠ODE＝90°，∵OE∥AD，∴∠BOE＝∠OAD，∠ADO＝∠DOE，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD，∴∠BOE＝∠DOE，在△OBE和△ODE中，∴△OBE≌△ODE（SAS），∴∠OBE＝∠ODE＝90°，∴EB⊥OB，∵OB是⊙O的半径，∴EB是⊙O的切线．(2)连接BD，如图2所示：设⊙O的半径为r，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，，在Rt△ODE中，，∵∠BAD＝∠DOE，∴，∴，∵OE∥AD，∴△CAD∽△COE，∴，即，整理得：，

解得：，或（舍去），∴⊙O的半径为．【点睛】本题考查切线的判定与性质、圆周角定理的推论、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用；熟练掌握切线的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．22．某学校第二课堂要创办“足球特色班”，大量的热爱足球的同学踊跃报名参加，但由于名额有限，所以需要考核选拔，考核的最终评价成绩是由足球知识、身体素质、足球技能三项成绩构成的，如果最终评价成绩80分以上（含80分），则评为“优秀”．下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录：足球知识身体素质足球技能小张709080小王9075(1)若按三项成绩的平均分记为最终评价成绩，请计算小张的最终评价成绩；(2)根据实际情况，学校决定足球知识、身体素质、足球技能三项成绩按的权重来确定最终评价成绩．①请计算小张的最终评价成绩为多少分？②小王在足球技能应该最少考多少分才能达到优秀？【答案】(1)小张的最终评价成绩为优秀；(2)小王在足球技能应该最少考82分才能达到优秀【分析】（1）根据平均数的定义求解即可；（2）①根据加权平均数的定义求解即可；②设小王在足球技能考了x分，然后根据加权平均数的定义列出不等式求解即可．【详解】(1)解：由题意得，小张的平均成绩分，∴小张的最终评价成绩为优秀；(2)解：①分，∴小张的最终评价成绩为83分；②设小王在足球技能考了x分，由题意得：，∴，解得，∴小王在足球技能应该最少考82分才能达到优秀．【点睛】本题主要考查了平均数，加权平均数，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键．23．为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高单位：，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．(1)填空：样本容量为______，______；(2)把频数分布直方图补充完整；(3)若从该地随机抽取名学生，估计这名学生身高低于的概率．【答案】(1)，；(2)见解析；(3)【分析】用组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算组所占的百分比得到的值；利用组的频数为补全频数分布直方图；计算出样本中身高低于的频率，然后利用样本估计总体和利用频率估计概率求解．【详解】(1)解：A组占整体的百分比为15÷15%＝100所以样本容量为；组的人数为，所以，则；故答案为，；(2)解：补全频数分布直方图为：(3)解：样本中身高低于的人数为，样本中身高低于的频率为，所以估计从该地随机抽取名学生，估计这名学生身高低于的概率为．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．也考查了统计中的有关概念．24．平行四边形ABCD中，∠A＝∠B(1)求证平行四边形ABCD是矩形(2)若BC＝AB，求∠ACB的度数(3)在（2）的条件下，点E，F分别在AB，AC上，且CE＝CF，∠ECF＝30°，AC＝4，求AE＋AF的值【答案】(1)见解析；(2)30°；(3)2【分析】（1）由AD∥BC，推出∠A+∠B=180°，由∠A=∠B，可得∠A=∠B=90°，由此不难证明；（2）在Rt△ACB中，，由此推出∠ACB=30°；（3）如图3中，作FH⊥AC于H．由△BCE≌△HCF，推出BE=FH，在Rt△AFH中，由∠FAH=30°，推出，可得AEAF=AE+FH=AE+BE=AB，由此求出AB即可．【详解】(1)解：证明：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=∠B，∴∠A=∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形．(2)如图2中，在Rt△ACB中，，∴∠ACB=30°．(3)如图3中，作FH⊥AC于H．∵∠ACB=∠ECF=30°，∴∠BCE=∠FCH，∵CE=CF，∠B=∠FHC=90°，∴△BCE≌△HCF，∴BE=FH，在Rt△AFH中，∵∠FAH=30°，∴，∴AEAF=AE+FH=AE+BE=AB，在Rt△ACB中，∵∠ACB=30°，∴AB=AC=2，∴AEAF=2．【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．25．在如图1所示的平面直角坐标系中，O为原点，⊙C的圆心坐标为(−2，−2)，半径为，直线y=−x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，点P在线段AB上运动（包括端点）．(1)直线CO与AB的夹角是_________；(2)当是等腰三角形时，求点P的坐标；(3)当直线与相切时，求的度数；(4)如图2．直线与相交于点E，F，M为线段的中点，当点P在线段上运动时，点M也相应运动，请直接写出点M所经过路径的长度．【答案】(1)90(2)点P的坐标为（0，2）或（1，1）或（2-，）；(3)∠POA=75°或15°；(4)点M所经过路径的长度为π．【分析】（1）利用一次函数与坐标轴交点求法得出A，B坐标，进而得出∠COG=45°，∠AOD=45°，即可得出答案；（2）利用①当OP=OA时，②当OP=PA时，③当AP=AO时分别得出P点坐标；（2）利用切线的性质以及点的坐标性质得出∠POA的度数；（4）点M的运动轨迹是以点Q为圆心（Q点为OC与⊙C的交点），为半径的一段圆弧，得出答案即可．【详解】(1)解：直线CO与AB的夹角是90°．理由如下：延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G．∵函数y=-x+2图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴x=0时，y=2，y=0时，x=2，∴A（2，0），B（0，2），∴AO=BO=2．又∵∠AOB=90°，∴∠DAO=45°．∵C（-2，-2），∴∠COG=45°，∠AOD=45°，∴∠ODA=90°，即直线CO与AB的夹角是90°．故答案为：90；(2)解：要使△POA为等腰三角形．①当OP=OA时，P的坐标为（0，2）；②当OP=PA时，由∠OAB=45°，所以点P恰好是AB的中点，所以点P的坐标为（1，1）；③当AP=AO时，则AP=2，过点作PH⊥OA交OA于点H，在Rt△APH中，则PH=AH=，∴OH=2-，∴点P的坐标为（2-，）；综上，点P的坐标为（0，2）或（1，1）或（2-，）；(3)解：如图2，当直线PO与⊙C相切时，设切点为K，连接CK，则CK⊥OK．由点C的坐标为（-2，-2），可得：CO=2．∵sin∠COK=，∴∠POD=30°，又∠AOD=45°，∴∠POA=75°，同理可求得∠POA的另一个值为45°-30°=15°；综上，∠POA=75°或15°；(4)解：由（3）可得，点M的运动路线是以点Q为圆心（Q点为OC与⊙C的交点），为半径的一段圆弧，可得⊙C和⊙Q是两个等圆，可得∠GQK=120°，弧GQK为实际运动路径，弧长=π．∴点M所经过路径的长度为π．【点睛】本题主要考查了解直角三角形以及等腰三角形的性质和切线的性质定理和弧长公式的应用等知识，利用数形结合分类讨论思想得出是解题关键．26．某公司生产的一种产品在市场上很受欢迎，该公司每年的产量为6万件，可在国内和国外两个市场全部销售．若在国外销售，平均每件产品的利润（元）与国外销售量x（万件）之间的函数关系如图所示．若在国内销售，平均每件产品的利润为元，设该公司每年在国内和国外销售的总利润为w万元．(1)求与x之间的函数关系式，并求x的取值范围．(2)该公司每年在国内国外销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是多少？(3)该公司计划以国外销售的每件产品中捐出（）元给希望工程，从国内销售的每件产品中捐出m元给希望工程，且国内销售量不低于4万件，若这时国内外销售的总利润的最大值为520万元，求m的值．【答案】(1)(2)当该公司每年的国外销售量为5万件，国内销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值是554万元；(3)m=2．【分析】（1）先设与x之间的函数关系式，再将两个已知点坐标代入列出方程组并求解即可；（2）由利润等于每件的利润乘以件数，代入分段函数解析式，分别计算分段利润函数的最大值，最后得出最大值即可；（3）该公司计划在国内销售不低于4万件，即6-x≥4，则x≤2，于是得到该公司每年在国外销售的件数x的范围为：0≤x≤2．根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】(1)解：当0≤x≤2时，y1=100，当2＜x≤6时，设y1=kx+b，把（2，100）和（6，92）代入可得，，解得：．∴(2)解：w=y1•x+84（6-x）当0＜x≤2时，w=100x+84（6-x）=16x+504；当2＜x≤6时，w=x（-2x+104）+84（6-x）=-2x2+20x+504．∴，当0≤x≤2时，w=16x+504；∵k=16＞0，当x=2时，w=16x+504的最大值为536；当2＜x≤6时，w=-2x2+20x+504=-2（x-5）2+554．∵a=-2＜0，∴当x=5时取最大值554，∵554＞536，所以当x=5时取最大值554．即：当该公司每年的国外销售量为5万件，国内销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值是554万元；(3)∵该公司计划在国内销售不低于4万件，即6-x≥4，则x≤2，∴该公司每年在国外销售的件数x的范围为：0≤x≤2．则总利润w′=（100-2m）x+（84-m）（6-x）=（16-m）x+504-6m．∵1≤m≤4，∴16-m＞0，则当x=2时，w′取得最大值．依题意得：2（16-m）+504-6m=536-8m=520，解得：m=2．【点睛】本题考查了二次函数在成本利润问题中的应用，前两问相对比较简单，第三问由于含有两个变量，分析难度较大，总体来说，本题中等难度略大．27．问题提出：(1)如图①，在矩形ABCD内，以BC的中点O为圆心，BC为直径作半圆，Q为半圆上一点．若AB=6，BC=8，求△ADQ的面积的最小值；问题解决：(2)如图2，矩形ABCD是城区改造过程中的一块闲置空地，AB=300m，BC=400m，E是AB边上一点，AE=200m，F是BC边上的任意一点．为了美化环境，市规划办决定修建AG、CG、EG、FG四条小路，并在四边形AGCD围成的区域种植草坪，△AEG，△GFC围成的区域种植鲜花，△BEF围成的区域修建供市民休息的凉亭，△GEF围成的区域投放健身器材，供市民锻炼身体，且△BEF与△GEF关于EF成轴对称．根据以上所给信息，求出草坪AGCD面积的最小值．【答案】(1)△AQD的面积的最小值为8；(2)草坪AGBD的面积的最小值为75000平方米．【分析】（1）取AD的中点M，连接QM，QO，MO，可得四边形ABOM为矩形，OM=6，QO=4；由于QM≥OM-QO，得到QM≥2．得到当且仅当Q，O，M三点共线时，QM取最小值，QM取最小值2时，QM⊥AD，此时，Q点到AD的距离小．结论可得；（2）连接AC，过点E作EN⊥AC于N，连接NG，可得BE=EG=100米，于是点G在以E为圆心100米为半径的圆弧上移动；由于NG≥EN-EG，求得NG≥60米，因此当且仅当E，G，N三点共线时，NG取得最小值．当NG取得最小值时，NG⊥AC，可知点G到AC的最小距离为160-100=60（米），从而得到S△AGC的最小值=15000（平方米），结论可得．【详解】(1)解：取AD的中点M，连接QM，QO，MO，如图①，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，AD∥BC，∠BAD=90°．∵O是BC的中点，M是AD的中点，∴BO=BC，AM=AD．∴BO=AM．∴四边形ABOM为矩形．∴OM=AB=6．∵OQ=OB=OC=BC=4，∴QM≥OM-QO．∴QM≥2．∴当且仅当Q，O，M三点共线时，QM取最小值．QM取最小值2时，QM⊥AD，此时，Q点到AD的距离小．∴S△AQD的最小值为：×AD×2=8．∴△AQD的面积的最小值为8；(2)解：连接AC，过点E作EN⊥AC于N，连接NG，如图②，∵