备战2023年北京中考数学仿真卷(四)(原卷版+解析)

备战2023年北京中考数学仿真卷（四）一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．（2分）如图是某几何体的展开图，该几何体是A．长方体 B．三棱锥 C．圆锥 D．三棱柱2．（2分）2022年北京冬奥会圆满结束，运动健儿奋力摘金夺银的背后，雪务工作人员也在攻坚克难，实现了一项项技术突破，为奥运提供了有力的雪务保障．整个造雪期持续6周，人工造雪面积达到125000平方米，125000用科学记数法表示应为A． B． C． D．3．（2分）如图，直线，点是上一点，，交于，若，则的大小为A． B． C． D．4．（2分）2021年3月考古人员在山西阳泉发现目前中国规模最大、保存最完好的战国水井，井壁由等长的柏木按原始榫卯结构相互搭接呈闭合的正九边形逐层垒砌，关于正九边形下列说法错误的是A．它是轴对称图形 B．它是中心对称图形 C．它的外角和是 D．它的每个内角都是5．（2分）已知，则代数式的值为A．1 B． C．3 D．6．（2分）“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，，是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同．现有一个音乐小球从处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是A． B． C． D．7．（2分）如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点，，，，使得，与共线，，与共线，且直线与河岸垂直，直线，均与直线垂直．经测量，得到，，的长度，设的长为，则下列等式成立的是A． B． C． D．8．（2分）如图，在菱形中，，，点，同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点停止运动．设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致反映与之间函数关系的是A． B． C． D．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9．（2分）使代数式有意义的的取值范围是．10．（2分）方程组的解为．11．（2分）在平面直角坐标系中，点，在双曲线上，则（填“”或“”．12．（2分）若已知是一个无理数，且，请写出一个满足条件的值．13．（2分）如图，正方形中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，若正方形边长为2，则图中阴影部分的面积是．14．（2分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是．15．（2分）甲、乙两个人10次射击成绩的折线图如图所示，图上水平的直线表示平均数水平，甲、乙两人射击成绩数据的方差分别为，，则．（填“”“”或“”16．（2分）容器中有，，种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子．例如，一颗粒子和一颗粒子发生碰撞则变成一颗粒子．现有粒子10颗，粒子8颗，粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子．给出下列结论：①最后一颗粒子可能是粒子；②最后一颗粒子一定是粒子；③最后一颗粒子一定不是粒子；④以上都不正确．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）．三．解答题（共12小题，满分68分）17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知，求代数式的值．20．（5分）已知：线段．求作：，使得，．作法：①分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；②连接，在的延长线上截取；③连接．则为所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接．，为等边三角形．（填推理的依据）．，．（填推理的依据）．．在中，．21．（6分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）若为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值及方程的两个根．22．（5分）如图，在四边形中，，，垂足为，过点作的垂线交的延长线于点．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，，求的长．23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴，轴交于，两点，与直线交于点．（1）求的值及直线的函数解析式；（2）当时，满足不等式，求的取值范围；（3）若直线与的边有两个公共点，求的取值范围．24．（6分）如图，、是的切线，切点分别是、，过点的直线，交于点、，交于点，的延长线交于点，若．（1）求证：；（2）若，求的长．25．（5分）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．下面的表中记录了与的五组数据：（米01234（米0.51.251.51.250.5根据上述信息，解决以下问题：（1）在下面网格（图中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象；（2）若水柱最高点距离湖面的高度为米，则；（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．26．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线．（1）当抛物线过点时，求抛物线的表达式；（2）求这个二次函数的对称轴（用含的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点和，当时，求的取值范围．27．（7分）如图，在中，，，点为边上一点（不与点，重合），连接，过点作于，在线段上截取，连接交于．（1）依题意补全图形；（2）求证：；（3）判断线段与之间的数量关系，并证明．28．（7分）对于平面直角坐标系中的点及图形，有如下定义：若图形上存在，两点，使得为等腰直角三角形，且，则称点为图形的“友好点”．（1）已知点，，在点，，中，线段的“友好点”是；（2）直线分别交轴、轴于，两点，若点为线段的“友好点”，求的取值范围；（3）已知直线分别交轴、轴于，两点，若线段上的所有点都是半径为2的“友好点”，直接写出的取值范围．备战2023年北京中考数学仿真卷（四）一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．（2分）如图是某几何体的展开图，该几何体是A．长方体 B．三棱锥 C．圆锥 D．三棱柱【答案】【详解】从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面，因此该几何体是三棱柱，故选：．2．（2分）2022年北京冬奥会圆满结束，运动健儿奋力摘金夺银的背后，雪务工作人员也在攻坚克难，实现了一项项技术突破，为奥运提供了有力的雪务保障．整个造雪期持续6周，人工造雪面积达到125000平方米，125000用科学记数法表示应为A． B． C． D．【答案】【详解】解：．故选：．3．（2分）如图，直线，点是上一点，，交于，若，则的大小为A． B． C． D．【答案】【详解】如图所示：，，，，，故选：．4．（2分）2021年3月考古人员在山西阳泉发现目前中国规模最大、保存最完好的战国水井，井壁由等长的柏木按原始榫卯结构相互搭接呈闭合的正九边形逐层垒砌，关于正九边形下列说法错误的是A．它是轴对称图形 B．它是中心对称图形 C．它的外角和是 D．它的每个内角都是【答案】【详解】．正九边形是轴对称图形，故本选项不合题意；．正九边形不是中心对称图形，故本选项符合题意；．正九边形的外角和为，故本选项不合题意；．正九边形的每个内角度数为，故本选项不合题意．故选：．5．（2分）已知，则代数式的值为A．1 B． C．3 D．【答案】【详解】原式；；；．当时，原式．故答案选：．6．（2分）“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，，是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同．现有一个音乐小球从处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是A． B． C． D．【答案】【详解】根据题意画图如下：共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种，则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是．故选：．7．（2分）如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点，，，，使得，与共线，，与共线，且直线与河岸垂直，直线，均与直线垂直．经测量，得到，，的长度，设的长为，则下列等式成立的是A． B． C． D．【答案】【详解】由题意可得：，则，故，故选：．8．（2分）如图，在菱形中，，，点，同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点停止运动．设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致反映与之间函数关系的是A． B． C． D．【答案】【详解】四边形为菱形，，．、都是等边三角形，．如图1所示，当时，，，作于，，，故选项不正确；如图2，当时，，，作于点，，，故选项不正确；如图3，当时，，，，作于点，，．故选项不正确，故选：．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9．（2分）使代数式有意义的的取值范围是．【答案】【详解】使代数式有意义，则且，解得：．故答案为：．10．（2分）方程组的解为．【答案】【详解】，①②，得，解得，将代入方程①，得，解得，方程组的解为，故答案为：．11．（2分）在平面直角坐标系中，点，在双曲线上，则（填“”或“”．【答案】【详解】在双曲线中，，可知反比例函数在第一、三象限，点，，点，在第一象限，时，在每一象限内，随着增大而减小，，故答案为：．12．（2分）若已知是一个无理数，且，请写出一个满足条件的值2（答案不唯一）．【答案】2（答案不唯一）【详解】是一个无理数，且，，可以取2，故答案为：2（答案不唯一）．13．（2分）如图，正方形中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，若正方形边长为2，则图中阴影部分的面积是．【答案】【详解】过点作于，于，将线段绕点顺时针旋转得到线段，，，是等边三角形，，，四边形是正方形，，，，，故答案为：．14．（2分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是．【答案】【详解】一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，则有，由①得：，由②得：，不等式组的解集为，则的取值范围为．故答案为：15．（2分）甲、乙两个人10次射击成绩的折线图如图所示，图上水平的直线表示平均数水平，甲、乙两人射击成绩数据的方差分别为，，则．（填“”“”或“”【答案】【详解】由折线统计图得甲运动员的成绩波动较大，，故答案为：．16．（2分）容器中有，，种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子．例如，一颗粒子和一颗粒子发生碰撞则变成一颗粒子．现有粒子10颗，粒子8颗，粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子．给出下列结论：①最后一颗粒子可能是粒子；②最后一颗粒子一定是粒子；③最后一颗粒子一定不是粒子；④以上都不正确．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）．【答案】①③【详解】（1）最后剩下的可能是粒子．10颗粒子两两碰撞，形成5颗粒子；9颗粒子中的8个两两碰撞，形成4颗粒子；所有的17颗粒子两两碰撞，剩下一颗粒子；这个粒子与剩下的一颗粒子碰撞形成粒子．（2）最后剩下的可能是粒子．10颗粒子中的9颗与9颗粒子两两碰撞，形成9颗粒子；所有的17颗粒子两两碰撞，最后剩一颗粒子；这个粒子与剩下的一颗粒子碰撞形成粒子．（3）最后剩下的不可能是粒子．、、三种粒子每一次碰撞有以下6种可能的情况：与碰撞，会产生一颗粒子，减少两颗粒子：多1个，、共减少两个）；与碰撞，会产生一颗粒子，减少两颗粒子：少1个，、总数不变）；与碰撞，会产生一颗粒子，减少两颗粒子：多1个，、共减少两个）；与碰撞，会产生一颗粒子，减少、各一颗粒子：少1个，、总数不变）；与碰撞，会产生一颗粒子，减少、各一颗粒子：多1个，、共减少两个）；与碰撞，会产生一颗粒子，减少、各一颗粒子：少1个，、总数不变），可以发现如下规律：①从粒子的角度看：每碰撞一次，粒子的数量增多一个或减少一个．题目中共有27颗粒子，经过26次碰撞剩一颗粒子，整个过程变化了偶数次，由于开始粒子共有8颗，所以26次碰撞之后，剩余的粒子个数必为偶数，不可能是1个，所以，最后剩下的不可能是粒子．②从、粒子的角度看：每次碰撞之后，、粒子总数或者不变、或者减少两个．题目中、粒子之和为19个，无论碰撞多少次，、粒子都没了是不可能的．所以，剩下的最后一颗粒子一定是或．故答案为：①③．三．解答题（共12小题，满分68分）17．（5分）计算：．【答案】见解析【详解】．18．（5分）解不等式组：．【答案】见解析【详解】，解①得：，解②得：，所以不等式组的解集为：．19．（5分）已知，求代数式的值．【答案】见解析【详解】，当时，即，原式．20．（5分）已知：线段．求作：，使得，．作法：①分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；②连接，在的延长线上截取；③连接．则为所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接．，为等边三角形三边相等的三角形是等边三角形．（填推理的依据）．，．（填推理的依据）．．在中，．【答案】见解析【详解】（1）解：图形如图所示：（2）证明：连接．，为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）．（填推理的依据）》．，（等边对等角）．（填推理的依据）．．在中，．故答案为：三边相等的三角形是等边三角形，，等边对等角．21．（6分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）若为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值及方程的两个根．【答案】（1）的取值范围为；（2）的值为2，方程的两个根为，【详解】（1）根据题意得△，解得，所以的取值范围为；（2）△，而为正整数，且方程的两个根均为整数，，此时△，，解得，，即的值为2，方程的两个根为，.22．（5分）如图，在四边形中，，，垂足为，过点作的垂线交的延长线于点．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）3【详解】（1）证明：，，，，，又，四边形是平行四边形；（2）解：，，，四边形是平行四边形，，，，，故的长为3．23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴，轴交于，两点，与直线交于点．（1）求的值及直线的函数解析式；（2）当时，满足不等式，求的取值范围；（3）若直线与的边有两个公共点，求的取值范围．【答案】（1），直线的解析式为；（2）的取值范围是；（3）若直线与的边有两个公共点，的取值范围是【详解】（1）直线经过点，，，直线的解析式为，把点代入得，，点，直线过点．，，直线的解析式为；（2）当时，满足不等式，则的取值范围是；（3）当直线过原点时，，直线过点时，，若直线与的边有两个公共点，的取值范围是．24．（6分）如图，、是的切线，切点分别是、，过点的直线，交于点、，交于点，的延长线交于点，若．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：连接，、切于点、，，，，，，，，四边形是平行四边形，；（2），，由（1）得，，，，，，，，即，．25．（5分）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．下面的表中记录了与的五组数据：（米01234（米0.51.251.51.250.5根据上述信息，解决以下问题：（1）在下面网格（图中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象；（2）若水柱最高点距离湖面的高度为米，则；（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．【答案】（1）见解析；（2）1.5；（3）公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到2.1米才能符合要求【详解】（1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示：（2）根据题意可知，该抛物线的对称轴为，此时最高，即，故答案为：1.5．（3）根据图象可设二次函数的解析式为：，将代入，得，抛物线的解析式为：，设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值大于，，解得，水管高度至少向上调节1.6米，（米，公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到2.1米才能符合要求．26．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线．（1）当抛物线过点时，求抛物线的表达式；（2）求这个二次函数的对称轴（用含的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点