专题08【五年中考+一年模拟】圆的综合题-备战2023年广东中考数学真题模拟题分类汇编(原卷版+解析)

专题08圆的综合题1．（2022•广东）如图，四边形内接于，为的直径，．（1）试判断的形状，并给出证明；（2）若，，求的长度．2．（2020•广东）如图1，在四边形中，，，是的直径，平分．（1）求证：直线与相切；（2）如图2，记（1）中的切点为，为优弧上一点，，．求的值．3．（2019•广东）如图1，在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接交于点，延长至点，使，连接．（1）求证：；（2）求证：是的切线；（3）如图2，若点是的内心，，求的长．4．（2018•广东）如图，四边形中，，以为直径的经过点，连接、交于点．（1）证明：；（2）若，证明：与相切；（3）在（2）条件下，连接交于点，连接，若，求的长．5．（2022•东莞市一模）如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连结、交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积；（3）连结，在（2）的条件下，求的长．6．（2022•东莞市校级一模）如图，是的外接圆，，为圆上一点，且，两点位于异侧，连接，交于，点为延长线上一点，连接，使得．（1）求证：为的切线；（2）当点为的中点时，求证：；（3）在（2）的条件下，若，，求的长．7．（2022•东莞市一模）如图，已知点是的外接圆的圆心，，点是弧上一点，连接并延长交过点且平行于的射线于点．（1）求证：平分；（2）判断直线与的位置关系，并证明；（3）若，，，求的长．8．（2022•东莞市一模）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，顶点恰好与边上的动点重合（点不与点，重合），折痕为，点，分别在边，上，连接，，，与相交于点．（1）求证：；（2）①在图2中，作出经过，，三点的（要求保留作图痕迹，不写作法）；②随着点在上运动，当①中的恰好与，同时相切，如图3，若，求的长．（3）在②的条件下，点是上的动点，则的最小值为．9．（2022•东莞市校级一模）如图，的直径，点为上一点，为的切线，于点，分别交，于，两点．（1）求证：；（2）若，求图中两处（点左侧与点右侧）阴影部分的面积之和．10．（2022•东莞市一模）如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且是的中点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．11．（2022•东莞市校级一模）如图1，在四边形中，，，，以为直径作恰好与相切于点．（1）求证：．（2）连接、，求证：．（3）如图2，若为的中点，连接并延长交的延长线于，当时，求出的值．12．（2022•东莞市一模）如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，于点，交的延长线于点．（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求的长．13．（2022•东莞市一模）如图，已知是的直径，为上一点，的角平分线交于点，在直线上，且，垂足为，连接、．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为3，求的长．14．（2022•中山市一模）如图，在中，以为直径的交于点，点在上，且，连接交于点，已知．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的直径．15．（2022•中山市二模）如图，点是以为直径的半圆上的动点，，连接，，，点是上一动点，连接，，且与相交于点，过点作与的延长线交于点，使得．（1）求证：是的切线；（2）当四边形是平行四边形时，判断形状，并说明理由；（3）当点为中点且时，求的长．16．（2022•中山市模拟）如图，已知，，为的直径，斜边交于点，平分，于点，的延长线与交于点．（1）求证：是切线；（2）求证：；（3）若，，求的长．17．（2022•中山市校级一模）如图所示，是的直径，点为上一点，过点作，垂足为点，连结．为的切线．（1）求证：平分．（2）若，，求弧的长度（用含的代数式表示）．18．（2022•中山市三模）如图，以线段为直径的交的边于点，连接，作平分线交于点，交于点，连接，作于点，连接，．（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）若，的面积为2，求的面积．19．（2022•中山市三模）如图，是的外接圆，为的直径，为圆外一点，连接、，且满足，．连接并延长交于、两点．（1）求证：是的切线；（2）证明：；（3）过点作垂直交于点，连接，若，求的值．20．（2022•珠海二模）如图1，在正方形中，，点，在边上，且，，以点为圆心，为半径在其左侧作半圆，分别交于点，交的延长线于点．（1）；（2）如图2，将半圆绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点为，设为半圆上一点．①当点落在边上时，求点与线段之间的最短距离；②当半圆交于，两点时，若的长为，求此时半圆与正方形重叠部分的面积；③当半圆与正方形的边相切时，设切点为，直接写出的值．21．（2022•香洲区校级一模）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线折叠得到，交于点．连接交于点，延长和相交于点，过点作交于点．（1）求证：直线是的切线；（2）求证：；（3）若，，求的值．22．（2022•香洲区校级一模）如图，以的边上一点为圆心，为半径的经过点与交于点，连，已知，．（1）求证：为的切线；（2）求；（3）设为的平分线，，求的度数及的半径．23．（2022•珠海一模）如图，在中，，为边上的一点，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交于点，过点的弦交于点不是直径），点为弦的中点，连结，恰好为的切线．（1）求证：是的切线；（2）求证：平分；（3）若，，求四边形的面积．24．（2022•香洲区校级一模）如图，已知是的直径，锐角的平分线交于点，作，垂足为，直线与的延长线交于点．（1）求证：直线为的切线；（2）当，且时，求的长．25．（2022•香洲区校级一模）如图，在平行四边形中，，垂足为点，以为直径的与边相切于点，连接交于点，连接．（1）求证：．（2）若，求的值．26．（2022•香洲区一模）如图，中，，为上的一点，以为直径的交于，连接交于，交于，连接，．（1）求证：与相切；（2）若，，求的半径；（3）若，，求（用的代数式表示）．27．（2022•香洲区校级一模）如图，在中，，与相切于点，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，连结．（1）求证：是的切线．（2）若，，求的长．28．（2022•香洲区校级一模）如图，是的直径，点在上，且，点是外一点，分别连接，、，交于点，交于点，的延长线交于点，连接，，且．（1）求证：是的切线；（2）连接，若的半径为6，，求的长．29．（2022•澄海区模拟）如图，直线与相离，过点作于点，交于点，延长交于点．点、在直线上，连接并延长交于点，连接，．（1）求证：是的切线；（2）若，，，求的半径和弦的长．30．（2022•潮南区模拟）如图，在中，，点是的中点，以为直径的与边交于点，连接．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，，求的直径．31．（2022•龙湖区一模）如图，已知点在的直径延长线上，为的切线，过作，与的延长线相交于．（1）求证：；（2）若，，求的面积；（3）在（2）的条件下，作的平分线与交于点，为的内心，求的长．32．（2022•金平区一模）如图，、为的直径，，点为上一点，点为延长线上一点，．连接，交于点．（1）证明：为的切线；（2）证明：；（3）若的半径为2，为的中点，的长．33．（2022•南海区一模）如图，为的直径，为上一点，与过点的切线互相垂直，垂足为点，交于点，连接，．（1）求证：；（2）若，，求的长．34．（2022•佛山二模）如图1，的直径为，点在上，的平分线与交于点，与交于点，，．（1）求．（2）求证：．（3）如图2，点是延长线上一点，且．求证：是的切线，并求线段的长．35．（2022•南海区二模）如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，，连接．（1）求证：是的切线；（2）连接，求证：；（3）若，，求的长．专题08圆的综合题1．（2022•广东）如图，四边形内接于，为的直径，．（1）试判断的形状，并给出证明；（2）若，，求的长度．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）是等腰直角三角形，证明过程如下：为的直径，，，，，又，是等腰直角三角形．（2）在中，，，在中，，，．即的长为：．2．（2020•广东）如图1，在四边形中，，，是的直径，平分．（1）求证：直线与相切；（2）如图2，记（1）中的切点为，为优弧上一点，，．求的值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：作于，如图1所示：则，，，，，平分，，在和中，，，，又，直线与相切；（2）解：作于，连接，如图2所示：则四边形是矩形，，，，，，，，、是的切线，由（1）得：是的切线，，，，，，，平分，，，，，，．3．（2019•广东）如图1，在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接交于点，延长至点，使，连接．（1）求证：；（2）求证：是的切线；（3）如图2，若点是的内心，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3【详解】（1），，又，，，；（2）如图1，连接，，，，，，，，，，，，为的切线；（3），，，，，，，如图2，连接，如图2，连接，，，点为内心，，又，，即，．4．（2018•广东）如图，四边形中，，以为直径的经过点，连接、交于点．（1）证明：；（2）若，证明：与相切；（3）在（2）条件下，连接交于点，连接，若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【详解】（1）连接，在和中，，，，又，，为的直径，，即，；（2），设、则，，，且，，，在中，，在中，，，，，则与相切；（3）连接，是的直径，，，，，即①，又，，，，即②，由①②可得，即，又，，，、、、、，，即，解得：．方法二：连接、，由（2）得，，，，，为的切线，，又，为等腰直角三角形，，，为的中点，，在和中，，，，，，，为等腰直角三角形，，．5．（2022•东莞市一模）如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连结、交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积；（3）连结，在（2）的条件下，求的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【详解】（1）证明：如图，连接，，，，，，，，，是的半径，是的切线；（2）解：，，，，的半径为2，，，如图，连接，是的直径，，，，，，即，，在中，，，，，，，，；（3）如图，过点作于点，连接，在中，，，，．6．（2022•东莞市校级一模）如图，是的外接圆，，为圆上一点，且，两点位于异侧，连接，交于，点为延长线上一点，连接，使得．（1）求证：为的切线；（2）当点为的中点时，求证：；（3）在（2）的条件下，若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8【详解】（1）证明：连接．是直径，，，，，，，，为的切线．（2）证明：，，，，，，，，，，．（3）解：过点作于．是直径，，，可以假设，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．7．（2022•东莞市一模）如图，已知点是的外接圆的圆心，，点是弧上一点，连接并延长交过点且平行于的射线于点．（1）求证：平分；（2）判断直线与的位置关系，并证明；（3）若，，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【详解】（1）证明：，，，．又，，平分（2）解：相切，理由如下：如图，作，连接，，，，，为的角平分线，等腰三角形平分线和垂线重合，、、共线，且，，是半径，与相切，（3）解：由（1）可知，又，，，，，，，．8．（2022•东莞市一模）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，顶点恰好与边上的动点重合（点不与点，重合），折痕为，点，分别在边，上，连接，，，与相交于点．（1）求证：；（2）①在图2中，作出经过，，三点的（要求保留作图痕迹，不写作法）；②随着点在上运动，当①中的恰好与，同时相切，如图3，若，求的长．（3）在②的条件下，点是上的动点，则的最小值为．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②3；（3）【详解】（1）证明：将矩形纸片沿直线折叠，顶点恰好与边上的动点重合，，四边形是矩形，，又，；（2）解：①作出经过，，三点的如下：②设与相切于，连接，过作于，如图：，在上，与相切，，，将矩形纸片沿直线折叠，顶点恰好与边上的动点重合，，，，，，设，则，，，与相切，，四边形是矩形，，，，，，，即，解得，的长是3；（3）解：过作于，连接交于，如图：由（2）知，，，，半径为，为中点，，是的中位线，，，，在中，，当为与交点时，最小，此时，故答案为：．9．（2022•东莞市校级一模）如图，的直径，点为上一点，为的切线，于点，分别交，于，两点．（1）求证：；（2）若，求图中两处（点左侧与点右侧）阴影部分的面积之和．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：连接，为的切线，，，，，，，，，，，；（2）过点作，垂足为，是的直径，，，，，，，是等边三角形，，，，，，阴影部分的面积之和的面积扇形的面积扇形的面积的面积，阴影部分的面积之和为．10．（2022•东莞市一模）如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且是的中点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：连接，是的中点，．，．．．，．，．又为半圆的半径，是的切线；（2）设的半径为，，，，由勾股定理得：，解得：．．，．，，．11．（2022•东莞市校级一模）如图1，在四边形中，，，，以为直径作恰好与相切于点．（1）求证：．（2）连接、，求证：．（3）如图2，若为的中点，连接并延长交的延长线于，当时，求出的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【详解】（1）证明：连接，，，，，与都与相切，与相切于点，，，；（2）证明：连接、，在和中，，，，同理，，，，，，，，又，；（3）解：，，是等腰直角三角形，，，，又，是等腰直角三角形，，作于点，，，，，，，设，，为的中点，，，，，，在中，，，，．12．（2022•东莞市一模）如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，于点，交的延长线于点．（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）3【详解】（1）证明：如图，连接，，，，，，，，，，，，，是的半径，直线是的切线．（2）解：如图，，，是的直径，，由（1），可得，，，，在和中，，，，，，，，解得，，即的长是3．13．（2022•东莞市一模）如图，已知是的直径，为上一点，的角平分线交于点，在直线上，且，垂足为，连接、．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为3，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）如图，连接，，，平分，，，，，，，，即，是的切线；（2）是的直径，，，则，在中，，，，即，解得，由（1）知是的切线，，，，，则，在中，，由勾股定理可得，，即，解得，则，由（1）知，，即，解得．14．（2022•中山市一模）如图，在中，以为直径的交于点，点在上，且，连接交于点，已知．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的直径．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：，，是直径，，，，，，，又是直径，是的切线；（2），，，，，，，，，，，．15．（2022•中山市二模）如图，点是以为直径的半圆上的动点，，连接，，，点是上一动点，连接，，且与相交于点，过点作与的延长线交于点，使得．（1）求证：是的切线；（2）当四边形是平行四边形时，判断形状，并说明理由；（3）当点为中点且时，求的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【详解】（1）证明：为的直径，，，，，，，，，，，为的半径，是的切线；（2）解：是等边三角形；理由：如图1，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，，，，，是等边三角形；（3）解：如图2，连接，，点是的中点，，，，过点作于，，，在中，，，在中，，设，则，，在中，根据勾股定理得，，，或，，，，根据勾股定理得，．16．（2022•中山市模拟）如图，已知，，为的直径，斜边交于点，平分，于点，的延长线与交于点．（1）求证：是切线；（2）求证：；（3）若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【详解】（1）连接，平分，，，，，，，，点在上，是的切线；（2）连接，为的直径，，，为的直径，为的切线，又是的切线，，，，，，又，；（3），，，，，，，．17．（2022•中山市校级一模）如图所示，是的直径，点为上一点，过点作，垂足为点，连结．为的切线．（1）求证：平分．（2）若，，求弧的长度（用含的代数式表示）．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：与相切于点，，，，，，，，即平分；（2）解：，，，，，是正三角形，弧的长度为．18．（2022•中山市三模）如图，以线段为直径的交的边于点，连接，作平分线交于点，交于点，连接，作于点，连接，．（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）若，的面积为2，求的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）72【详解】（1）证明：为的直径，点在上，，，，，，是的直径，是的切线；（2）证明：连接，过点作交于，平分，，，，，是等腰直角三角形，，，、、三点共线，；（3）解：，，，设，则，，由（2）知，，，，，，，，，，，，．19．（2022•中山市三模）如图，是的外接圆，为的直径，为圆外一点，连接、，且满足，．连接并延长交于、两点．（1）求证：是的切线；（2）证明：；（3）过点作垂直交于点，连接，若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【详解】（1）证明：为的直径，，，．．，，，是半径，是的切线：（2）证明：，，为的垂直平分线，，由（1）得：，，，，，，；（3）解：设的面积为，则的面积为，，的面机为，的面积为，，，，，，，，的面积为，，设，则．，，．20．（2022•珠海二模）如图1，在正方形中，，点，在边上，且，，以点为圆心，为半径在其左侧作半圆，分别交于点，交的延长线于点．（1）；（2）如图2，将半圆绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点为，设为半圆上一点．①当点落在边上时，求点与线段之间的最短距离；②当半圆交于，两点时，若的长为，求此时半圆与正方形重叠部分的面积；③当半圆与正方形的边相切时，设切点为，直接写出的值．【答案】（1）6；（2）①1；②；③【详解】（1）连接，如图1，正方形中，，，，，，，，，故答案为：6；（2）①如图2，过点作于点，交半圆于点，反向延长交于点，则，根据三点共线及垂线段最短可得此时点到的距离最短，，四边形是矩形，，．点是的中点，点是的中点，，，，，，，即半圆的半径为5，，即点到的最短距离为1；②由①可知半圆的半径为5，如图3，设的度数为，由题意得，的长为，，，，，△是等边三角形，，此时半圆与正方形重叠部分的面积为；③当半圆与正方形的边相切时，如图4，过点作，与的延长线交于点，作于点，则，，，，，，，，，；当半圆与正方形的边相切时，如图5，此时与重合，则，，，，综上，．21．（2022•香洲区校级一模）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线折叠得到，交于点．连接交于点，延长和相交于点，过点作交于点．（1）求证：直线是的切线；（2）求证：；（3）若，，求的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【详解】（1）证明：将沿直线折叠得到，．点在的垂直平分线上．同理得：点在的垂直平分线上．即，．．是的半径，直线是的切线；（2）证明：为的直径，．．，．．，．．．，；（3）解：，，．．，．，．，．．，．，，．，．．解得：或（舍去）．，，．22．（2022•香洲区校级一模）如图，以的边上一点为圆心，为半径的经过点与交于点，连，已知，．（1）求证：为的切线；（2）求；（3）设为的平分线，，求的度数及的半径．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【详解】（1）证明：是的直径，，即，，，，，，，，为半径，为的切线；（2）解：，，，，，，，设，，，，；（3）解：设与相交于点，为的平分线，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，由（2）得，，，，，，，，的半径为．23．（2022•珠海一模）如图，在中，，为边上的一点，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交于点，过点的弦交于点不是直径），点为弦的中点，连结，恰好为的切线．（1）求证：是的切线；（2）求证：平分；（3）若，，求四边形的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）20【详解】（1）证明：连接，，为直径，点为弦的中点，，垂直平分，，，，，，为的切线，，，，是的半径，是的切线；（2）证明：，，，，，，平分；（3）解：为的直径，点为弦的中点，，，，，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，，，，，，，，设，则，，，，或（不合题意舍去），，四边形的面积．24．（2022•香洲区校级一模）如图，已知是的直径，锐角的平分线交于点，作，垂足为，直线与的延长线交于点．（1）求证：直线为的切线；（2）当，且时，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：如图，连接，平分，，，，，，，，是直径且在半径外端，为的切线；（2）解：，，，设，，在中，根据勾股定理得：，即，，，．25．（2022•香洲区校级一模）如图，在平行四边形中，，垂足为点，以为直径的与边相切于点，连接交于点，连接．（1）求证：．（2）若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，是的半径，是的切线，又是的切线，，同理可得，，．（2）解：连接，相交于点，四边形是平行四边形，，．，设，则，，，在中，，，，是的两条切线，，，，，在中，，，，，，，．26．（2022•香洲区一模）如图，中，，为上的一点，以为直径的交于，连接交于，交于，连接，．（1）求证：与相切；（2）若，，求的半径；（3）若，，求（用的代数式表示）．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【详解】（1）证明：，，，，，，，即，，是半径，与相切；（2）解：，，，，，，，，的直径为；（3）解：为的直径，，，又，，，，，，，，．，又，，，．．27．（2022•香洲区校级一模）如图，在中，，与相切于点，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，连结．（1）求证：是的切线．（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）3【详解】（1）证明：连接，如图，，．，．与相切于点，．．．在和中，，．．是的切线．（2）由（1）得：，，．．，，，，．．在中，．28．（2022•香洲区校级一模）如图，是的直径，点在上，且，点是外一点，分别连接，、，交于点，交于点，的延长线交于点，连接，，且．（1）求证：是的切线；（2）连接，若的半径为6，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1），，，，，即，是的切线；（2）过点作于，的半径为6，，，，，在中，，由三角形的面积公式可得，，即，，又，在中，．29．（2022•澄海区模拟）如图，直线与相离，过点作于点，交于点，延长交于点．点、在直线上，连接并延长交于点，连接，．（1）求证：是的切线；（2）若，，，求的半径和弦的长．【答案】（1）见解析；（2）；【详解】（1）证明：连接，如图，，，，．，，．，，即，．为圆的半径，是的切线；（2）解：连接，如图，圆的半径为，，，．．，，，，．解得：．．是的直径，，．，，．，，．30．（2022•潮南区模拟）如图，在中，，点是的中点，以为直径的与边交于点，连接．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，，求的直径．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）直线与相切