江苏省2024-2025学年八年级上学期期中专题复习最值问题专题训练

2024-2025学年度江苏省八年级上学期期中专题复习最值问题专题训练一、单选题1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，点P是的平分线上一点，于点E，点F为射线上一点．若，则长的最小值是（

）

A．4 B．5.5 C．6 D．82．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，，线段的两个端点D、E分别在边上滑动，且，若点M、N分别是的中点，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．3.5 D．43．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，面积是24，的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（

）A．8 B．10 C．12 D．144．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，等边的边长为4，过点B的直线，且与关于直线l对称，D为线段上一动点，则的最小值是（

）

A．6 B．12 C．8 D．5．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若，，，则周长的最小值是（

）A．9 B．10 C． D．11二、填空题6．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，．直线，是上一动点．则的最小值是．7．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点D，E分别是边上的两点，连接，，已知，，则的最小值的平方是．8．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，则的最小值是．

9．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，为等边的BC边上的高，E、F分别为线段上的动点，且，若时，则的最小值为，若时，的最小值为．10．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）中，为边上的中线，N为的中点，M为上一动点，的最小值

11．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在等边中，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接，则的最小值的平方为．12．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点是的中点，、在射线与射线上运动，且满足，则在运动过程中面积的最小值为．13．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在锐角中，AB＝＝10，，的平分线交于点，点，分别是AD和AB上的动点，则的最小值是．14．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，和都是等腰三角形，，，且，，点是线段上一动点，时，线段取得最小值．15．（23-24八年级上·江苏南京·期中）已知，M是边OA上的一个定点，且，N、P分别是边、上的动点，则的最小值是．16．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，，点分别在射线上，，，点P是直线上的一个动点，点P关于的对称点为，点P关于的对称点为，连接、、，当点P在直线上运动时，则面积的最小值是．17．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点D，，P为上一动点，则的最小值为．18．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在锐角中，，，，是边上的一动点，点关于直线，的对称点分别是，，连接，则的最小值为．

19．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，，点是边上的一个动点，连接，以为边作，使，为的中点，连接，则线段的最小值为．20．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）已知等边中，，，若点P在线段上运动时，的最小值为．21．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，点D是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点D在运动过程中，线段长度的最小值是．三、解答题22．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，长方形中，，，点P在边上，且不与点B、C重合；将沿直线AP折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F．(1)证明；(2)当P为中点时，求的值；(3)连接，求周长的最小值；23．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）（1）在中，，，则__；（2）如图1，在中，，点D在边上且，求点D到边的距离．（3）如图2，在中，，点P是边上一动点，将沿着过点P的直线翻折，使点C恰好落在边上，求的最小值．24．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）如图1，直线．，垂足为O，直线l分别与射线、相交于点、，且，，连接．(1)求线段的长；(2)若点C为直线l上的一个动点，求点O到点C的距离的最小值；(3)如图2，将沿直线l折叠，点O落在点D处，，垂足为点E，求的长；(4)若点F从点O出发，速度为，沿着射线方向运动，当点F的运动时间t为何值时，以为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出t的值）．25．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，点为的中点，，过点E分别作、，垂足分别为，，连接，．

(1)求证：平分；(2)若，求的度数；(3)若，，点分别为、上的动点，直接写出的最小值．26．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，，，点P从A点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接．设点P运动的时间为t秒．

(1)的长为；(2)当t为秒时，线段的长最小，且长的最小值为；(3)当t为秒时，为等腰三角形．（请直接填空）27．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图：在中，，，，动点从出发沿射线以的速度运动，设运动时间为秒．(1)当______时，平分的面积．(2)当为等腰三角形时，求的值．(3)若点、分别为、上的动点，请直接写出的最小值．28．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，点F是边上一点，．用直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹），并回答问题：(1)在边上作点D，使得点D到边的距离相等；(2)在射线上作点E，使得点E到点A、点C的距离相等；(3)若点P是射线上一个动点，当取最小值时，在图中作出符合要求的点P，的最小值是．29．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，，点O在边上运动（O不与B、C重合），点D在线段上，连结，．点O运动时，始终满足．(1)当时，判断的形状并说明理由；(2)当的最小值为2时，此时；(3)在点O的运动过程中，的形状是等腰三角形时，求此时的度数．30．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：．【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题．【方法应用】

(1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接．①如图2，若点在边上，求证：．②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论）(2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明．(3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由参考答案1．C【详解】解：∵直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短，∴时长有最小值，∵点P是的平分线上一点，于点E，，∴时，，∴长的最小值是6，故选C．2．A【详解】解：如图，连接、，中，，，，∵，点、分别是、的中点，∴，，∵，∴当、、在同一直线上时，取最小值，∴的最小值为：．故选：A．3．D【详解】解：连接，．∵是等腰三角形，点D是边的中点，∴，∴，解得，∵是线段的垂直平分线，∴点C关于直线的对称点为点A，∴，∵，∴的长为的最小值，∴的周长最短．故选：D．4．C【详解】解：如图所示，连接，∵是边长为4的等边三角形，∴，∵与关于直线l对称，∴也是边长为4的等边三角形，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴当三点共线时最小，即此时最小，最小值为，故选C．5．A【详解】解：如图，直线m与交于点D，∵直线m垂直平分，∴B、C关于直线m对称，∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，∴周长的最小值是．故选：A6．5【详解】如图，延长至点G，使，连接交于点F，连接，

∵，，∴，即∴，∵，∴当A、D、G三点共线时，的值最小，即线段的长度，∵，，，∴∴,∴的值最小值为5，故答案为：5．7．136【详解】过点作，并使得连接，则，∴，

∵在中，，∴，∵，∴，∴，∴，连接CF，即可得知CF的长度即为的最小值，也就是的最小值，∵，∴，，故答案为：．8．【详解】解：连接，过点F作交延长线于点，

将绕点顺时针旋转到，，且，∴,，在和中，，，，，，，，点在的射线上运动，作点关于的对称点，，，，，，是的角平分线，即点在的角平分线上运动，点在的延长线上，当三点共线时，最小，在中，，，的最小值为，故答案为：．9．【详解】解：当时，取得最小值，∵是边长为2的等边三角形，∴，∴；即的最小值为；如图，作，且，连接交于M，连接，∵是等边三角形，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴当B、F、H共线时，如图2，的值最小，即的长，此时是等腰直角三角形，且，∴，故答案为：；．10．【详解】解：∵是边上的中线，∴垂直平分，∴点C与点Ａ关于对称，连接交于M，则此时的值最小，且，

∵D为的中点，，∴，∴，过A作于点G，∵．∴∴∵N为的中点，∴∴∴，∴的最小值为，故答案为：11．3【详解】解：是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，在与中，，，，作点D关于的对称点G，连接，则，的最小值即为线段的长，，，，是等边三角形，，，，，的最小值的平方为：，故答案为：3．12．【详解】解：∵，，点是的中点，∴，，，且，在和中，，∴∴，，∵，∴，即：，∴为等腰直角三角形，当时，最短，的面积最小，此时，，故答案为：13．5【详解】如图，在上取一点，使，连接，是的平分线，，在和中，，，，，由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，又由垂线段最短得：当时，取得最小值，，，解得，即的最小值为，故答案为：．14．4【详解】解：∵两点之间，线段最短，∴当B，A，E三点共线时，线段取得最小值．∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴点D为的中点，∴，故答案为：4．15．4【详解】解：作M关于的对称点Q，过Q作于N，交于P，连接，如图，∵作点M、点Q关于的对称，∴，∴，根据垂线段最短可知：当时，最小，∴根据作图可知此时：最小，且最小为，∵，作点M、点Q关于的对称，，∴，，∴，∵，∴在中有：，∴，故答案为：4．16．18【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，∵，且，∴，∵点关于对称的点为，点关于对称的点为，∴的面积为，由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，面积的最小值是故答案为：18．17．5【详解】解：当时，根据垂线段最短可知，此时的值最小．由作图可知：平分，，，，，的最小值为5，故答案为：5．18．8【详解】解：连接，，，，，如图所示：

因为点关于直线，的对称点分别是，，所以是的垂直平分线，是的垂直平分线，则，，，即，所以是等边三角形，则，当时，取最小值，因为，，所以当时，取最小值，因为，上的高，所以的最小值，故答案为：8．19．2【详解】解：如图，取中点，连接，，，点是中点，点是中点，∴，，，∴，∴，，，，在和中，，≌，∴，有最小值，也有最小值，当时，有最小值，，，，∴，线段的最小值为．故答案为：．20．12【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵，∴，过点P作于点E，如图所示：∴，∴，∴当取最小时，即为最小，∴当点B、P、E三点共线时且时最小，如图所示：∵为等边三角形，∴，∴最小值为；故答案为：12．21．3【详解】解：如图，取的中点Q，连接，

∵，∴，，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴当时，最小，此时的值最小，在中，∵，∴，∴的最小值为3．故答案为：322．(1)证明见解析(2)(3)12【详解】（1）解：∵四边形是长方形，∴，∴，由折叠的性质可知，∴，∴（2）解：∵P是的中点，∴，由折叠的性质可知，设，则，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴；（3）解：由题意得，∴要使的周长最小，即要使最小，∴当三点共线时最小，连接，在中，由勾股定理得，∴，∴的周长最小值为；23．（1）12；（2）；（3）3【详解】（1）过点A作，于点E，∵，，∴.在中，，∴.故答案为：12；（2）过点D作，交的延长线于点F，过点A作，垂足为E，连接，∵，，∴，∴在中，∴.∵，∴，∴，∴；（3）设点C落在AB上的G点，由翻折得，所以当时最小.设则，，∴，∴，∴，∴的最小值为3．24．(1)(2)(3)(4)或或【详解】（1）解：，，，，；（2）解：如图，过O作于点C，此时最小．，，故点O到点C的距离的最小值为：；（3）解：连接交于点C，如图所示：由折叠的性质可知，，垂直平分，，，，设，则，在中，，在中，，，解得：，；（4）解：①如图，当时，是等腰三角形，，，点F速度为，运动的时间；②如图，当时，是等腰三角形，由（1）可知，，，，，点F速度为，运动的时间；③如图，当时，是等腰三角形，设，则，在中，，，解得：，即，点F速度为，运动的时间；综上可知，当点F的运动时间t为或或时，以为顶点的三角形是等腰三角形．25．(1)见解析；(2)；(3)【详解】（1）证明：连接，如图所示：

∵、，∴∵为的中点，，∴DE垂直平分，∴，∴，∴，∴平分；（2）解：∵、，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（3）解：∵平分，、，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，解得：，即，∴，过点作于点，过点作于点，如图所示：

∵，∴四边形为矩形，∴，，∵，∴，∴设，，则，，在和中，由根据勾股定理得：，∴，，联立整理得：，解得：，（舍去），∴，∴，作点关于的对称点，连接，，如图所示，∵为的平分线，∴点关于的对称点一定在上，根据对称性可知，，∴，∵两点之间线段最短，∴，∵垂线段最短，∴，∴，∴的最小值为的长，即的最小值为．26．(1)10(2)3.6；4.8(3)2或5【详解】（1）解：，，，，故答案为：10；（2）解：当点P运动到，时，线段的长最小，如图，

此时，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴．∴当t为3.6秒时，线段的长最小，且长的最小值为4.8．（3）解：①当时，，；②当时，即，，，，，，；③在线段上移动，所以，故不存在；综上所述，或5．27．(1)(2)或或(3)【详解】（1）解：由题意，得：当为中点时，平分的面积，∵，，，∴，∴，∴；故答案为：；（2）解：①当时，如图：∵，∴，在中：，即：，解得：；②当时，如图：即：，解得：；③当时，如图：∵，∴，∴，即：，解得：