专项18利用垂径定理求线段长度(原卷版+解析)

专项18利用垂径定理求线段长度考点1垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.符号语言：∵CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，∴AE＝BE,推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.∵CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦（不是直径），且AE＝BE.弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分考点2垂径定理的应用经常为未知数，结合方程于勾股定理解答【典例1】（2021九上·温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D.已知OC=5，OD=4，则弦AB的长为()A．3 B．4 C．5 D．6【变式1-1】（2021九上·平谷期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CDAB，垂足为点E，若⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（）A．3 B．2 C．1 D．3【变式1-2】（2022九上·东阳期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7【变式1-3】（2021九上·东营月考）如图，将一个半径为2cm的圆形卡片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（）A．2cm B．3cm C．23cm D．2【典例2】（2021九上·上高月考）《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为寸.【变式2-1】（2021九上·五常期末）如图，某小区的一个圆形管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部的距离为20cm，则修理工人应准备的新管道的内直径是cm．【变式2-2】（2021九上·杭锦后旗月考）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，CD=4，EM=6，则CED所在圆的半径是．【变式2-3】（2021九上·温州月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示.已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米.【典例3】（2021九上·黔西南期末）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN=4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施.【变式3-1】（2020九上·广东开学考）有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米，这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由.1.（2021九上·宁波月考）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm2．（2021九上·余杭月考）如图，已知⊙O的半径为4，直径AB垂直于弦CD，垂足为点E.若∠B＝22.5°，则CD长度为（）A．22 B．4 C．423．（2021九上·丰台期末）数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径．如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交AB于点D，连接CD，经测量AB=8cm，CD=2cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为cm．4.（2021九上·鄂尔多斯期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么AE的长为；5．（2020九上·台山期末）如图，以点O为圆心的两个同心圆的半径分别等于3和6，大圆的弦AB是小圆的切线，则AB=．6．（2021九上·长沙月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC长为.7.（2021九上·南宁月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8cm，MB＝2cm，则直径AB的长为cm.8．（2021九上·香洲期末）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝6，求CED所在圆的半径．9.（2020九上·金昌期中）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点.求证：AP=BP.10.（2020九上·金华期中）2020年8月4日，台风“黑格比”来袭，东阳南马镇被雨水“围攻”．如图，当地有一座圆弧形拱桥，跨度AB=60m，拱高PM=18m，当洪水泛滥，水面跨度缩小到30m时要采取紧急措施，当时测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有4m时，问是否需要采取紧急措施？请说明理由．专项18利用垂径定理求线段长度考点1垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.符号语言：∵CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，∴AE＝BE,推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.∵CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦（不是直径），且AE＝BE.弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分考点2垂径定理的应用经常为未知数，结合方程于勾股定理解答【典例1】（2021九上·温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D.已知OC=5，OD=4，则弦AB的长为()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解答】解：∵OC⊥AB，

∴AD=DB，

∵OC=OB=5，OD=4

∴在Rt△ODB中，由勾股定理得：BD=OB2−OD2=52−4A．3 B．2 C．1 D．3【答案】B【解答】解：连接OC，如图∵AB为⊙O的直径，CDAB，垂足为点E，CD=8，∴CE=1∵AO=CO=5，∴OE=C∴AE=5−3=2；故答案为：B．【变式1-2】（2022九上·东阳期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7【答案】D【解答】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面CD，作ON⊥AB与CD、AB的交点为M、N由题意知OM⊥CD，CM=MD=12在Rt△BON中，由勾股定理得ON=在Rt△DOM中，由勾股定理得OM=∴MN=ON−OM=1cm②如图2，宽度为8cm的油面EF，作PN⊥EF与AB、EF的交点为N、P，连接OB由题意知PN⊥AB，EP=PF=12在Rt△BON中，由勾股定理得ON=在Rt△EPO中，由勾股定理得OP=∴NP=ON+OP=7cm∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；故答案为：D.【变式1-3】（2021九上·东营月考）如图，将一个半径为2cm的圆形卡片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（）A．2cm B．3cm C．23cm D．2【答案】C【解答】解：如图，连接OA，连接点O关于AB的对称点E，交AB于点D，由折叠得OD=DE=12OE=1cm，OD⊥∴AD=BD=12在Rt△AOD中，OD∴AD=OA∴AB=2AD=23故答案为：C．【典例2】（2021九上·上高月考）《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为寸.【答案】26【解答】如图，设⊙O的半径为r，过O作OD⊥AB于D，延长OD与⊙O交于E，连接AO，在Rt△AOD中，AD=12AB=5寸，OD=OE−DE=r−1由勾股定理可得AD2+O解得r=13，∴该圆材的直径为26寸，故答案为26【变式2-1】（2021九上·五常期末）如图，某小区的一个圆形管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部的距离为20cm，则修理工人应准备的新管道的内直径是cm．【答案】100【解答】解：如图所示，作管道圆心O，管道顶部为A点，污水水面为BD，连接AO，AO与BD垂直相交于点C．设AO=OB=r则OC=r-20，BC=1有Or化简得r=50故新管道直径为100cm．故答案为：100．【变式2-2】（2021九上·杭锦后旗月考）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，CD=4，EM=6，则CED所在圆的半径是．【答案】10【解答】解：如图，连接OC，∵M是CD的中点，CD=4，∴CM=1∵EM⊥CD，∴EM过⊙O的圆心O，设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=EM-OE=6-r，在Rt△COM中，OM∴(6−r)2解得：r=10即CED所在圆的半径是103故答案为：10【变式2-3】（2021九上·温州月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示.已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米.【答案】26【解答】解：作OE⊥AB，作DF⊥OE，如下图：则四边形CDFE为矩形，DF=EC，EF=CD=14，∵OE⊥AB，∴BE=1∴CE=DF=BC+BE=24，设OF=x，则OE=OF+EF=x+14，由勾股定理可得：OBOD∵OB=OD，∴x2解得x=10，OD=O故半径长为26米.故答案为：26.【典例3】（2021九上·黔西南期末）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN=4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施.【答案】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连结OA，OA设半径为x(m)则OA=OA'=OP=x(m)由垂径定理可知AM=BM，A'N=B'N∵AB=60m，∴AM=30m，且OM=OP−PM=(x−18)m在RtΔAOM中，由勾股定理可得A即x2=∴ON=OP−PN=34−4=30(m)在ΔA'ON中，由勾股定理可得A'N=∴A'B'=32m>30m∴不需要采取紧急措施.【变式3-1】（2020九上·广东开学考）有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米，这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由.【解答】解：如图，

设M，N为卡车的宽度，

过M，N作AB的垂线交半圆于点C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，

则CD=MN=1.6，AB=2，

∴CE=DE=0.8，

∵OC=OA=1，

在Rt△OCE中，OE=OC2−CE2=121.（2021九上·宁波月考）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】C【解答】解：连接OA，则OA=10cm，∵OC⊥AB，OC过点O，AB=16cm，∴∠ODA=90°，AD=BD=8cm，在Rt△ODA中，由勾股定理得OD=OA∵OC=10cm，∴CD=OC-OD=4cm.故答案为：C.2．（2021九上·余杭月考）如图，已知⊙O的半径为4，直径AB垂直于弦CD，垂足为点E.若∠B＝22.5°，则CD长度为（）A．22 B．4 C．42【答案】C【解答】解：∵CD⊥AB，∴CE=DE，∵∠AOC=2∠B=2×22.5°=45°，∴△OCE为等腰直角三角形，∴CE=22OC=22×4=∴CD=2CE=42故答案为：C.3．（2021九上·丰台期末）数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径．如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交AB于点D，连接CD，经测量AB=8cm，CD=2cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为cm．【答案】5【解答】解：设圆心为O，连接OB．Rt△OBC中，BC＝12根据勾股定理得：OC2＋BC2＝OB2，即：（OB−2）2＋42＝OB2，解得：OB＝5；故轮子的半径为5cm．故答案为：5．4.（2021九上·鄂尔多斯期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么AE的长为；【答案】2【解答】解：连接OC，如图，∵AB是⊙O的直径，AB＝10，∴OC＝OA＝5，∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝12在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4，∴OE＝52∴AE＝OA−OE＝5−3＝2，故答案为：2．5．（2020九上·台山期末）如图，以点O为圆心的两个同心圆的半径分别等于3和6，大圆的弦AB是小圆的切线，则AB=．【答案】6【解答】解：连接OP、OA，如图，∵大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，∴OP⊥AB，∴AP=BP，在Rt△AOP中，∵OP=3，OA=6，∴AP=OA∴AB=2AP=63故答案为636．（2021九上·长沙月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC长为.【答案】5【解答】解：∵CD⊥AB，∴CE=DE=12设OC=OA=r，则OE=r-1，在Rt△COE中，由OC2=OE2+CE2知r2=（r-1）2+22，解得r=52，即⊙O的半径OC为5故答案为：527.（2021九上·南宁月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8cm，MB＝2cm，则直径AB的长为cm.【答案】10【解答】解：连接OC，设⊙O的半径是rcm，则OB＝OC＝rcm，∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8cm，∴CM＝DM＝4cm，∠OMC＝90°，由勾股定理得：OC2＝OM2+CM2，r2＝42+（r﹣2）2，解得：r＝5，即⊙O的半径是5cm，∴直径AB的长是10cm