(冲刺高分必刷)专题15挑战四边形和旋转综合应用压轴(原卷版+解析)

冲刺高分必刷专题15挑战四边形和旋转综合应用压轴1．（2022•阜新）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF．（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；（2）直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；②如图3，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．2．（2022•南通）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM＝AB；（2）当AE＝3时，求CF的长；（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．3．（2022•通辽）已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．（1）如图1，当点G在AD上，F在AB上，求的值为多少；（2）将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），如图2，求的值为多少；（3）AB＝8，AG＝AD，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），当C，G，E三点共线时，请直接写出DG的长度．4．（2022•营口）如图1，在正方形ABCD中，点M为CD边上一点，过点M作MN⊥CD且DM＝MN，连接DN，BM，CN，点P，Q分别为BM，CN的中点，连接PQ．（1）证明：CM＝2PQ；（2）将图1中的△DMN绕正方形ABCD的顶点D顺时针旋转α（0°＜α＜360°）．①（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过程；若不成立，请说明理由；②若AB＝10，DM＝2，在△DMN绕点D旋转的过程中，当B，M，N三点共线时，请直接写出线段PQ的长．5．（2022•江西）综合与实践问题提出某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．操作发现（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为；类比探究（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；拓展应用（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．（参考数据：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2﹣）6．（2022•自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝，EF＝；（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离．7．（2021•日照）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①＝；②直线AE与DF所夹锐角的度数为．（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为．8．（2021•南通）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠ABE＝α．（1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；（2）过点C作CG⊥直线AF，垂足为G，连接DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由；（3）将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当△BFH为等腰三角形时，求sinα的值．9．（2021•烟台）有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，连接BF，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于点N．【观察猜想】（1）线段DE与AM之间的数量关系是，位置关系是；【探究证明】（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．10．（2021•鄂尔多斯）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．（1）尝试解决：如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M是BC上的一点，BM＝1cm，CM＝2cm，将△ABM绕点A旋转后得到△ACN，连接MN，则AM＝cm．（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD中，AB＝AD＝a，CB＝CD，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D，点P、Q分别是AB、AD上的点，且∠PCB+∠QCD＝∠PCQ，求△APQ的周长．（结果用a表示）（3）拓展应用：如图③，已知四边形ABCD，AD＝CD，∠ADC＝60°，∠ABC＝75°，AB＝2，BC＝2，求四边形ABCD的面积．11．（2021•辽宁）在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点F，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．12．（2021•齐齐哈尔）综合与实践数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．（1）∠EAF＝°，写出图中两个等腰三角形：（不需要添加字母）；转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为；（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则＝；剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．（4）求证：BM2+DN2＝MN2．13．（2021•宿迁）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．（1）如图①，连接BG、CF，求的值；（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积．14．（2021•眉山）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当点D在△ABC内部，且∠ADC＝90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长；（3）将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长．15．（2021•浙江）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．16．（2020•阜新）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．（1）如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周．①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH＝CH；②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．17．（2020•益阳）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长；②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．18．（2020•邵阳）已知：如图①，将一块45°角的直角三角板DEF与正方形ABCD的一角重合，连接AF，CE，点M是CE的中点，连接DM．（1）请你猜想AF与DM的数量关系是．（2）如图②，把正方形ABCD绕着点D顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）．①AF与DM的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN）②求证：AF⊥DM；③若旋转角α＝45°，且∠EDM＝2∠MDC，求的值．（可不写过程，直接写出结果）19．（2020•山西）综合与实践问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．猜想证明：（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；解决问题：（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．20．（2020•内江）如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．（1）连接CQ，求证：AP＝CQ；（2）若AP＝AC，求CE：BC的值；（3）求证：PF＝EQ．21．（2020•郴州）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．22．（2020•湘西州）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由；实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°．试求此时两舰艇之间的距离．23．（2020•河南）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为，连接BD，可求出的值为；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．24．（2020•贵阳）如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是，位置关系是；（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．25．（2019•朝阳）如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将△ABC绕点A逆时针旋转α得△AEF，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD．（1）如图1，当α＝45°时，请直接写出OE与OD的关系（不用证明）．（2）如图2，当45°＜α＜90°时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）当α＝360°时，若AB＝4，请直接写出点O经过的路径长．26．（2019•通辽）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图2，求证：BE⊥DQ；②如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．27．（2023•深圳模拟）过四边形ABCD的顶点A作射线AM，P为射线AM上一点，连接DP．将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，记旋转角∠PAQ＝α，连接BQ．（1）【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形ABCD是正方形，且α＝90°．无论点P在何处，总有BQ＝DP，请证明这个结论．（2）【类比迁移】如图2，如果四边形ABCD是菱形，∠DAB＝α＝60°，∠MAD＝15°，连接PQ．当PQ⊥BQ，AB＝时，求AP的长；（3）【拓展应用】如图3，如果四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8，AM平分∠DAC，α＝90°．在射线AQ上截取AR，使得AR＝AP．当△PBR是直角三角形时，请直接写出AP的长．28．（2022•郧西县模拟）如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．（1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．29．（2022•余江区二模）问题情境：如图1，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8．E为边BC上一点，沿直线DE将矩形折叠，使点C落在AB边的点C'处．猜想验证：（1）填空：AC′'的长为．（2）如图2，将△DC′E沿线段AB向右平移，使点C'与点B重合，得到△D'BE'，D'E'与BC交于点F，D'B与DE交于点G．①求EF的长；②连接GF，EE'，则四边形GEE'F是平行四边形吗？若是，予以证明；若不是，请说明理由．拓展研究：（3）如图3，将△D′BE'沿点B按逆时针方向旋转一定角度α（0°＜α＜90°），D′E分别交DE和BC于点M和点N．当D'B∥DE时，分别求出tanα的值和线段MN的长．30．（2022•林州市二模）如图1，四边形ABCD为正方形，点E为其边BC上一点，以CE为边在正方形ABCD右侧作正方形CEFG，将正方形CEFG绕点C逆时针旋转，记旋转角为α（0°＜α＜360°），连接AF、BG，直线AF、BG交于点M．（1）当α＝90°时，∠AMB＝°；当α＝270°时，∠AMB＝°；（2）在旋转过程中，∠AMB的度数是否为定值？如果是，请就图2的情况予以证明；如果不是，请说明理由．（3）若BC＝3，CE＝1，当A、E、F三点在同一条直线上时，请直接写出线段BM的长度．31．（2022•南阳二模）综合与实践【动手操作】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，AB＝6，AD＝5．先将矩形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，沿MN剪开得到两个矩形．矩形AMND保持不动，将矩形MBCN绕点M逆时针旋转，点N的对应点为N'．【探究发现】（1）如图②，当点C与点D重合时，MN'交AD于点E，BC交MN于点F，此时两个矩形重叠部分四边形MEDF的形状是菱形，面积是；（2）如图③，当点N落在AD边上时，BC恰好经过点N，N'C与DN交于点G，求两个矩形重叠部分四边形MN'GN的面积；【引申探究】（3）当点N'落在矩形AMND的对角线MD所在的直线上时，直线N'C与直线DN交于点G，请直接写出线段DG的长．冲刺高分必刷专题15挑战四边形和旋转综合应用压轴1．（2022•阜新）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF．（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；（2）直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；②如图3，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°．∵DE＝DF，∠EDF＝90°．∴∠ADC＝∠EDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF（SAS）；（2）①证明：如图2中，设AG与CD相交于点P．∵∠ADP＝90°，∴∠DAP+∠DPA＝90°．∵△ADE≌△CDF，∴∠DAE＝∠DCF．∵∠DPA＝∠GPC，∴∠DAE+∠DPA＝∠GPC+∠GCP＝90°．∴∠PGN＝90°，∵BM⊥AG，BN⊥GN，∴四边形BMGN是矩形，∴∠MBN＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠MBN＝90°．∴∠ABM＝∠CBN．又∵∠AMB＝∠BNC＝90°，∴△AMB≌△CNB．∴MB＝NB．∴矩形BMGN是正方形；②解：作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，此时△AMB≌△AHD．∴BM＝AH．∵AH2＝AD2﹣DH2，AD＝4，∴DH最大时，AH最小，DH最大值＝DE＝2．∴BM最小值＝AH最小值＝．由（2）①可知，△BGM是等腰直角三角形，∴BG最小值＝．2．（2022•南通）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM＝AB；（2）当AE＝3时，求CF的长；（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，作FM⊥AC，垂足为M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵FM⊥AC，∴∠B＝∠AMF＝90°，∵∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠MAF，在△ABE和△AMF中，，∴△ABE≌△AMF（AAS），∴AB＝AM；（2）解：当点E在BC上，在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝3，∴BE＝＝＝，∵△ABE≌△AMF，∴AB＝AM＝4，FM＝BE＝，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，∴CM＝AC﹣AM＝5﹣4＝1，∵∠CMF＝90°，∴CF＝＝＝．当点E在CD上时，可得CF＝．综上所述，CF的值为或；（3）解：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H．∵△ABE≌△AMF，∴AM＝AB＝4，∵∠AMF＝90°，∴点F在射线FM上运动，当点F与K重合时，DF的值最小，∵∠CMJ＝∠ADC＝90°，∠MCJ＝∠ACD，∴△CMJ∽△CDA，∴＝＝，∴＝＝，∴MJ＝，CJ＝，∴DJ＝CD﹣CJ＝4﹣＝，∵∠CMJ＝∠DHJ＝90°，∠CJM＝∠DJH，∴△CMJ∽△DHJ，∴＝，∴＝，∴DH＝，∴DF的最小值为．当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠BAC，得到线段AR，连接FR，过点D作DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K．∵∠EAF＝∠BAC，∠DAR＝∠BAC，∴∠DAE＝∠RAF，∵AE＝AF，AD＝AR，∴△ADE≌△ARF（SAS），∴∠ADE＝∠ARF＝90°，∴点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小，∵DQ⊥AR，DK⊥RF，∴∠R＝∠DQR＝∠DKR＝90°，∴四边形DKRQ是矩形，∴DK＝QR，∴AQ＝AD•cos∠BAC＝3×＝，∵AR＝AD＝3，∴DK＝QR＝AR﹣AQ＝，∴DF的最小值为，∵＜，∴DF的最小值为．解法二：当点E在BC上时，如图，将线段AD绕点A逆时针旋转，旋转角的度数＝∠BAC，得到AT，连接DT，ET，DF．证明△DAF≌△TAE，推出DF＝TE，当TE⊥BC时，DF的值最小，可得DF的最小值为．当点E在CD上时，同法可得DF的最小值为．3．（2022•通辽）已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．（1）如图1，当点G在AD上，F在AB上，求的值为多少；（2）将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），如图2，求的值为多少；（3）AB＝8，AG＝AD，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），当C，G，E三点共线时，请直接写出DG的长度．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形AFEG是正方形，∴∠AGE＝∠D＝90°，∠DAC＝45°，∴，GE∥CD，∴，∴CE＝DG，∴＝＝2；（2）连接AE，由旋转性质知∠CAE＝∠DAG＝α，在Rt△AEG和Rt△ACD中，＝cos45°＝、＝cos45°＝，∴，∴△ADG∽△ACE，∴＝，∴＝；（3）①如图：由（2）知△ADG∽△ACE，∴，∴DG＝CE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝8，AC＝＝16，∵AG＝AD，∴AG＝AD＝8，∵四边形AFEG是正方形，∴∠AGE＝90°，GE＝AG＝8，∵C，G，E三点共线．∴CG＝＝＝8，∴CE＝CG﹣EG＝8﹣8，∴DG＝CE＝4﹣4；②如图：由（2）知△ADG∽△ACE，∴，∴DG＝CE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝8，AC＝＝16，∵AG＝AD，∴AG＝AD＝8，∵四边形AFEG是正方形，∴∠AGE＝90°，GE＝AG＝8，∵C，G，E三点共线．∴∠AGC＝90°∴CG＝＝＝8，∴CE＝CG+EG＝8+8，∴DG＝CE＝4+4．综上，当C，G，E三点共线时，DG的长度为4﹣4或4+4．4．（2022•营口）如图1，在正方形ABCD中，点M为CD边上一点，过点M作MN⊥CD且DM＝MN，连接DN，BM，CN，点P，Q分别为BM，CN的中点，连接PQ．（1）证明：CM＝2PQ；（2）将图1中的△DMN绕正方形ABCD的顶点D顺时针旋转α（0°＜α＜360°）．①（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过程；若不成立，请说明理由；②若AB＝10，DM＝2，在△DMN绕点D旋转的过程中，当B，M，N三点共线时，请直接写出线段PQ的长．【解答】（1）证明：如图1中，连接NP，延长NP交CB于点J．∵MN⊥CD，∴∠DMN＝∠DCB＝90°，∴MN∥CB，∴∠PMN＝∠PBJ，在△PMN和△PBJ中，，∴△PMN≌PBJ（ASA），∴MN＝BJ，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∵DM＝MN，∴DM＝BJ，∴CM＝CJ，∵NQ＝QC，NP＝NJ，∴PQ＝CJ，∴PQ＝CM，∴CM＝2PQ；（2）①解：成立．理由：如图2中，延长NM交BC的延长线于点R，交CD于点K，连接NP，延长NP到T，使得PT＝PN，连接CT，BT．∵PM＝PB，∠MPN＝∠BPT，PN＝PT，∴△PMN≌△PBT（SAS），∴MN＝BT，∠PMN＝∠PBT，∴NR∥BT，∴∠R＝∠CBT，∵∠DMK＝∠RCK＝90°，∠DKM＝∠CKR，∴∠R＝∠CDM，∴∠CDM＝∠CBT，∵DC＝BC，DM＝MN＝BT，∴△CDM≌△CBT（SAS），∴CM＝CT，∴NQ＝QC，NP＝PT，∴PQ＝CT，∴PQ＝CM，∴CM＝2PQ；②解：如图3﹣1中，当点N在BM的延长线上时，连接BD，取BD的中点O，连接OM，OC，过点B作BR⊥CM于点R．∵CD＝CB＝10，∠DCB＝90°，∴BD＝BC＝10，∵∠DMB＝90°，∴BM＝＝＝6，∵∠DMB＝∠DCB＝90°，DO＝OB，∴OM＝OD＝OC＝OB，∴D，M，B，C四点共圆，∴∠BMR＝∠CDB＝45°，∴MR＝BR＝BM＝3，∴CR＝＝＝，∴CM＝RM+CR＝4，∴PQ＝CM＝2；如图3﹣2中，当点N落在BM上时，同法可证D，M，C，B四点共圆，∴∠CMB＝∠CDB＝45°，∴CR＝MR，设CR＝MR＝x，则102＝x2+（6﹣x）2，解得x＝2或4（舍弃），∴CM＝x＝2，∴PQ＝CM＝，综上所述，PQ的值为2或．5．（2022•江西）综合与实践问题提出某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．操作发现（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为1；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1＝S；类比探究（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；拓展应用（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．（参考数据：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2﹣）【解答】解：（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积＝△OBC的面积＝正方形ABCD的面积＝1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积＝正方形ABCD的面积＝1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1＝S．理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．∵O是正方形ABCD的中心，∴OM＝ON，∵∠OMB＝∠ONB＝∠B＝90°，∴四边形OMBN是矩形，∵OM＝ON，∴四边形OMBN是正方形，∴∠MON＝∠EOF＝90°，∴∠MOJ＝∠NOK，∵∠OMJ＝∠ONK＝90°，∴△OMJ≌△ONK（AAS），∴S△PMJ＝S△ONK，∴S四边形OKBJ＝S正方形OMBN＝S正方形ABCD，∴S1＝S．故答案为：1，1，S1＝S．（2）①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．理由：过点O作OT⊥BC，∵O是正方形ABCD的中心，∴BT＝CT，∵BM＝CN，∴MT＝TN，∵OT⊥MN，∴OM＝ON，∵∠MON＝60°，∴△MON是等边三角形；②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．∵CM＝CN，∠OCM＝∠OCN，OC＝OC，∴△OCM≌△OCN（SAS），∴∠COM＝∠CON＝30°，∴∠OMJ＝∠COM+∠OCM＝75°，∵OJ⊥CB，∴∠JOM＝90°﹣75°＝15°，∵BJ＝JC＝OJ＝1，∴JM＝OJ•tan15°＝2﹣，∴CM＝CJ﹣MJ＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴S四边形OMCN＝2××CM×OJ＝﹣1．（3）如图4﹣1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM＝CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．在Rt△MOQ中，MQ＝OQ•tan＝tan，∴MN＝2MQ＝2tan，∴S2＝S△OMN＝×MN×OQ＝tan．如图4﹣2中，当CM＝CN时，S2最大．同法可证△COM≌△CON，∴∠COM＝α，∵∠COQ＝45°，∴∠MOQ＝45°﹣α，QM＝OQ•tan（45°﹣α）＝tan（45°﹣α），∴MC＝CQ﹣MQ＝1﹣tan（45°﹣α），∴S2＝2S△CMO＝2××CM×OQ＝1﹣tan（45°﹣α）．6．（2022•自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝CD，EF＝AD；（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离．【解答】（1）解：∵把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变，∴矩形ABCD的各边的长度没有改变，∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，故答案为：CD，AD；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，∴BE＝CF，EF＝BC，∴四边形BEFC是平行四边形，∴EF∥BC，∴EF∥AD；（3）如图，过点E作EG⊥BC于G，∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点，∴CH＝DH＝40cm，在Rt△BHC中，BH＝＝＝50（cm），∵EG⊥BC，∴CH∥EG，∴△BCH∽△BGE，∴，∴＝，∴EG＝64，∴EF与BC之间的距离为64cm．7．（2021•日照）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①＝；②直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为或．【解答】解：（1）如图1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，∴cos∠ABD＝＝，如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，∴∠DBF＝∠ABE＝90°，∴△FBD∽△EBA，∴＝，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOB＝∠AOF，∴∠DBA＝∠AHD＝30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，故答案为：，30°；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，∴∠ABE＝∠DBF，又∵＝，∴△ABE∽△DBF，∴＝，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOH＝∠AOB，∴∠ABD＝∠AHD＝30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，∵AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，∠DAB＝90°，∴BE＝，AD＝2，DB＝4，∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，∴EF＝1，∵D、E、F三点共线，∴∠DEB＝∠BEF＝90°，∴DE＝＝＝，∵∠DEA＝30°，∴DG＝DE＝，由（2）可得：＝，∴，∴AE＝，∴△ADE的面积＝×AE×DG＝××＝；如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，同理可求：△ADE的面积＝×AE×DG＝××＝；故答案为：或．8．（2021•南通）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠ABE＝α．（1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；（2）过点C作CG⊥直线AF，垂足为G，连接DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由；（3）将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当△BFH为等腰三角形时，求sinα的值．【解答】解：（1）如图1，连接BF，∵点A关于直线BE的对称点为点F，∴AB＝BF，BE⊥AF，∴∠ABE＝∠EBF＝α，∴∠CBF＝90°﹣2α，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∴BF＝BC，∴∠BCF＝＝45°+α；（2）DG∥CF，理由如下：如图2，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，∵CG⊥AF，∴∠CGA＝∠ADC＝90°，∴点A，点D，点G，点C四点共圆，∴∠AGD＝∠ACD＝45°，∵AB＝BF，∠ABF＝2α，∴∠AFB＝＝90°﹣α，∴∠AFC＝135°，∴∠CFG＝45°＝∠DGA，∴DG∥CF；（3）∵BE＞AB，∴BH＞BF，∴BH≠BF；如图3，当BH＝FH时，过点H作HN⊥BF于N，∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，∴△ABE≌△CBH，∠EBH＝90°＝∠ABC，∴AE＝CH，BE＝BH，∠ABE＝∠CBH＝α＝∠FBE，AB＝BC，∴∠HBF＝90°﹣α，∵BH＝FH，HN⊥BF，∴BN＝NF＝BF＝AB，∠BNH＝90°＝∠BAE，∴∠BHN＝α，∴∠ABE＝∠BHN，∴△ABE≌△NHB（ASA），∴BN＝AE＝AB，∴BE＝＝AE，∴sinα＝＝，当BF＝FH时，∴∠FBH＝∠FHB＝90°﹣α，∴∠BFH＝2α＝∠ABF，∴AB∥FH，即点F与点C重合，则点E与点D重合，∵点E在边AD上（不与端点A，D重合），∴BF＝FH不成立，综上所述：sinα的值为．9．（2021•烟台）有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，连接BF，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于点N．【观察猜想】（1）线段DE与AM之间的数量关系是DE＝2AM，位置关系是DE⊥AM；【探究证明】（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．【解答】解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形，∴AD＝AB，AF＝AE，∠DAE＝∠BAF＝90°，∴△DAE≌△BAF（SAS），∴DE＝BF，∠ADE＝∠ABF，∵∠ABF+∠AFB＝90°，∴∠ADE+∠AFB＝90°，在Rt△BAF中，M是BF的中点，∴AM＝FM＝BM＝BF，∴DE＝2AM．∵AM＝FM，∴∠AFB＝∠MAF，又∵∠ADE+∠AFB＝90°，∴∠ADE+∠MAF＝90°，∴∠AND＝180°﹣（∠ADE+∠MAF）＝90°，即AN⊥DN；故答案为DE＝2AM，DE⊥AM．（2）仍然成立，证明如下：延长AM至点H，使得AM＝MH，连接FH，∵M是BF的中点，∴BM＝FM，又∵∠AMB＝∠HMF，∴△AMB≌△HMF（SAS），∴AB＝HF，∠ABM＝∠HFM，∴AB∥HF，∴∠HFG＝∠AGF，∵四边形ABCD和四边形AEGF是正方形，∴∠DAB＝∠AFG＝90°，AE＝AF，AD＝AB＝FH，∠EAG＝∠AGF，∴∠EAD＝∠EAG+∠DAB＝∠AFG+∠AGF＝∠AFG+∠HFG＝∠AFH，∴△EAD≌△AFH（SAS），∴DE＝AH，又∵AM＝MH，∴DE＝AM+MH＝2AM，∵△EAD≌△AFH，∴∠ADE＝∠FHA，∵△AMB≌△HMF，∴∠FHA＝∠BAM，∴∠ADE＝∠BAM，又∵∠BAM+∠DAM＝∠DAB＝90°，∴∠ADE+∠DAM＝90°，∴∠AND＝180°﹣（∠ADE+∠DAM）＝90°，即AN⊥DN．故线段DE与AM之间的数量关系是DE＝2AM．线段DE与AM之间的位置关系是DE⊥AM．10．（2021•鄂尔多斯）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．（1）尝试解决：如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M是BC上的一点，BM＝1cm，CM＝2cm，将△ABM绕点A旋转后得到△ACN，连接MN，则AM＝cm．（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD中，AB＝AD＝a，CB＝CD，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D，点P、Q分别是AB、AD上的点，且∠PCB+∠QCD＝∠PCQ，求△APQ的周长．（结果用a表示）（3）拓展应用：如图③，已知四边形ABCD，AD＝CD，∠ADC＝60°，∠ABC＝75°，AB＝2，BC＝2，求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）如图①，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，由旋转得：CN＝BM＝1，∠ACN＝∠B＝45°，∠MAN＝∠BAC＝90°，AM＝AN，∴∠MCN＝∠ACB+∠ACN＝45°+45°＝90°，△AMN是等腰直角三角形，∵CM＝2，∴MN＝＝，∴AM＝MN＝（cm）；故答案为：；（2）如图②，延长AB到E，使BE＝DQ，连接CE，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠CBE＝∠CDQ＝90°，在△CDQ和△CBE中，，∴△CDQ≌△CBE（SAS），∴∠DCQ＝∠BCE，CQ＝CE，∵∠PCB+∠QCD＝∠PCQ，∴∠PCB+∠BCE＝∠PCQ＝∠PCE，在△QCP和△ECP中，，∴△QCP≌△ECP（SAS），∴PQ＝PE，∴△APQ的周长＝AQ+PQ+AP＝AQ+PE+AP＝AQ+BE+PB+AP＝AQ+DQ+AB＝2AB＝2a；（3）如图③，连接BD，由于AD＝CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，连接BB′，延长BA，作B′E⊥BA于E，由旋转得：△BCD≌△B′AD，∴BD＝B'D，∠BDB'＝60°，∠CBD＝∠AB'D，∴S四边形ABCD＝S四边形BDB′A，△BDB'是等边三角形，∵∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，∴∠BAB′＝∠BDB'+∠AB'D+∠ABD＝135°，∴∠B′AE＝45°，∵B′A＝BC＝2，∴B′E＝AE＝，∴BE＝AB+AE＝2+＝3，∴BB′＝＝2，设等边三角形的高为h，则勾股定理得：h＝＝，∴S四边形ABCD＝S四边形BDB′A＝S△BDB′﹣S△ABB′＝×2×﹣××＝5﹣2．11．（2021•辽宁）在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点F，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．【解答】解：（1）方法一：如图1，连接PB，PC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∵α＝120°，即∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADC＝60°，∴∠BEP＝60°＝∠B，由旋转知：EP＝EB，∴△BPE是等边三角形，∴BP＝EP，∠EBP＝∠BPE＝60°，∴∠CBP＝∠ABC+∠EBP＝120°，∵∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，∴∠AEP＝∠CBP，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，∴AD＝AE，∴AE＝BC，∴△APE≌△CPB（SAS），∴AP＝CP，∠APE＝∠CPB，∴∠APE+∠CPE＝∠CPB+∠CPE，即∠APC＝∠BPE＝60°，∴△APC是等边三角形，∴AP＝AC；方法二：如图1，延长PE交CD于点Q，连接AQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵α＝120°，即∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADC＝60°，∴∠BEP＝60°＝∠B，∴PE∥BC∥AD，∴四边形ADQE和四边形BCQE是平行四边形，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，∴AD＝AE，∴四边形ADQE是菱形，∴∠EAQ＝∠AEQ＝60°，∴△AEQ是等边三角形，∴AE＝AQ，∠AQE＝60°，∵四边形BCQE是平行四边形，∴PE＝BE＝CQ，∠B＝∠CQE＝60°，∵∠AEP＝120°，∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝120°，∴∠AEP＝∠AQC，∴△AEP≌△AQC（SAS），∴AP＝AC；（2）AB2+AD2＝2AF2，理由：如图2，连接CF，在▱ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AD＝AE，∴AE＝BC，∵BF⊥EP，∴∠BFE＝90°，∵∠BEF＝α＝∠BAD＝×90°＝45°，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴BF＝EF，∵∠FBC＝∠FBE+∠ABC＝45°+90°＝135°，∠AEF＝180°﹣∠FEB＝135°，∴∠CBF＝∠AEF，∴△BCF≌△EAF（SAS），∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE，∴∠AFC＝∠AFE+∠CFE＝∠CFB+∠CFE＝∠BFE＝90°，∴∠ACF＝∠CAF＝45°，∵sin∠ACF＝，∴AC＝＝＝＝AF，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴AB2+AD2＝2AF2；（3）方法一：由（1）知，BC＝AD＝AE＝AB﹣BE，∵BE＝AB，AB＝CD，∴AB＝CD＝2BE，设BE＝a，则PE＝AD＝AE＝a，AB＝CD＝2a，①当点E在AB上时，如图3，过点G作GM⊥AD于点M，作GN⊥CD于点N，过点C作CK⊥AD于点K，过点A作AH⊥PE的延长线于点H，当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，GM⊥AD，GN⊥CD，∴GM＝GN，∵S△ACD＝AD•CK＝a•2a•sin60°＝a2，＝＝＝＝2，∴S△CDG＝2S△ADG，∴S△CDG＝S△ACD＝a2，由（1）知PE∥BC，∴∠AEH＝∠B＝60°，∵∠H＝90°，∴AH＝AE•sin60°＝a，∴S△APE＝PE•AH＝a•a＝a2，∴＝＝．②如图4，当点E在AB延长线上时，由①同理可得：S△CDG＝S△ACD＝××2a××3a＝a2，S△APE＝PH•AE＝×a×3a＝a2，∴＝＝，综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．方法二：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴△AEG∽△CDG，∴＝（）2，＝，①当点E在AB上时，∵BE＝AB，∴AE＝BE＝AB＝CD，∴＝（）2＝，又∵＝＝，∴＝，即＝3，∴＝＝3，当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠BAD﹣∠ADE＝30°＝∠ADE，∴AE＝AD，∵EP＝EB＝AE，EP∥AD，∴EP＝AD＝AE，∠AEP＝∠DAE＝120°，∴△AED≌△EAP（SAS），∴S△AED＝S△EAP，∴＝•＝•＝3×＝；②如图4，当点E在AB延长线上时，∵BE＝AB，∴AE＝AB＝CD，由①知，AD＝AE＝CD，∵EP＝BE＝AE＝AD，EP∥AD，∴＝＝，∵＝＝，∴＝，∴＝＝，∵＝（）2＝（）2＝，∴＝••＝××＝；综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．12．（2021•齐齐哈尔）综合与实践数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．（1）∠EAF＝45°，写出图中两个等腰三角形：△AEF，△CEF，△ABC，△ADC（不需要添加字母）；转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为PQ＝BP+DQ；（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则＝；剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．（4）求证：BM2+DN2＝MN2．【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，∴ABC，△ADC都是等腰三角形，∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，∴∠EAF＝（∠BAC+∠DAC）＝45°，∵∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△BAE≌△DAF（ASA），∴BE＝DF，AE＝AF，∵CB＝CD，∴CE＝CF，∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，故答案为：45，△AEF，△EFC，△ABC，△ADC．（2）解：结论：PQ＝BP+DQ．理由：如图2中，延长CB到T，使得BT＝DQ．∵AD＝AB，∠ADQ＝∠ABT＝90°，DQ＝BT，∴△ADQ≌△ABT（SAS），∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT，∵∠PAQ＝45°，∴∠PAT＝∠BAP+∠BAT＝∠BAP+∠DAQ＝45°，∴∠PAT＝∠PAQ＝45°，∵AP＝AP，∴△PAT≌△PAQ（SAS），∴PQ＝PT，∵PT＝PB+BT＝PB+DQ，∴PQ＝BP+DQ．故答案为：PQ＝BP+DQ．（3）解：如图3中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠ACQ＝∠BAC＝45°，AC＝AB，∵∠BAC＝∠PAQ＝45°，∴∠BAM＝∠CAQ，∴△CAQ∽△BAM，∴＝＝，故答案为：．（4）证明：如图4中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∵∠DAN＝∠BAR，∴∠BAM+∠BAR＝45°，∴∠MAR＝∠MAN＝45°，∵AR＝AN，AM＝AM，∴△AMR≌△AMN（SAS），∴RM＝MN，∵∠D＝∠ABR＝∠ABD＝45°，∴∠RBM＝90°，∴RM2＝BR2+BM2，∵DN＝BR，MN＝RM，∴BM2+DN2＝MN2．13．（2021•宿迁）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．（1）如图①，连接BG、CF，求的值；（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积．【解答】解：（1）如图①，连接AF，AC，∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴AC＝AB，AF＝AG，∠CAB＝∠GAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠CAF＝∠BAG，，∴△CAF∽△BAG，∴＝；（2）BE＝2MN，MN⊥BE，理由如下：如图②，连接ME，过点C作CH∥EF，交直线ME于H，连接BH，设CF与AD交点为P，CF与AG交点为R，∵CH∥EF，∴∠FCH＝∠CFE，∵点M是CF的中点，∴CM＝MF，又∵∠CMH＝∠FME，∴△CMH≌△FME（ASA），∴CH＝EF，ME＝HM，∴AE＝CH，∵CH∥EF，AG∥EF，∴CH∥AG，∴∠HCF＝∠CRA，∵AD∥BC，∴∠BCF＝∠APR，∴∠BCH＝∠BCF+∠HCF＝∠APR+∠ARC，∵∠DAG+∠APR+∠ARC＝180°，∠BAE+∠DAG＝180°，∴∠BAE＝∠BCH，又∵BC＝AB，CH＝AE，∴△BCH≌△BAE（SAS），∴BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，∴∠HBE＝∠CBA＝90°，∵MH＝ME，点N是BE中点，∴BH＝2MN，MN∥BH，∴BE＝2MN，MN⊥BE；（3）如图③，取AB中点O，连接ON，OQ，AF，∵AE＝6，∴AF＝6，∵点N是BE的中点，点Q是BF的中点，点O是AB的中点，∴OQ＝AF＝3，ON＝AE＝3，∴点Q在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，点N在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，∴线段QN扫过的面积＝π×（3）2﹣π×32＝9π．14．（2021•眉山）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当点D在△ABC内部，且∠ADC＝90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长；（3）将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长．【解答】解：（1）如图1，∵四边形DEFG是正方形，∴∠DCE＝90°，CD＝CE；∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE＝90°﹣∠BCD，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．（2）如图2，过点M作MH⊥AD于点H，则∠AHM＝∠DHM＝90°．∵∠DCG＝90°，CD＝CG，∴∠CDG＝∠CGD＝45°，∵∠ADC＝90°，∴∠MDH＝90°﹣45°＝45°，∴MH＝DH•tan45°＝DH；∵CD＝DG•sin45°＝2×＝，AC＝2，∴AD＝＝，∴＝tan∠CAD＝＝，∴AH＝3MH＝3DH，∴3DH+DH＝3；∴MH＝DH＝，∵＝sin∠CAD＝＝，∴AM＝MH＝×＝．（3）如图3，A、D、E三点在同一直线上，且点D在点A和点E之间．∵CD＝CE＝CF，∠DCE＝∠ECF＝90°，∴∠CDE＝∠CED＝∠CEF＝∠CFE＝45°；由△ACD≌△BCE，得∠BEC＝∠ADC＝135°，∴∠BEC+∠CEF＝180°，∴点B、E、F在同一条直线上，∴∠AEB＝90°，∵AE2+BE2＝AB2，且DE＝2，AD＝BE，∴（AD+2）2+AD2＝（2）2+（2）2，解得AD＝﹣1或AD＝﹣﹣1（不符合题意，舍去）；如图4，A、D、E三点在同一直线上，且点D在AE的延长线上．∵∠BCF＝∠ACE＝90°﹣∠ACF，BC＝AC，CF＝CE，∴△BCF≌△ACE（SAS），∴∠BFC＝∠AEC，∵∠CFE＝∠CED＝45°，∴∠BFC+∠CFE＝∠AEC+∠CED＝180°，∴点B、F、E在同一条直线上；∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝90°+∠ACE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；∵AE2+BE2＝AB2，∴（AD﹣2）2+AD2＝（2）2+（2）2，解得AD＝1+或AD＝1﹣（不符合题意，舍去）．综上所述，AD的长为﹣1或1+．15．（2021•浙江）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．【解答】解：[探究1]如图1，设BC＝x，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB′C′D′，∴点A，B，D'在一条线上，∴AD'＝AD＝BC＝x，D'C'＝AB'＝AB＝1，∴D'B＝AD'﹣AB＝x﹣1，∵∠BAD＝∠D'＝90°，∴D'C'∥DA，又∵点C'在DB的延长线上，∴△D'C'B∽△ADB，∴，∴，解得x1＝，x2＝（不合题意，舍去），∴BC＝．[探究2]D'M＝DM．证明：如图2，连接DD'，∵D'M∥AC'，∴∠AD'M＝∠D'AC'，∵AD'＝AD，∠AD'C'＝∠DAB＝90°，D'C'＝AB，∴△AC'D'≌△DBA（SAS），∴∠D'AC'＝∠ADB，∴∠ADB＝∠AD'M，∵AD'＝AD，∴∠ADD'＝∠AD'D，∴∠MDD'＝∠MD'D，∴D'M＝DM；[探究3]关系式为MN2＝PN•DN．证明：如图3，连接AM，∵D'M＝DM，AD'＝AD，AM＝AM，∴△AD'M≌△ADM（SSS），∴∠MAD'＝∠MAD，∵∠AMN＝∠MAD+∠NDA，∠NAM＝∠MAD'+∠NAP，∴∠AMN＝∠NAM，∴MN＝AN，在△NAP和△NDA中，∠ANP＝∠DNA，∠NAP＝∠NDA，∴△NPA∽△NAD，∴，∴AN2＝PN•DN，∴MN2＝PN•DN．16．（2020•阜新）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．（1）如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周．①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH＝CH；②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．【解答】（1）证明：如图1中，证明：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠HBE+∠BEH＝90°，∴∠BHE＝90°，∴BG⊥DE．（2）①如图2中，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．由（1）可知，∠CBK＝∠CDH，∵BK＝DH，BC＝DC，∴△BCK≌△DCH（SAS），∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，∴∠KCH＝∠BCD＝90°，∴△KCH是等腰直角三角形，∴HK＝CH，∴BH﹣DH＝BH﹣BK＝KH＝CH．②如图3﹣1中，当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．由（1）可知，BH＝DE，且CE＝CH＝1，EH＝CH，∵BC＝3，∴BD＝BC＝3，设DH＝x，则BH＝DE＝x+，在Rt△BDH中，∵BH2+DH2＝BD2，∴（x+）2+x2＝（3）2，解得x＝或（舍弃）．如图3﹣2中，当H，E重合时，∠DEC＝45°，连接BD．设DH＝x，∵BG＝DH，∴BH＝DH﹣HG＝x﹣，在Rt△BDH中，∵BH2+DH2＝BD2，∴（x﹣）2+x2＝（3）2，解得x＝或（舍弃），综上所述，满足条件的DH的值为或．17．（2020•益阳）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长；②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，∵将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，∴BE＝BF，∠CBE＝∠ABF，∴∠EBF＝∠ABC＝90°，∴∠EBF+∠D＝180°，∴四边形BEDF为“直等补”四边形；（2）①过C作CF⊥BE于点F，如图1，则∠CFE＝90°，∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°，∴∠D＝90°，∵BE⊥AD，∴∠DEF＝90°，∴四边形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝1，∵∠ABE+∠A＝∠CBE+∠ABE＝90°，∴∠A＝∠CBF，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC＝5，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE＝CF，设BE＝CF＝x，则BF＝x﹣1，∵CF2+BF2＝BC2，∴x2+（x﹣1）2＝52，解得，x＝4，或x＝﹣3（舍），∴BE＝4；②如图2，延长CB到F，使得BF＝BC，延长CD到G，使得CD＝DG，连接FG，分别与AB、AD交于点M、N，过G作GH⊥BC，与BC的延长线交于点H．则BC＝BF＝5，CD＝DG＝1，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴CM＝FM，CN＝GN，∴△MNC的周长＝CM+MN+CN＝FM+MN+GN＝FG的值最小，∵四边形ABCD是“直等补”四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠HCG＝180°，∴∠A＝∠HCG，∵∠AEB＝∠CHG＝90°，∴△ABE∽△CGH，∴∵AB＝5，BE＝4，∴AE＝，∴，∴GH＝，CH＝，∴FH＝FC+CH＝，∴FG＝＝8，∴△MNC周长的最小值为8．18．（2020•邵阳）已知：如图①，将一块45°角的直角三角板DEF与正方形ABCD的一角重合，连接AF，CE，点M是CE的中点，连接DM．（1）请你猜想AF与DM的数量关系是AF＝2DM．（2）如图②，把正方形ABCD绕着点D顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）．①AF与DM的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN）②求证：AF⊥DM；③若旋转角α＝45°，且∠EDM＝2∠MDC，求的值．（可不写过程，直接写出结果）【解答】解：（1）猜想AF与DM的数量关系是AF＝2DM，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD，∠ADC＝90°，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴AF＝CE，∵M是CE的中点，∴CE＝2DM，∴AF＝2DM，故答案为：AF＝2DM；（2）①AF＝2DM仍然成立，理由如下：延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN，∵M是CE中点，∴CM＝EM，又∠CMN＝∠EMD，∴△MNC≌△MDE（SAS），∴CN＝DE＝DF，∠MNC＝∠MDE，∴CN∥DE，又AD∥BC∴∠NCB＝∠EDA，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠BCD＝90°＝∠EDF，∴∠ADF＝∠DCN，∴△ADF≌△DCN（SAS），∴AF＝DN，∴AF＝2DM；②∵△ADF≌△DCN，∴∠NDC＝∠FAD，∵∠CDA＝90°，∴∠NDC+∠NDA＝90°，∴∠FAD+∠NDA＝90°，∴AF⊥DM；③∵α＝45°，∴∠EDC＝90°﹣45°＝45°∵∠EDM＝2∠MDC，∴∠EDM＝∠EDC＝30°，∴∠AFD＝30°，过A点作AG⊥FD的延长线于G点，∴∠ADG＝90°﹣45°＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，设AG＝k，则DG＝k，AD＝AG÷sin45°＝k，FG＝AG÷tan30°＝k，∴FD＝ED＝k﹣k，故＝．19．（2020•山西）综合与实践问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．猜想证明：（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；解决问题：（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．【解答】解：（1）四边形BE'FE是正方形，理由如下：∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，又∵∠BEF＝90°，∴四边形BE'FE是矩形，又∵BE＝BE'，∴四边形BE'FE是正方形；（2）CF＝E'F；理由如下：如图②，过点D作DH⊥AE于H，∵DA＝DE，DH⊥AE，∴AH＝AE，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAH+∠EAB＝90°，∴∠ADH＝∠EAB，又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，∴△ADH≌△BAE（AAS），∴AH＝BE＝AE，∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴AE＝CE'，∵四边形BE'FE是正方形，∴BE＝E'F，∴E'F＝CE'，∴CF＝E'F；（3）如图①，过点D作DH⊥AE于H，∵四边形BE'FE是正方形，∴BE'＝E'F＝BE，∵AB＝BC＝15，CF＝3，BC2＝E'B2+E'C2，∴225＝E'B2+（E'B+3）2，∴E'B＝9＝BE，∴CE'＝CF+E'F＝12，由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12，∴HE＝3，∴DE＝＝＝3．20．（2020•内江）如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．（1）连接CQ，求证：AP＝CQ；（2）若AP＝AC，求CE：BC的值；（3）求证：PF＝EQ．【解答】（1）证明：如图1，∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°．∴∠ABC＝∠PBQ．∴∠ABC﹣∠PBC＝∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ．在△BAP和△BCQ中，∵，∴△BAP≌△BCQ（SAS）．∴CQ＝AP．（2）解：过点C作CH⊥PQ于H，过点B作BT⊥PQ于T．∵AP＝AC，∴可以假设AP＝CQ＝a，则PC＝3a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵△ABP≌△CBQ，∴∠BCQ＝∠BAP＝45°，∴∠PCQ＝90°，∴PQ＝＝＝a，∵CH⊥PQ，∴CH＝＝a，∵BP＝BQ，BT⊥PQ，∴PT＝TQ，∵∠PBQ＝90°，∴BT＝PQ＝a，∵CH∥BT，∴＝＝＝，∴＝．（3）证明：如图2，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF＝90°，∵∠BPQ＝45°，∴∠GPB＝45°，∴∠GPB＝∠PQB＝45°，∵PB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∴△PGB≌△QEB，∴EQ＝PG，∵∠BAD＝90°，∴F、A、G、P四点共圆，连接FG，∴∠FGP＝∠FAP＝45°，∴△FPG是等腰直角三角形，∴PF＝PG，∴PF＝EQ．21．（2020•郴州）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与