专题50三角形的存在性综合问题(原卷版+解析)

专题50三角形的存在性综合问题【题型演练】一、解答题1．如图，在中，，，点D为边上一点，连结，过点B作交的延长线于点E．(1)如图1，若，，求的面积；(2)如图2，延长到点F使，分别连结，，交于点G．求证：．(3)如图3，若，点M是直线上的一个动点，连结，将线段绕点D顺时针方向旋转得到线段，点P是边上一点，，Q是线段上的一个动点，连结，．当的值最小时，请直接写出的度数．2．已知正方形，点为直线上的一点，连接，过点作射线，交直线于点E，连接，取的中点，连接(1)如图1，点在线段的中点时，直接写出与的数量关系；(2)如图2，①点P在线段上时，试判断（1）中的结论是否成立，并说明理由；②若点P在直线上，，，直接写出的长；(3)设，若点运动到某一位置时使为等边三角形，请直接写出的长．3．在中，D为直线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接与相交于点F．(1)如图1，若D为的中点，，，，连接，求线段的长；(2)如图2，G是线段延长线上一点，D在线段上，连接，，若，，，，证明；(3)如图3，若为等边三角形，，点M为线段上一点，且，点P是直线上的动点，连接，，，请直接写出当最小时的面积．4．在中，，平分，为上一点．(1)如图1，过作交于点，若，，求的长；(2)如图2，若，过作交的延长线于点，为延长线上一点，连接，过作交于点，交于点，且，猜想线段与之间的数量关系并证明你的猜想；(3)如图3，将（2）中沿翻折得到，为上一点，连接，过作交于点，，，再将沿翻折得到，交、分别于点、，请直接写出的值．5．如图1，中，，，以为直径的恰好经过点，延长至，使得，连接．(1)求的半径；(2)求证：；(3)如图2，在上取点，连接并延长交于点，连接交于点．①当时，求的值；②设，，求关于的函数表达式．6．在中，，．点D是平面内一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，．(1)如图1，若点D为线段的中点，且，求的长；(2)如图2，若点D为内部一点，过点A作交的延长线于点F，交于点G，求证：；(3)如图3，在（1）的条件下，点M是射线上的一点，点N是线段上一点，且，连接，．当最小时，直接写出与的面积的和．7．【问题发现】（1）如图①，是等边三角形，点D，E分别是边上一点，且，点P在线段上运动，以为边向右作等边．①求证：②过点F作于点G，连接，请判断的长度是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．【类比探究】（2）如图②，长方形中，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，当点F从点B运动到点A时，请求出点G运动的路程．8．如图，等腰中，，平分．点为上的动点，连接，将沿折叠得到．(1)若，试求出的长度；(2)若，设与相交于点．①请求出的度数；②连接，过点作交的延长线于点．若，．试求线段的长．9．在等边三角形中，点D为上一点，连接，将绕D逆时针旋转角度得到，连接，已知，；(1)如图1，若，，连接，求的长；(2)如图2，若，分别取的中点H，的中点F，连接，，求证：；(3)如图3，若，P为上一点，且满足，连接，将沿着所在直线翻折得到，连接，当最大时，直接写出的面积．10．【母体呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为．求的周长．解：是由折叠而得到

，

的周长为：【知识应用】在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接．（1）如图1，若，，求的面积；（2）如图2，求证平分；【拓展应用】如图3，在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接，过点作．（3）若，，，直接写出长；（4）若，求证．11．（1）已知中，，．①如图1，点M，N均在边上，，，，连接；请直接写出与的数量关系②如图2，点M在边上，点N在的上方，且，求证：；（2）如图3，在四边形中，，平分，若与互余，则的大小为______（用含的式子表示）．12．如图，在中，半径弦于点E，连接，，点D为上一点，连接、．(1)如图1，求证；(2)如图2，点F为上一点，连接，，若，求证：平分；(3)如图3，在（2）的条件下，平分，交于点K，连接，设与交于点H，，，，求的长．13．如图，四边形内接于，对角线交于点E，连接交于点F，．(1)如图（1）求证：．(2)如图（2）若，求证：．(3)如图（3）在（2）的条件下，作交CD于点G，于点M，若，，求线段OF的长．14．在四边形中，，；(1)如图1，已知，求得的大小为___________；(2)已知，，在（1）的条件下，利用图1，连接，并求出的长度；(3)问题解决：如图2，已知，，现需要截取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧符合如图2所示的四边形，为了尽可能节约，你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形面积的最小值；如果不能，请说明理由．15．问题探究：(1)如图（1），在中，，，点为边上的一动点，以为边在右侧作，且，，连．若，求的长；(2)如图（2），边长为4的等边，点为边上的一动点，以为边在右侧作，连接，则__________；__________；的周长最小值是__________．问题解决：(3)如图3，四边形中，，，，，点分别为边，上的动点，且，是否存在点，使得四边形面积最大且的周长最小？若存在，求出四边形面积最大值和的周长最小值；若不存在，请说明理由．16．如图1，已知，在中，，，，点D在AB上且，点P，Q分别从点D，B出发沿线段，向终点B，C匀速移动，P，Q两点同时出发，同时到达终点．设，．(1)求的值．(2)求y关于x的函数表达式．(3)如图2，过点P作于点E，连接，．①当为等腰三角形时，求x的值．②过D作于点F，作点F关于的对称点，当点落在的内部（不包括边界）时，则x的取值范围为___________．17．问题提出

如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：．尝试应用

如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：．问题拓展

如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度（用含a，b的式子）．18．如图，在中，，D、E分别是AB、BC上的点，过B、D、E三点作，交延长线于点F，，，．(1)求证：；(2)当与相切于点D时，求的半径；(3)若，求的值．19．【模型建立】如图，在等腰直角三角形中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E．求证：．【模型应用】（1）如图，直线：与坐标轴交于点A、B，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线对应的函数表达式．（2）如图，四边形是长方形，O为坐标原点，点B的坐标为，点A、C分别在坐标轴上，P是线段上的动点，D是直线上的动点且在第四象限．若是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．专题50三角形的存在性综合问题【题型演练】一、解答题1．如图，在中，，，点D为边上一点，连结，过点B作交的延长线于点E．(1)如图1，若，，求的面积；(2)如图2，延长到点F使，分别连结，，交于点G．求证：．(3)如图3，若，点M是直线上的一个动点，连结，将线段绕点D顺时针方向旋转得到线段，点P是边上一点，，Q是线段上的一个动点，连结，．当的值最小时，请直接写出的度数．【答案】(1)32(2)见解析(3)【分析】（1）过点作于点，利用8字型图，得到，易得，从而得到，再利用面积公式进行计算即可；（2）延长到，使，连接和，证明，得到，连接，推出是等腰三角形，过点作，得到，根据平行线间距离处处相等，得到，从而得到，即可得证；（3）过点作交的延长线于点，作点关于的对称点，连接，证明，推出点在直线上运动时，点在过点且垂直于的直线上运动，根据轴对称和三角形的三边关系以及垂线段最短，得到，得到三点共线时，且时，有最小值，根据，求出，证明，进而得到，即可得出结论．【详解】（1）如图1，过点作于点，∵，∴，∵，∴，∵，∵，∴，∵，，∴∴，∵，∴，∴的面积为；（2）如图2，延长到，使，连接和，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，，连接，∵，∴是的中垂线，∴，∴，∵，∴，∴，∴，过点作，则：，∵，∴，∴，又∵∴，（平行线间的距离处处相等）∴，∴；（3）如图3，过点作交的延长线于点，作点关于的对称点，连接，∵，∴，∴，∵将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，∴点在直线上运动时，点在过点且垂直于的直线上运动；∵点关于的对称点，∴，∵，∴的最小值为，∴当时，有最小值：此时，，如图4，，∵点关于的对称点，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴∴，∴，∴．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用轴对称解决线段和最小问题．本题的综合性强，难度大，解题的关键是添加合适的辅助线，证明三角形全等．本题中蕴含手拉手全等模型，将军饮马问题．2．已知正方形，点为直线上的一点，连接，过点作射线，交直线于点E，连接，取的中点，连接(1)如图1，点在线段的中点时，直接写出与的数量关系；(2)如图2，①点P在线段上时，试判断（1）中的结论是否成立，并说明理由；②若点P在直线上，，，直接写出的长；(3)设，若点运动到某一位置时使为等边三角形，请直接写出的长．【答案】(1)；(2)①成立，理由见解析；②的长为或；(3)的长为或．【分析】（1）先证明是等腰直角三角形，因此可得；（2）①过点作于，于，先根据AAS证明，则可得，再根据ASA证明，则可得是等腰直角三角形，因此可得，再根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可得，因此．②分两种情况，分点在线段上和P点在的延长线上．作于点，先求出的长，则可知的长，再求出的长，则可求出的长，再根据求出的长即可．（3）分两种情况，点在上方和点在下方．①F点在上方时，由是等边三角形可求出、的长，再求出的长，设，根据勾股定理列方程求出x，即可知的长，则可求出的长．②F点在下方时，是等边三角形可求出、、的长，再求出的长，作于Q点，设，在中据勾股定理列方程求出x，即可知的长，进而可可求出的长和的长．【详解】（1），理由如下：∵四边形是正方形P是线段的中点∵F是中点（2）①如图，点P在线段上时，（1）中的结论仍然成立，理由如下：过P点作于G，于H又∴四边形是矩形∵正方形中，平分又∴是等腰直角三角形∵F是中点∵Rt中，F是中点

②(ⅰ)如图，P点在线段上时，作于Q由①知(ⅱ)如图，若P点的延长线，

过P点作于G，于H又∴四边形是矩形∵正方形中，平分又∴是等腰直角三角形∵F是中点∵Rt中，F是中点

延长，作于Q点∴

综上，的长为或（3）①如图，F点在上方时∵为等边三角形由①知是等腰直角三角形延长，作于Q点则设则由得解得（舍去）

②①如图，F点在下方时∵为等边三角形∵是等腰直角三角形过P点作于Q点则设，则在Rt中解得（舍去），综上，的长为或【点睛】本题综合性较强，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．正确的画出图形，并且正确的作出辅助线是解题的关键．注意分类讨论，不要漏解．3．在中，D为直线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接与相交于点F．(1)如图1，若D为的中点，，，，连接，求线段的长；(2)如图2，G是线段延长线上一点，D在线段上，连接，，若，，，，证明；(3)如图3，若为等边三角形，，点M为线段上一点，且，点P是直线上的动点，连接，，，请直接写出当最小时的面积．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)．【分析】（1）根据题意由勾股定理可得长度，作，交于，利用旋转及互余可证得（AAS），则得，，可求出，再由勾股定理可得的长度；（2）由旋转可知，为等腰直角三角形，根据其性质再利用互余可证得（AAS），则有，，由，可证，由，利用三角形内角和定理可得，作，交延长线于，连接，易知，为等腰直角三角形，可得，，，易得，可证四边形是平行四边形，即，利用可得证结论；（3）作，交于，将绕点逆时针旋转，证明（SAS），进而证得，作点关于的对称点，连接，，由对称易知，易知当最小时，即最小，亦即、、在同一直线，且，如图，作，交于，易知四边形是矩形，证得是等边三角形，求出，的高，根据可得答案．【详解】（1）解：∵为的中点，，，∴，则由勾股定理，可得：，作，交于，由题意可知，，，∴，，∴，又∵，∴（AAS），∴，，则，由勾股定理可得：；（2）证明：由旋转可知，为等腰直角三角形，∴，，，∵，∴，又∵，，∴，，又∵，∴，在和中，，∴（AAS），∴，，则：，∵，∴，即：，∴，又∵，由三角形内角和定理可得：，即：，∴，作，交延长线于，连接，∴为等腰直角三角形，∴，，，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，即，∴；（3）作，交于，∵是等边三角形，∴，，平分，则，将绕点逆时针旋转，则，，∴，∴（SAS），∴∴，作点关于的对称点，连接，，由对称易知，，∴当最小时，即最小，亦即、、在同一直线，且，如图：作，交于，则，∴，，∵，，∴，，四边形是矩形，则，，即，由轴对称可知，，∴是等边三角形，则：，∵，∴，，∴，，则由勾股定理可得：，，∵，，则为，之间的距离，∴，即的高∴，∴．【点睛】本题属于几何综合题，考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，第（2）问证明，解决问题的关键，第（3）问弄清的运动轨迹是解决问题的关键．4．在中，，平分，为上一点．(1)如图1，过作交于点，若，，求的长；(2)如图2，若，过作交的延长线于点，为延长线上一点，连接，过作交于点，交于点，且，猜想线段与之间的数量关系并证明你的猜想；(3)如图3，将（2）中沿翻折得到，为上一点，连接，过作交于点，，，再将沿翻折得到，交、分别于点、，请直接写出的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）过点作于点，根据角平分线的性质得出，证明，得出，设，则，在中，，进而证明，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解；（2）连接，过点作于点，证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，证明，设，继而证明，得出，根据，即可得出结论；（3）过点作于点，交的延长线于点，过点作于点，由（2）可知是等腰直角三角形，则四边形是正方形，得出是等腰直角三角形，证明，求得，在中，设，，继而解直角三角形，求得，接下来求得的长，设，勾股定理得出①，证明，得出②，联立解关于的方程，即可求解，进而求得比值即可求解．【详解】（1）解：如图，过点作于点，∵平分，，∴，∵，∴，又，，∴，设，则，在中，，∵，∴，∴，∴，解得：，∴；（2），理由如下，证明：如图，连接，过点作于点，设，∴，∵，∴，∴，∵,∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴又，，∴，∴设，∵，∴∴，∴，在与中，∴∴∵，,又∵,∴,∴（3）解：如图所示，过点作于点，交的延长线于点，过点作于点，由（2）可知是等腰直角三角形，依题意，则四边形是正方形，∴，,∴，∴是等腰直角三角形，∴∵，，∴∴即∴∴,，则，∴,∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，在中，,∵折叠，∴设∴在中，∴∴，∴，∵，∴,设，则在中，，即①∵折叠，∴，又∵∴∴∴②，联立①②得解得：或（舍去）∴∴．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，折叠的性质，解直角三角形，构造全等三角形是解题的关键．5．如图1，中，，，以为直径的恰好经过点，延长至，使得，连接．(1)求的半径；(2)求证：；(3)如图2，在上取点，连接并延长交于点，连接交于点．①当时，求的值；②设，，求关于的函数表达式．【答案】(1)的半径是；(2)见解析(3)①；②．【分析】（1）由是的直径，得，用勾股定理可得的半径是；（2）证明直线是的垂直平分线，有，故；（3）①由，得，可得，，设，在中，，得，即得，，，从而得；②过A作于K；连接，由，得，而，即可得，，又，有，，再证，得，故，即得．【详解】（1）解：∵是的直径，∴，∴，∴的半径是；（2）证明：由（1）知，∴，∵，∴直线是的垂直平分线，∴，∴；（3）解：①如图：∵，∴，∵，∴，∴，∴，设，则，在中，，∴，解得，∴，，∴，∴；②过A作于K，连接，如图：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握圆的相关性质和相似三角形的判定定理．6．在中，，．点D是平面内一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，．(1)如图1，若点D为线段的中点，且，求的长；(2)如图2，若点D为内部一点，过点A作交的延长线于点F，交于点G，求证：；(3)如图3，在（1）的条件下，点M是射线上的一点，点N是线段上一点，且，连接，．当最小时，直接写出与的面积的和．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）连接，根据可证，得到，，然后在中根据勾股定理求解即可；（2）延长至点M，使，连接，延长交于点N，角于点Q，根据可证，得出，结合三角形的内角和定理可证，进而证出，然后根据平行线分线段成比例可得出，即可得出结论；（3）将绕点B顺时针旋转，连接交与N，以A为原点，建立如图所示的直角坐标系，过E作点H，根据可证，得出，进而得出，故当E，N，C三点共线时，最小，然后根据等腰三角形的性质求出C，E的坐标，再由待定系数法求出直线解析式，可求，，再等腰三角形的性质求出，，最后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）解：连接，∵绕着点A逆时针旋转得到线段，∴，，又，∴，又，∴，∴，，∵，，∴，∴，∵，点D为线段的中点，且，∴，∴；（2）证明：延长至点M，使，连接，延长交于点N，交于点Q，∵，∴，又，∴，又，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴；（3）解：将绕点B顺时针旋转，连接交与N，以A为原点，建立如图所示的直角坐标系，过E作点H则，∴，，又，∴，∴，∴，当E，N，C三点共线时，最小，∵，，∴，∴，∴，∴，，设直线解析式为，则，解得，∴，当时，，即，∴，过N作于点P，过M作于点K，∴，∴．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．7．【问题发现】（1）如图①，是等边三角形，点D，E分别是边上一点，且，点P在线段上运动，以为边向右作等边．①求证：②过点F作于点G，连接，请判断的长度是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．【类比探究】（2）如图②，长方形中，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，当点F从点B运动到点A时，请求出点G运动的路程．【答案】（1）①见解析；②是；；（2）4．【分析】（1）①作交于点Q，易证是等边三角形，结合已知可得，，利用三角形外角求得从而计算出即可；②利用等腰三角形性质和三角形外角求得，在证即可求解；（2）长方形中，如图2，连接，过点G做，易证是等腰直角三角形，可得，由、，可得，易证，可得为定值，如图3，当F在点B时，点G在点处，当点F在点A时，点G在点处，由G到的距离始终为1，，由勾股定理及旋转可求得，结合，可求得，在中运用勾股定理可求解．【详解】解：（1）①如图①甲，作交于点Q，∵是等边三角形，

∴，∵，∴，，

∴是等边三角形，∴，∵，

∴，∴，∴，

∴，∴，

∴，

∴；②∵，，

∴，在中，，∵是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，在和中，，

∴，∴；（2）长方形中，，，，如图2，连接，过点G做，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，如图3，当F在点B时，点G在点处，当点F在点A时，点G在点处，∵G到的距离始终为1，∴，由旋转可知，且，∴，在中，，即当点F从点B运动到点A时，请求出点G运动的路程为4．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的证明和性质、勾股定理、角的有关计算及即一线三角模型的应用；解题的关键是通过角的转换证明三角形全等．8．如图，等腰中，，平分．点为上的动点，连接，将沿折叠得到．(1)若，试求出的长度；(2)若，设与相交于点．①请求出的度数；②连接，过点作交的延长线于点．若，．试求线段的长．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质即可得出答案；（2）①如图，连接，先证明是等边三角形，得出，再利用三角形的外角的性质得出即可；②过点作于，于，于，先证明，在中，，得出，设，则，推出，，，再证明，得出，由此构建方程即可求解．【详解】（1）解：∵，平分，，∴，∴．∴的长度为．（2）解：①如图，连接，∵，平分，∴，，∴，又∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴，由翻折的性质可知：，∴，∵平分，∴，∴，∴的度数为；②如图，过点作于，于，于，∵平分，，∴，，∴，∴平分，∴，∵，∴，在中，，∴，在中，，∴，设，则，，∵，，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴线段的长为．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，角平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，本题运用了方程的思想．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．9．在等边三角形中，点D为上一点，连接，将绕D逆时针旋转角度得到，连接，已知，；(1)如图1，若，，连接，求的长；(2)如图2，若，分别取的中点H，的中点F，连接，，求证：；(3)如图3，若，P为上一点，且满足，连接，将沿着所在直线翻折得到，连接，当最大时，直接写出的面积．【答案】(1)；(2)见解析；(3)．【分析】（1）解：由旋转性质及等边三角形性质可知，可证（SAS），得，由，可得，，根据，可得，从而通过可计算出结果；（2）延长，使，连接，，则，根据题意可知，为的中位线，即，类比（1）可证得（SAS），可得，即，由为的中点，可得，，从而可得，即可得结论；（3）由（1）知，，，，由，则，可得，由，得，作，可得，利用相似三角形得性质可列比例式，求得，，，可知点的轨迹为：以为圆心，为半径的圆，由翻折可知，，而，当，，在同一直线上时取最大值，即取最大值，此时，，，进而可求得面积．【详解】（1）解：由旋转性质可知，，∵旋转角，∴是等边三角形，则，，∵为等边三角形，∴，，∴，即，∴（SAS），∴，∵，，，∴，，又∵，∴，∴；（2）证明：延长，使，连接，，则，即为的中点，∵为的中点，∴为的中位线，即，旋转角，由旋转性质可知：，∵为的中点，∴，平分，∴，，则，∴为等边三角形，∴，，又∵为等边三角形，∴，，∴，即，∴（SAS），∴，即，∵为的中点，∴，，∴∴．（3）由（1）知，，，，∵，则，∴，由，得，作，则：，∴，则，，，即点的轨迹为：以为圆心，为半径的圆，由翻折可知，，而，当，，在同一直线上时取最大值，即：取最大值，如图此时，，，则．【点睛】本题属于几何题综合，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，翻折的性质，勾股定理，解直角三角形，添加辅助线构造全等三角形及相似相似三角形是关键．10．【母体呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为．求的周长．解：是由折叠而得到

，

的周长为：【知识应用】在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接．（1）如图1，若，，求的面积；（2）如图2，求证平分；【拓展应用】如图3，在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接，过点作．（3）若，，，直接写出长；（4）若，求证．【答案】（1）（2）证明过程见解析（3）（4）证明过程见解析【分析】（1）根据已知条件可得，从而可以计算得解；（2）过点分别作、、边的垂线，垂足分别为点、、，利用全等性质，通过等量代换即可得到，通过角平分线性质即可得证；（3）过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接，通过条件可证得，利用关系即可得解；（4）过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接，通过条件可证得，然后将整理化简，最后等量代换即可得证．【详解】（1）解：由题可知，，，，；（2）证明：如图，过点分别作、、边的垂线垂足分别为点、、，由题可知，，，，平分，，，，则平分；（3）解：如图，过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接，由题可知，，，,由（2）可知，，，,即，解得；（4）证明：如图，过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接，由（2）可知，，，，，，，，四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，即，【点睛】本题考查了图形折叠、全等三角形、角平分线性质，适当添加辅助线，采用等量代换的方法是解题关键．11．（1）已知中，，．①如图1，点M，N均在边上，，，，连接；请直接写出与的数量关系②如图2，点M在边上，点N在的上方，且，求证：；（2）如图3，在四边形中，，平分，若与互余，则的大小为______（用含的式子表示）．【答案】（1）①；②详见解析；（2）【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，由直角三角形的性质可得出结论；②如图2，在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，则可得出结论；（2）如图3，过点D作于点M，于点N，在上截取．证明，得出，证明，得出，由三角形内角和定理可求出答案．【详解】解：（1）①．∵，，∴，，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．故答案为：．②如图，在上截取，连接，∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．（2）如图，过点作于点，于点，在上截取．∵平分，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，故答案为．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加辅助线解决问题．12．如图，在中，半径弦于点E，连接，，点D为上一点，连接、．(1)如图1，求证；(2)如图2，点F为上一点，连接，，若，求证：平分；(3)如图3，在（2）的条件下，平分，交于点K，连接，设与交于点H，，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】(1)根据半径弦可得，，再根据圆周角定理可证得，据此即可证得结论；(2)首先可证得，可得，再根据圆周角定理可证得结论；(3)延长到点P，使，连接，设，，设，设，根据圆周角定理及圆内接四边形，可证得，据此即可证得是等腰三角形，，可证得，根据相似三角形的性质可求得，即可求得，，，，，过点O作于点L，连接、，可求得，，根据勾股定理可求得、、及的长．【详解】（1）证明：半径弦，，，，；（2）证明：，，，，，，平分；（3）解：如图：延长到点P，使，连接，，设，，则，，设，，平分，设，四边形是圆内接四边形，，在与中，，，，，，是等腰三角形，，又，，得，解得，，，，，，过点O作于点L，连接、，，，在中，，，在中，，，，解得，在中，，在中，．【点睛】本题考查了圆周定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，综合性很强，作出辅助线是解决本题的关键．13．如图，四边形内接于，对角线交于点E，连接交于点F，．(1)如图（1）求证：．(2)如图（2）若，求证：．(3)如图（3）在（2）的条件下，作交CD于点G，于点M，若，，求线段OF的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）如图：连接OB，设，根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得、；然后根据三角形内角和定理求得，最后根据圆周角定理得到即可解答；（2）根据可得，再根据直角三角形的性质和垂直的性质可得、，然后由同弧所对的圆周角相等可得，由直角三角形的性质可得最后、，进而得到，最后由等边对等角即可证明结论;（3）先证明可得，，进而得到EG平分可得，设设，则，，，进而求得；如图：过点M作于H，连接，再根据等腰三角形的性质可得，最后运用正切函数和勾股定理即可解答．【详解】（1）证明：如图：连接OB，设，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∵，∴，在中，，在中，，，∴，∴，∴．（3）解：如图：过点M作于H，连接∵，∴垂直平分，∴，在中，EM为斜边中线，∴，在和中，，∴（SSS），∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴EG平分，∴点G到、的距离相等，∴，∵，∴，设，则，∴，，∴，∴，∵等腰，∴，在中，勾股定理得，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，在中，，在中，，∴，∴，在中，勾股定理得，∴，，，∴，在中，，∴．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、正切函数等知识点，考查知识点较多，综合运用相关知识成为解答本题的关键．14．在四边形中，，；(1)如图1，已知，求得的大小为___________；(2)已知，，在（1）的条件下，利用图1，连接，并求出的长度；(3)问题解决：如图2，已知，，现需要截取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧符合如图2所示的四边形，为了尽可能节约，你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形面积的最小值；如果不能，请说明理由．【答案】(1)；(2)5；(3)能，四边形面积的最小值为．【分析】（1）根据四边形的内角和为，即可求出的大小；（2）将绕点B逆时针旋转得到，由旋转性质可知，，，，，，易证是等边三角形，得到，再证明，利用勾股定理即可得到答案；（3）将绕点B逆时针旋转得到，连接，作的外接圆，连接，与交于点K，根据可知，当面积最大时，四边形的面积最小，求出面积的最大值即可得到答案．【详解】（1）解：四边形的内角和为，，，，，故答案为：；（2）解：如图①，将绕点B逆时针旋转得到，连接，由旋转性质可知，，，，，，是等边三角形，，，，，；图①（3）解：能，如图②，将绕点B逆时针旋转得到，连接，作的外接圆，连接，与交于点K，

图②由（2）可知是等边三角形，，当面积最大时，四边形的面积最小，，，，，，，点A在定圆上运动，当O、A、B共线时，的面积最大，此时，，，，在上取一点F，使得，，，是等腰直角三角形，设，则，，，解得，，的面积最大值为，在中，，，四边形的面积的最小值为．【点睛】本题考查了四边形综合题，等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，旋转的性质等知识，解题关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．15．问题探究：(1)如图（1），在中，，，点为边上的一动点，以为边在右侧作，且，，连．若，求的长；(2)如图（2），边长为4的等边，点为边上的一动点，以为边在右侧作，连接，则__________；__________；的周长最小值是__________．问题解决：(3)如图3，四边形中，，，，，点分别为边，上的动点，且，是否存在点，使得四边形面积最大且的周长最小？若存在，求出四边形面积最大值和的周长最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)的长为(2)，4，(3)存在点，使得四边形面积最大且的周长最小，当点与点重合时，使得四边形面积最大且的周长最小，此时四边形面积为，的周长为【分析】（1）由得，通过证明，得到，从而得到，最后用勾股定理，计算即可得到答案；（2）由、为等边三角形，可证明出，从而得到，即可求出，由的周长，当时，最小，此时的周长也最小，计算即可得到答案；（3）延长交于点，根据含有角的直角三角形的性质，可求出的长，令，则，从而可以表示出四边形面积，求出使四边形面积最大时的的值，作，交的延长线于，根据勾股定理，表示出的长，从而表示出的周长，求出使的周长最小的的值，看两个值是否相等，即可得到答案．【详解】（1）解：，，，，在和中，，，，，，，，的长为；（2）解：、为等边三角形，，，，在和中，，，，，，的周长，当时，最小，，为的中点，，，周长的最小值，故答案为：，4，；（3）解：如图，延长交于点，，，，，，，，，，，在中，，设，，，，，解得：，（舍），，，令，，，，，，，，随的增大而增大，，当时，最大，为，如图所示，作，交的延长线于，，，，，，的周长，，，，当时，的周长最小为，因此存在点，使得四边形面积最大且的周长最小，当点与点重合时，使得四边形面积最大且的周长最小，此时四边形面积为，的周长为．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，作出恰当的辅助线．16．如图1，已知，在中，，，，点D在AB上且，点P，Q分别从点D，B出发沿线段，向终点B，C匀速移动，P，Q两点同时出发，同时到达终点．设，．(1)求的值．(2)求y关于x的函数表达式．(3)如图2，过点P作于点E，连接，．①当为等腰三角形时，求x的值．②过D作于点F，作点F关于的对称点，当点落在的内部（不包括边界）时，则x的取值范围为___________．【答案】(1)(2)(3)①或或；②【分析】（1）求出的长，进一步求得结果；（2）先表示出的长，进而求得结果；（3）先表示出和的长，进而根据列出方程，从而求得结果．【详解】（1）解：，，；（2）由题意得：，，，，；（3）①如图1，作于G，在中，，，，，，在中，，，，，当时，，化简得：，解得：（舍去），当时，，化简得：，解得：（舍去），当时，，综上所述：或或；②，，由（2）得：，，当，且时，点在的内部，此时，,，又，．【点睛】本题考查了等腰三角形的分类，勾股定理，一次函数，解直角三角形，轴对称，解题的关键是具备较强的计算能力．17．问题提出

如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：．尝试应用

如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：．问题拓展

如图3，中，，点D，E分别在边，