专题1.2等边三角形（专项训练）-2022-2023学年八年级数学下册《考点解读专题训练》（北师大版）2

专题1.2等边三角形（专项训练）1．（2022春•海淀区校级期中）如图，等边△ABC的边长为6，AD⊥BC于点D，则AD的长为（）A．3 B．6 C．3 D．3【答案】D【解答】解：在等边△ABC中，∵AD⊥BC，∴D为BC的中点，∵等边三角形的边长为6，∴AB＝6，BD＝3，根据勾股定理，得AD＝＝3，故选：D．2．（2021秋•香洲区期中）如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（）A．30° B．20° C．25° D．15°【答案】D【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是等边△ABC的一条中线，∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED，∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，∴∠ADE＝75°，∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，故选：D．3．（2022春•雁塔区校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（）A．25° B．20° C．15° D．7.5°【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°．∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，∴∠CGD+∠CDG＝60°．∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°．∵∠CDG＝∠DFE+∠E，∴∠DFE+∠E＝30°．∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝15°．故选：C．4．（2021秋•湘桥区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠BEC＝90°，则∠ACE等于．【答案】15°【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC＝45°，∴∠ECB＝45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，故答案为：15°5．（2022春•市北区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，AD＝DE，如果∠BAD＝20°，∠AED＝60°，那么∠EDC的度数为度．【答案】10【解答】解：∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝60°，∵∠BAD＝20°，∴∠BAC＝80°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣80°）＝50°，∴∠EDC＝∠DEA﹣∠C＝60°﹣50°＝10°，故答案为：10．6．（2021秋•北安市校级期末）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若AB＝12cm，求CM的长．【解答】解：（1）∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，∴△PMN是等边三角形；（2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP，∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，∴BM+PB＝AB＝12cm，∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴2PB＝BM，∴2PB+PB＝12cm，∴PB＝4cm，∴MC＝4cm．7．（2019秋•泸县期末）等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．【解答】解：△APQ为等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC．在△ABP与△ACQ中，∵，∴△ABP≌△ACQ（SAS）．∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．8．（2019秋•岳麓区校级月考）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC与BE相交于点M，AD、CE相交于点N．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）求∠APM的度数；（3）连接MN，求证：△CMN是等边三角形．【解答】（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACD，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）由（1）知，△ACD≌△BCE，则∠DAC＝∠EBC，即∠PAM＝∠CBM，∵∠AMP＝∠BMC，∴∠APM＝∠BCM，∵∠BCM＝60°，∴∠APM＝60°；（3）由（1）知，△ACD≌△BCE，则∠ADC＝∠BEC，即∠CDN＝∠CEM，∵∠ACE＝60°，∠ECD＝60°，∴∠MCE＝∠NCD，在△MCE和△NCD中，，∴△MCE≌△NCD（AAS），∴CM＝CN，∵∠MCN＝60°，∴△MCN是等边三角形．9．（2021秋•西城区校级期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周长．【解答】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°；∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，∴△ODE为等边三角形．（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，∴∠DOB＝∠DBO，∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；∴△ODE的周长＝BC＝10．10．（2021秋•东丽区期末）如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形，（1）求证：△ABE≌△ADC；（2）若∠ACD＝15°，求∠AEB的度数；（3）如图2，当△ABD与△ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上，求证：AC∥BE．【解答】（1）证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形∴AB＝AD，AE＝AC∠DAB＝∠EAC＝60°∴∠DAC＝∠BAE，在△ABE和△ADC中∴，∴△ABE≌△ADC；（2）由（1）知△ABE≌△ADC∴∠AEB＝∠ACD∵∠ACD＝15°∴∠AEB＝15°；（3）同上可证：△ABE≌△ADC∴∠AEB＝∠ACD又∵∠ACD＝60°∴∠AEB＝60°∵∠EAC＝60°∴∠AEB＝∠EAC∴AC∥BE11．（2021秋•平定县期末）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD＝CE，②AC＝CE+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE．②∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE．∵BC＝BD+CD，∴BC＝CE+CD．∵BC＝AC，∴AC＝CE+CD．（2）BC+CD＝CE．∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD＝CE．∵BD＝BC+CD，∴CE＝BC+CD，∵BC＝AC，∴AC＝CE﹣CD．12．（2021秋•济宁期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在边AC的延长线上，且DA＝DE．（1）求证：∠BAD＝∠EDC：（2）用等式表示线段CD，CE，AB之间的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，∴∠ECF＝∠ACB＝60°，∵CF＝CE，∴△CEF为等边三角形，∴∠F＝∠CEF＝60°，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵∠ADB＝∠DAE+∠ACB＝∠DAE+60°，∠DEF＝∠CEF+∠DEA＝60°+∠DEA，∴∠ADB＝∠DEF，在△ADB和△DEF中，，∴△ADB≌△DEF（AAS），∴∠BAD＝∠EDF，即∠BAD＝∠EDC．（2）解：AB＝CD+CE．证明：∵△ADB≌△DEF，∴AB＝DF，BD＝EF，∵DF＝DC+CF＝CD+CE，∴AB＝CD+CE．13．（2022秋•南岗区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，则AC的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】C【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，AC＝AB＝×8＝4（cm）．故选：C．14．（2021秋•琼海期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BCD＝30°，CD是△ABC的高，且BD＝2，则AD的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，∴∠BCD＝∠A＝30°，∵BD＝2，∴BC＝4，∴AB＝8，∴AD＝AB﹣BD＝6．故选：A．15．（2021秋•乐东县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，若∠ABC＝60°，CD＝1cm，则AC的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【答案】B【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴BD＝AD，∴∠DBA＝∠A＝30°，∴∠BDC＝∠DBA+∠A＝60°；∵∠C＝90°，∴∠CBD＝90°﹣∠BDC＝30°，∴BD＝2CD＝2cm，∴AD＝BD＝2cm．∴AC＝AD+DC＝3（cm），故选：B．16．（2022秋•乳山市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm．AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．AC的垂直平分线交AC于点G，交BC于点F．则EF的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】C【解答】解：连接AE，AF，∵AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E；AC的垂直平分线交AC于点G，交BC于点F．∴BE＝AE，CF＝AF，∴∠EAB＝∠B，∠CAF＝∠C，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAE+∠CAF＝60°，∠AEF＝∠AFE＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE＝AF＝EF，∴BE＝EF＝FC，∵BC＝15cm，∴EF＝5cm．故选：C．17．（2021秋•阿鲁科尔沁旗期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°．DE垂直平分AB，交BC于点E．若BE＝10cm．则AC＝（）A．3cm B．4cm C．5cm D．10cm【答案】C【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA＝10cm，∴∠B＝∠BAE＝15°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°，∵∠ACB＝90°，∴AC＝AE＝5（c