专题14锐角三角函数专题

专题14锐角三角函数专题考点1：网格中的三角函数问题（中考常考题）1．（2023·江苏·统考中考真题）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是．

【答案】【分析】如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，根据正六边形的内角为，设正六边形的边长为1，求得，根据正切的定义，即可求解．【详解】解：如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，

∵正六边形对边互相平行，且内角为，∴

过点作于，∴设正六边形的边长为1，则，，∴故答案为：．2．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则．

【答案】【分析】取的中点，连接，先根据勾股定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据正弦的定义即可得．【详解】解：如图，取的中点，连接，

，，又点是的中点，，，故答案为：．3．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，在正方形网格中，的顶点、、都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则．【答案】/0.8【分析】如图所示，过点C作CE⊥AB于E，先求出CE，AE的长，从而利用勾股定理求出AC的长，由此求解即可．【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥AB于E，由题意得，∴，∴，故答案为：．4．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均为格点．【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、，相交于点并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因为∠∠=∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．(1)【拓展应用】如图②是以格点为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使=，写出作法，并给出证明：(2)【拓展应用】如图③是以格点为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦上找出一点P．使=·，写出作法，不用证明．【分析】（1）取格点，作射线交于点P，则根据垂径定理可知，点P即为所求作；（2）取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作．利用正切函数证得∠FMI=∠MNA，利用圆周角定理证得∠B=∠MNA，再推出△PAM∽△MAB，即可证明结论．【详解】（1）解：【操作探究】在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因为∠∠=∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．故答案为：；取格点，作射线交于点P，点P即为所求作；（2）解：取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作；证明：作直径AN，连接BM、MN，在Rt△FMI中，，在Rt△MNA中，，所以．∴∠FMI=∠MNA，∵∠B=∠MNA，∴∠AMP=∠B，∵∠PAM=∠MAB，∴△PAM∽△MAB，∴，∴=·．考点2：三角函数的实际应用（中考数学中必考题）5．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】过点作，垂足为，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，根据题意可得，在中，，，在中，，，．故则这栋楼的高度为．故选：B．

6．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段表示“铁军”雕塑的高，点，，在同一条直线上，且，，，则线段的长约为m.（计算结果保留整数，参考数据：）【答案】【分析】由，可得，可推得，由三角函数求出即可．【详解】∵，，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴解得，故答案为：．

7．（2023·江苏泰州·统考中考真题）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为里．

【答案】9【分析】由切圆于D，切圆于C，连接，得到，里，由勾股定理求出，由，求出（里），即可得到答案．【详解】解：如图，表示圆形城堡，

由题意知：切圆于D，切圆于C，连接，∴，里，∵里，∴里，∴，∵，∴，∴（里）．∴城堡的外围直径为（里）．故答案为：9．8．（2022·江苏南通·统考中考真题）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为m（结果保留根号）．【答案】/【分析】在中，利用，求出，再加上1m即为AC的长．【详解】解：过点D作交于点E，如图：则四边形BCED是矩形，∴BC=DE，BD=CE，由题意可知：，，在中，，∴，∴，故答案为：9．（2021·江苏无锡·统考中考真题）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为米．【答案】【分析】根据题意画出图形，设BC=x，则AB=7x，AC=，列出方程，进而即可求解．【详解】解：设BC=x，则AB=7x，由题意得：，解得：x=，故答案为：．10．（2023·江苏镇江·统考中考真题）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．如图1是俯视图，分别表示门框和门所在位置，M，N分别是上的定点，，的长度固定，的大小可变．

(1)图2是门完全打开时的俯视图，此时，，，求的度数．(2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置．（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）(3)在门开合的过程中，的最大值为______．（参考数据：）【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）在中，利用锐角三角函数求得结果；（2）以点O为圆心、的长为半径画弧，与以点F为圆心、的长为半径的弧交于点，连接得出门的位置；（3）当最大时，的值最大，过点O作MN的垂线段，当这条垂线段最大时，最大，即当垂线段为OM即垂足为M时，最大，故的最大值为．【详解】（1）解：在中，，∴．∴．（2）门的位置如图1中或所示．（画出其中一条即可）

（3）如图2，连接，过点O作，交的延长线于点H．

∵在门的开合过程中，在不断变化，∴当最大时，的值最大．由图2可知，当与重合时，取得最大值，此时最大，∴的最大值为．故答案为：11．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．

【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．

【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．

【答案】[问题背景]；[活动探究]；[应用拓展]【分析】[问题背景]根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案；[活动探究]根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案；[应用拓展]过点作于点，过点作于点，证，得，再由锐角三角函数定义得，设，，则，，进而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性质得，即可解决问题．【详解】解：[问题背景]如图所示：

，，，，，，，，，解得；[活动探究]如图所示：

，，，，，，，，，解得；，，，，，，，，，解得；；[应用拓展]如图，过点作于点，过点作于点，由题意得：，，，，，即，，，，，即，，，，由题意得：，，，，设，，则，，，，解得：（负值已舍去），，，，，同【问题背景】得：，，，解得：，，答：信号塔的高度约为．12．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）

【答案】堤坝高为8米，山高为20米．【分析】过B作于H，设，，根据勾股定理得到，求得，过B作于F，则，设，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：过B作于H，

∵坡度i为，∴设，，∴，∴，∴，过B作于F，则，设，∵．∴，∴，∵坡度i为，∴，∴，∴（米），∴（米），答：堤坝高为8米，山高为20米．13．（2023·江苏徐州·统考中考真题）徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点处，用测角仪测得塔顶的仰角，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点处，测得塔顶的仰角．若测角仪距地面的高度，求电视塔的高度（精确到．（参考数据：）

【答案】【分析】先证四边形是矩形，四边形是平行四边形，得，然后在和中，解直角三角形以及由构造方程求解即可得解．【详解】解：∵，，，，∴四边形是矩形，，∴，，，∴四边形是平行四边形，∴，在中，，，∴，在中，，，∴，∴，∴，解得，∴电视塔的高度．14．（2023·江苏苏州·统考中考真题）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：）

【答案】点离地面的高度升高了，升高了．【分析】如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，，当时，则，，从而可得答案．【详解】解：如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，∴，

∵，，∴四边形是平行四边形，∴，当时，则，此时，，∴，当时，则，∴，而，，∴点离地面的高度升高了，升高了．15．（2023·江苏连云港·统考中考真题）渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥处出发，沿着坡角为的山坡向上走了到达处的三龙潭瀑布，再沿坡角为的山坡向上走了到达处的二龙潭瀑布．求小卓从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度为多少米？（结果精确到）（参考数据：）

【答案】【分析】过点作，垂足为，在中，根据求出，过点作，垂足为，在中，根据求出，进而求解即可．【详解】过点作，垂足为．在中，，∴．过点作，垂足为．

在中，，∴．∵，∴．答：从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度约为．16．（2022·江苏南京·统考中考真题）如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且、之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且、之间的距离为，一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔位于北偏东方向上，这时，处距离港口有多远（结果取整数）？（参考数据：，，，，，）

【答案】处距离港口约【分析】过点作的延长线于点，在中，求得，在中，求得，根据，即可求解．【详解】解：过点作的延长线于点在中，，∵，，，∴，在中，∵，，∴∴∴处距离港口约．

17．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连.为了计算、两点之间的距离，经测量得：，，米，求、两点之间的距离．（参考数据：，，，，，）【答案】、两点之间的距离约为94米【分析】过点作，垂足为点，分别解，，求得的长，进而根据即可求解．【详解】如图，过点作，垂足为点，在中，∵，米，∴，，∴（米），（米），在中，∵，米，∴，∴（米），∴（米）.答：、两点之间的距离约为94米.18．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面，坡角．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为，在坡面上的影长为．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．

【答案】(170+60)cm【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可．【详解】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，

在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，则DF=CD=90（cm），CF=CD•cos∠DCF=180×=90（cm），由题意得：=，即=，解得：EF=135，∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm，则=，解得：AB=170+60，答：立柱AB的高度为(170+60)cm．19．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是，高为．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径、以及、组成的轴对称图形，直线为对称轴，点、分别是、的中点，如图2，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角，发现并证明了点在上．请你继续完成长的计算．参考数据：，，，，，．【答案】42cm【分析】连接，交于点．设直线交于点，根据圆周角定理可得，解，得出，进而求得的长，即可求解．【详解】解：连接，交于点．设直线交于点．∵是的中点，点在上，∴．在中，∵，，∴，．∵直线是对称轴，∴，，，∴．∴．∴，．在中，，即，则．∵，即，则．∴．∵该图形为轴对称图形，张圆凳的上、下底面圆的直径都是，,∴．∴．20．（2022·江苏盐城·统考中考真题）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m．(1)求、两点之间的距离；(2)求长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，，）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）连接，过点作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．（2）过点作，垂足为，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．【详解】（1）解：如图2，连接，过点作，交的延长线于．在中，，，所以，，所以，在中，m，m，根据勾股定理得m，答：、两点之间的距离约6.7m．（2）如图2，过点作，垂足为，则四边形为矩形，m，，所以m，在中，m，m，根据勾股定理得m．m．答：的长为4.5m．21．（2022·江苏泰州·统考中考真题）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB=8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少?（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】【分析】过M点作ME⊥MN交CD于E点，证明四边形ABCM为矩形得到CM=AB=8，∠NMC=180°∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD=∠EMC，且∠CME=90°∠CMN=28°，进而求出∠CMD=56°，最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解．【详解】解：过M点作ME⊥MN交CD于E点，如下图所示：∵C点在M点正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房顶AM与水平地面平行，AB为墙面，∴四边形AMCB为矩形，∴MC=AB=8m，AB∥CM，∴∠NMC=180°∠BNM=180°118°=62°，∵地面上的点D经过平面镜MN反射后落在点C，结合物理学知识可知：∴∠NME=90°，∴∠EMD=∠EMC=90°∠NMC=90°62°=28°，∴∠CMD=56°，在Rt△CMD中，，代入数据：，∴，即水平地面上最远处D到小强的距离CD是．22．（2022·江苏连云港·统考中考真题）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点处测得阿育王塔最高点的仰角，再沿正对阿育王塔方向前进至处测得最高点的仰角，；小亮在点处竖立标杆，小亮的所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，，．（注：结果精确到，参考数据：，，）(1)求阿育王塔的高度；(2)求小亮与阿育王塔之间的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由，解方程即可求解．（2）证明，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）在中，∵，∴．∵，∴．在中，由，得，解得．经检验是方程的解答：阿育王塔的高度约为．（2）由题意知，∴，即，∴．经检验是方程的解答：小亮与阿育王塔之间的距离约为．23．（2021·江苏泰州·统考中考真题）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）【答案】114m【分析】过点C作CE⊥DG于E，CB的延长线交AG于F，在Rt△BAF中可求得BF的长，从而可得CF的长；在Rt△DCE中，利用锐角三角函数可求得DE的长，从而由DG=DE+CF即可求得山顶D的高度．【详解】过点C作CE⊥DG于E，CB的延长线交AG于F，设山顶的所在线段为DG，如图所示在Rt△BAF中，α＝30°，AB=50m则BF=(m)∴CF=BC+BF=30+25=55(m)在Rt△DCE中，∠DCE，CD=180m∴(m)∵四边形CFGE是矩形∴EG=CF∴DG=DE+EG=DE+CF=59+55=114(m)即山顶D的高度为114m．24．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图，斜坡的坡角，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点，过其另一端安装支架，所在的直线垂直于水平线，垂足为点为与的交点．已知，前排光伏板的坡角．（1）求的长（结果取整数）；（2）冬至日正午，经过点的太阳光线与所成的角．后排光伏板的前端在上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：三角函数锐角13°28°32°0.220.470.530.970.880.850.230.530.62【答案】（1）；（2）【分析】（1）解Rt△ADF求出AF，再解Rt△AEF求出AE即可；（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，解Rt△ADF求出DF，Rt△DFG求出FG，得到AG，解Rt△AMN求出AM，根据AMAE可求出结论．【详解】解：（1）在Rt△ADF中，∴===88cm在Rt△AEF中，∴（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图，则∴在Rt△ADF中，在Rt△DFG中，∴∴AG=AF+FG=88+75.8=∵AN⊥GD∴∠ANG=90°∴在Rt△ANM中，∴∴∴的最小值为25．（2021·江苏盐城·统考中考真题）某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．支杆与悬杆之间的夹角为．（1）如图2，当支杆与地面垂直，且的长为时，求灯泡悬挂点距离地面的高度；（2）在图2所示的状态下，将支杆绕点顺时针旋转，同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，）【答案】（1）点距离地面113厘米；（2）长为58厘米【分析】（1）过点作交于，利用60°三角函数可求FC，根据线段和差求即可；（2）过点作垂直于地面于点，过点作交于点，过点作交于点，可证四边形ABGN为矩形，利用三角函数先求，利用MG与CN的重叠部分求，然后求出CM，利用三角函数即可求出CD．【详解】解：（1）过点作交于，∵，∴，，，∴，答：点距离地面113厘米；（2）过点作垂直于地面于点，过点作交于点，过点作交于点，∴∠BAG=∠AGN=∠BNG=90°，∴四边形ABGN为矩形，∴AB=GN=84(cm)，∵，将支杆绕点顺时针旋转，∴∠BCN=20°，∠MCD=∠BCD∠BCN=40°，∴，，，∴CG=CN+NG=50.76+84=134.76(cm)，∴，∵，∴，∵，∴，，，答：长为58厘米．26．（2021·江苏宿迁·统考中考真题）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：1.414，1.732)．【答案】无人机飞行的高度约为14米．【分析】延长PQ，BA，相交于点E，根据∠BQE＝45°可设BE＝QE＝x，进而可分别表示出PE＝x＋5，AE＝x－3，再根据tan∠APE＝，∠APE＝30°即可列出方程，由此求解即可．【详解】解：如图，延长PQ，BA，相交于点E，由题意可得：AB⊥PQ，∠E＝90°，又∵∠BQE＝45°，∴BE＝QE，设BE＝QE＝x，∵PQ＝5，AB＝3，∴PE＝x＋5，AE＝x－3，∵∠E＝90°，∴tan∠APE＝，∵∠APE＝30°，∴tan30°＝，解得：x＝≈14，答：无人机飞行的高度约为14米．27．（2021·江苏南京·统考中考真题）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得，，，，，设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：．）【答案】52m【分析】作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延长线于F．先证明四边形CEBF是正方形，设CE=BE=xm，根据三角函数表示出DE，根据列方程求出CE=BE=48m，进而求出CF=BF=48m，解直角三角形ACD求出AC，得到AF，根据勾股定理即可求出AB，问题得解．【详解】解：如图，作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延长线于F．∵∠FCD=90°，∴四边形CEBF是矩形，∵BE⊥CD，，∴∠BCE=∠CBE=45°，∴CE=BE，∴矩形CEBF是正方形．设CE=BE=xm，在Rt△BDE中，m，∵，∴，解得x=48，∴CE=BE=48m，∵四边形CEBF是正方形，∴CF=BF=48m，∵在Rt△ACD中，m，∴AF=CFAC=20m，∴在Rt△ABF中，m，∴A，B两点之间的距离是52m．28．（2021·江苏连云港·统考中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O到岸边的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．（参考数据：，，，，，）【答案】（1）8.1m；（2）4.58m【分析】（1）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用求出BF，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用;（2）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．【详解】（1）过点作，垂足为，延长交于点，则，垂足为．由，∴，∴，即，∴，由，∴，∴，即，∴．又，∴，∴，即，∴，即到岸边的距离为．（2）过点作，垂足为，延长交于点，则，垂足为．由，∴，∴，即，∴．由，∴，∴，即，∴．∴，∴，即点到岸边的距离为．考点3：利用三角函数解决综合问题29．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，四边形是矩形，分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，，则的正切值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】设，交于点，根据矩形的性质以及以点，为圆心，线段，长为半径画弧得到，，设，故，在中求出的值，从而得到，从而得到，即可求得答案．【详解】解：设，交于点，由题意得，，，四边形是矩形，，，，，设，故，在中，，即，解得，，，，，．

故选：C．30．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，过作于，证明，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，，再利用正切的定义可得答案．【详解】解：如图，过作于，

∵，∴，∵，即，∴，∵，∴，∴，即，设，则，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故选A31（2023·江苏扬州·统考中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是(

)A．1 B．2 C．6 D．8【答案】C【分析】如图，作，，则，，，，由是锐角三角形，可得，即，然后作答即可．【详解】解：如图，作，，交的延长线于点E

∴，，∴，，∵是锐角三角形，∴，即，∴满足条件的长可以是6，故选：C．32．（2021·江苏连云港·统考中考真题）如图，中，，、相交于点D，，，，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点C作的延长线于点，由等高三角形的面积性质得到，再证明，解得，分别求得AE、CE长，最后根据的面积公式解题．【详解】解：过点C作的延长线于点，与是等高三角形，设，故选：A．33．（2023·江苏·统考中考真题）如图，在中，，点D在边AB上，连接CD．若，，则．

【答案】/【分析】由题意可设，则，，在中求得，在中求出答案即可．【详解】解：，，设，则，，在中，由勾股定理得：，在中，．【点睛】本题考查的是求锐角三角函数，解题关键是根据比值设未知数，表示出边长从而求出锐角三角函数值．【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，切线的性质，切线长定理，关键是理解题意，得到，求出长即可．【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键．34．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在中，，垂足为．以点为圆心，长为半径画弧，与分别交于点．若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则．（结果保留根号）

【答案】/【分析】由，，，，，，，，求解，，证明，可得，再分别计算圆锥的底面半径即可．【详解】解：∵在中，，，∴，，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，，解得：，，∴；故答案为：35．（2022·江苏南通·统考中考真题）如图，点O是正方形的中心，．中，过点D，分别交于点G，M，连接．若，则的周长为．【答案】【分析】连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H，解直角三角形可得BG＝，AG＝AB，然后证明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，进而可证△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝CD，BM＝FM，然后根据等腰三角形三线合一求出DF＝FM，则BG＝DF＝FM＝BM＝，再根据直角三角形斜边中线的性质和三角形中位线定理分别求出OM、EM和OE即可解决问题．【详解】解：如图，连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H，∵，，∴∴AG＝AB＝，∴BG＝，∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°，∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°，∴∠EGD＝∠HDF∵∠AGB＝∠EGD，∴∠AGB＝∠HDF，在△ABG和△HFD中，，∴△ABG≌△HFD（AAS），∴AG＝DH，AB＝HF，∵在正方形中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°，∴DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，在△BCM和△FHM中，，∴△BCM≌△FHM（AAS），∴MH＝MC＝CD，BM＝FM，∴DH＝MH，∵FH⊥CD，∴DF＝FM，∴BG＝DF＝FM＝BM＝，∴BF＝，∵M是BF中点，O是BD中点，△BEF是直角三角形，∴OM＝，EM＝，∵BD＝，△BED是直角三角形，∴EO＝，∴的周长＝EO＋OM＋EM＝3＋＋，故答案为：．36．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，在四边形中，，平分．若，，则．【答案】【分析】过点作的垂线交于，证明出四边形为矩形，为等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．【详解】解：过点作的垂线交于，，四边形为矩形，，，平分，，，，∴∠CDB=∠CBD，，，，，，故答案为：．37．（2022·江苏扬州·统考中考真题）在中，，分别为的对边，若，则的值为．【答案】【详解】解：如图所示：在中，由勾股定理可知：，，，，，，，即：，求出或（舍去），在中：，故答案为：．38．（2021·江苏常州·统考中考真题）如图，在中，，点D、E分别在、上，点F在内．若四边形是边长为1的正方形，则．【答案】【分析】连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，由，可得FM=1，再根据锐角三角函数的定义，即可求解．【详解】解：连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，∵四边形是边长为1的正方形，∴∠C=90°，∴AB=，∵，∴，∴FM=1，∵BF=，∴．故答案是：．39．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，菱形的对角线相交于点为的中点，，．求的长及的值．

【答案】，【分析】根据菱形的性质得出，中，勾股定理求得的长，根据正切的定义即可求解．【详解】在菱形中，．∵，∴．在中，∵为中点，∴．∵．∴．∴．∴．40．（2022·江苏苏州·统考中考真题）（1）如图1，在△ABC中，，CD平分，交AB于点D，//，交BC于点E．①若，，求BC的长；②试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，和是△ABC的2个外角，，CD平分，交AB的延长线于点D，//，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为，△CDE的面积为，△BDE的面积为．若，求的值．【答案】（1）①；②是定值，定值为1；（2）【分析】（1）①证明，根据相似三角形的性质求解即可；②由，可得，由①同理可得，计算；（2）根据平行线的性质、相似三角形的性质可得，又，则，可得，设，则．证明，可得，过点D作于H．分别求得，进而根据余弦的定义即可求解．【详解】（1）①∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．②∵，∴．由①可得，∴．∴．∴是定值，定值为1．（2）∵，∴．∵，∴．又∵，∴．设，则．∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．如图，过点D作于H．∵，∴．∴．考点4：利用三角函数解决与圆相关问题41．（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图，为的弦，交于点，交过点的直线于点，且．(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求的长．【答案】(1)相切，证明见详解(2)6【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得出，，从而求出，再根据切线的判定得出结论；（2）分别作交AB于点M，交AB于N，根据求出OP，AP的长，利用垂径定理求出AB的长，进而求出BP的长，然后在等腰三角形CPB中求解CB即可．【详解】（1）证明：连接OB，如图所示：，，，，，，即，，，为半径，经过点O，直线与的位置关系是相切．（2）分别作交AB于点M，交AB于N，如图所示：，，，，，，，，，，．42．（2021·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD=BD．（1）判断直线CD与圆O的位置关系，并说明理由；（2）已知AB=40，求的半径．【答案】（1）直线CD与圆O相切，理由见解析；（2）【分析】（1）连接证明可得从而可得答案；（2）由设则再求解再表示再利用列方程解方程，可得答案．【详解】解：（1）直线CD与圆O相切，理由如下：如图，连接为的半径，是的切线．（2）设则（负根舍去）的半径为：43．（2021·江苏连云港·统考中考真题）如图，中，，以点C为圆心，为半径作，D为上一点，连接、，，平分．（1）求证：是的切线；（2）延长、相交于点E，若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）利用SAS证明，可得，即可得证；（2）由已知条件可得，可得出，进而得出即可求得；【详解】（1）∵平分，∴．∵，，∴．∴．∴，∴是的切线．（2）由（1）可知，，又，∴．∵，且，∴，∴．∵，∴．∵∴44．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．

(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若的半径为3，求的长．【答案】(1)直线与相切，理由见解析(2)6【分析】（1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出与相切；（2）解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可．【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：连接，则：，

∵，即：，∴，∵，∴，∴，∴，∵为的半径，∴直线与相切；（2）解：∵，的半径为3，∴，∴，∴，∵，∴，设：，则：，∴，∴．45．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，将矩形沿对角线翻折，的对应点为点，以矩形的顶点为圆心、为半径画圆，与相切于点，延长交于点，连接交于点．

(1)求证：．(2)当，时，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，由切线的性质得，则，由矩形的性质得，再由直角三角形两锐角互余得，根据对顶角相等和同圆的半径相等得，，然后由等角的余角相等得，最后由等角对等边得出结论；（2）由锐角三角函数得，，得，由翻折得，由得，再由矩形对边相等得，最后在中解直角三角形即可得出结论．【详解】（1）证明：如图，连接．

∵与相切于点E，∴，∴．∵四边形是矩形，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．（2）解：在中，，，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，由翻折可知，，∵四边形是矩形，∴，在中，，∴．考点5：三角函数解决图形运动问题46．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，在四边形中，，，，若线段在边上运动，且，则的最小值是（

）

A． B． C． D．10【答案】B【分析】过点C作，过点B作，需使最小，显然要使得和越小越好，则点F在线段的之间，设，则，求得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.【详解】解：过点C作，

∵，，∴，过点B作，∵，∴四边形是矩形，∴，需使最小，显然要使得和越小越好，∴显然点F在线段的之间，设，则，∴，∴当时取得最小值为．故选：B．47．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，在等腰中，，BC=，同时与边的延长线、射线相切，的半径为3．将绕点按顺时针方向旋转，、的对应点分别为、，在旋转的过程中边所在直线与相切的次数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先以A为圆心，以BC边的中线为半径画圆，可得⊙A的半径为3，计算出OA的长度，可知⊙O与⊙A相切，根据两个相切圆的性质，即可得到答案．【详解】解：如图：作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆∵AC、AB所在的直线与⊙O相切，令切点分别为P、Q，连接OP、OQ∴AO平分∠PAQ∵∠CAB=120°∴∠PAO=30°∵OP=3∴AO==6∵∠BAC=120°，AB=AC

∴∠ACB=30°，CD=BC=∴AD==3∴⊙A的半径为3,∴⊙O与⊙A的半径和为6∵AO=6∴⊙O与⊙A相切∵AD⊥BC∴BC所在的直线是⊙A的切线∴BC所在的直线与⊙O相切∴当=360°时，BC所在的直线与⊙O相切同理可证明当=180°时，所在的直线与⊙O相切．当⊥AO时，即=90°时，所在的直线与⊙O相切．∴当为90°、180°、360°时，BC所在的直线与⊙O相切故答案选C．48．（2022·江苏无锡·统考中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是．【答案】80/【分析】利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．【详解】解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB=∠ECA，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠EAC=∠DBC，∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；设BF与AC相交于点H，如图：∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四个点在同一个圆上，∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，∴此时线段AF长度有最小值，在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=4，即AE=4，∴∠FDE=180°90°60°=30°，∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE，过点F作FG⊥DE于点G，∴DG=GE=，∴FE=DF==，∴AF=AEFE=4，故答案为：80；4．49．（2021·江苏淮安·统考中考真题）如图（1），△ABC和△A′B′C′是两个边长不相等的等边三角形，点B′、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．开始时，点C′与点B重合，当点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC的边长是．【答案】5【分析】在点B'到达B之前，重叠部分的面积在增大，当点B'到达B点以后，且点C'到达C以前，重叠部分的面积不变，之后在B'到达C之前，重叠部分的面积开始变小，由此可得出B'C'的长度为a，BC的长度为a＋3，再根据△ABC的面积即可列出关于a的方程，求出a即可．【详解】解：当点B'移动到点B时，重叠部分的面积不再变化，根据图象可知B'C'＝a，，过点A'作A'H⊥B'C'，则A'H为△A'B'C'的高，∵△A'B'C'是等边三角形，∴∠A'B'H＝60°，∴sin60°＝，∴A'H＝，∴，即，解得a＝﹣2（舍）或a＝2，当点C'移动到点C时，重叠部分的面积开始变小，根据图像可知BC＝a＋3＝2＋3＝5，∴△ABC的边长是5，故答案为5．50．（2021·江苏镇江·统考中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD长的最大值为．【答案】9【分析】由旋转知△BPD是顶角为120°的等腰三角形，可求得BD＝BP，当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，求出AB的长即可解决问题．【详解】解：∵将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，∴BP＝PD，∴△BPD是等腰三角形，∴∠PBD＝30°，过点P作PH⊥BD于点H，∴BH＝DH，∵cos30°＝＝，∴BH＝BP，∴BD＝BP，∴当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，过点A作AG⊥BC于点G，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝BC＝3，∵cos∠ABC＝，∴，∴AB＝9，∴BD最大值为：BP＝9．故答案为：9．51．（2023·江苏镇江·统考中考真题）【发现】如图1，有一张三角形纸片，小宏做如下操作：

（1）取，的中点D，E，在边上作；（2）连接，分别过点D，N作，，垂足为G，H；（3）将四边形剪下，绕点D旋转至四边形的位置，将四边形剪下，绕点E旋转至四边形的位置；（4）延长，交于点F．小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：①点Q，A，T在一条直线上；②四边形是矩形；③；④四边形与的面积相等．【任务1】请你对结论①进行证明．【任务2】如图2，在四边形中，，P，Q分别是，的中点，连接．求证：．【任务3】如图3，有一张四边形纸，，，，，，小丽分别取，的中点P，Q，在边上作，连接，她仿照小宏的操作，将四边形分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求的长．【答案】[任务1]见解析；[任务2]见解析；[任务3]【分析】（1）由旋转的性质得对应角相等，即，，由三角形内角和定理得，从而得，即Q，A，T三点共线；（2）梯形中位线的证明问题常转化为三角形的中位线问题解决，连接并延长，交的延长线于点E，证明，可得，，由三角形中位线定理得；（3）过点D作于点R，由，得，从而得，由【发现】得，则，，由【任务2】的结论得，由勾股定理得．过点Q作，垂足为H．由及得，从而得，证明，得，从而得．【详解】[任务1]证法1：由旋转得，，．在中，，∴，∴点Q，A，T在一条直线上．证法2：由旋转得，，．∴，．∴点Q，A，T在一条直线上．[任务2]证明：如图1，连接并延长，交的延长线于点E．∵，∴．∵Q是的中点，∴．在和中，∴．∴，．又∵P是的中点，∴，∴是的中位线，∴，∴．

[任务3]的方法画出示意图如图2所示．

由【任务2】可得，．过点D作，垂足为R．在中，，∴．∴，∴，．在中，由勾股定理得．过点Q作，垂足为H．∵Q是的中点，∴．在中，，∴．又由勾股定理得．由，得．又∵，∴．∴，即，∴．∴．52．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，矩形是一张纸，其中，小天用该纸玩折纸游戏．游戏1

折出对角线，将点B翻折到上的点E处，折痕交于点G．展开后得到图①，发现点F恰为的中点．游戏2

在游戏1的基础上，将点C翻折到上，折痕为；展开后将点B沿过点F的直线翻折到上的点H处；再展开并连接后得到图②，发现是一个特定的角．(1)请你证明游戏1中发现的结论；(2)请你猜想游戏2中的度数，并说明理由．【分析】（1）由折叠的性质可得，根据题意可得，再设，然后表示出、，再由锐角三角函数求出即可；（2）由折叠的性质可知，，从而可得出，进而得到，，由（1）知，可得，在中求出的正切值即可解答．【详解】（1）证明：由折叠的性质可得，，四边形是矩形，，，，设，则，，，即，，解得，根据勾股定理可得，，即，．解得，，，点为的中点．（2）解：，理由如下：连接，如图：由折叠的性质可知，，，，，，，由（1）知，可得，，设，则，，，，在中，，，，．

53．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD为矩形，，点E在BC上，，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接