专题01一次函数的应用重难点题型归纳（原卷版）

专题01一次函数的应用重难点题型归纳目录TOC\o"13"\h\u【典型例题】 1【题型一方案选择问题】 1【题型二利润最大问题】 3【题型三行程问题】 5【题型四几何问题】 5【题型五其他问题】 5【专项综合检测】 9【题型一方案选择问题】【典型例题】【例1】（2023春·云南昆明·八年级校考阶段练习）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍，已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．(1)求A、B两种类型羽毛球拍的单价．(2)该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．【例2】（2023·四川·九年级专题练习）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．(1)求A、B两厂各运送多少吨水泥?(2)现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由【例3】（2023·全国·九年级专题练习）某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元/克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元/克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．(1)分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y（元）和重量x（克）之间的函数关系式；(2)李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？【强化训练】1、（22·23下·深圳·模拟预测）“后疫情时代”经济复苏，越来越多的人选择在假期外出旅游，五一假期为旅游旺季，深圳某景区为方便更多的游客在园区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张．(1)求弧形椅和条形椅的单价分别是多少元；(2)已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进200张休闲椅，并保证至少增加800个座位．求如何安排购买方案最节省费用、最低费用是多少元．2、（2023·河南新乡·河南师大附中校考三模）我市创全国卫生城市，某街道积极明应，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多350元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．(1)求垃圾箱和温馨提示牌的单价各是多少元？(2)如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共3000个．①求购买温馨提示牌和垃投箱所需费用w（元）与温馨提示牌的个数m的函数关系式；②若该街道计划购买温馨提示牌与垃圾箱的总费用不超过35万元，而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的1.5倍，问：该街道所购买的温馨提示牌多少个时，所需费用最省？最省费用是多少．3、（2023春·云南昆明·九年级专题练习）某校计划租用甲、乙两种客车送330名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需600元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1560元．甲客车每辆可坐30名师生，乙型客车每辆可坐45名师生．(1)租用甲、乙两种客车每辆各需多少元？(2)若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？【题型二利润最大问题】【典型例题】【例4】（2023·河南商丘·统考一模）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？【例5】（2023·四川·九年级专题练习）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价－进价）种类真丝衬衣真丝围巾进价（元/件）a80售价（元/件）300100(1)求真丝衬衣进价a的值．(2)若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？(3)按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？【例6】（2023春·四川遂宁·九年级专题练习）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？【强化训练】1、（2023·福建宁德·校考三模）某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用1200元购买B款保温杯的数量与用960元购买A款保温杯的数量相同．(1)A、B两款保温杯销售单价各是多少元？(2)由于需求量大，A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的一半，A款保温杯的进价为每个30元，B款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？2、（2023秋·河北唐山·九年级校考阶段练习）文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1．4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完．）3、（2023春·四川遂宁·九年级专题练习）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元．①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？【题型三行程问题】【典型例题】【例7】（2023·陕西·模拟预测）A，B两地相距300km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发1h，如图是甲，乙行驶路程y甲(km),y乙((1)填空：甲的速度为___________km/(2)分别求出y甲,y(3)求出点C的坐标，并写点C的实际意义．【例8】（2023·浙江·九年级专题练习）因疫情防控需婴，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h．两车离甲地的路程s(km(1)求出a的值；(2)求轿车离甲地的路程s(km)与时间(3)问轿车比货车早多少时间到达乙地？【例9】（2023春·甘肃天水·九年级天水市逸夫实验中学校考期中）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18km/h，乙骑行的路程skm与骑行的时间(1)直接写出当0≤t≤0.2和t>0.2时，与t之间的函数表达式；(2)何时乙骑行在甲的前面？【强化训练】1、（2023春·山东济宁·八年级统考期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示：

(1)小明家离体育场的距离为km，小明跑步的平均速度为km/min；(2)当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；(3)当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．2、（2023春·吉林长春·八年级长春市第二实验中学校考期中）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BC→CD→DE表示轿车离甲地的距离y(km)(1)线段CD表示轿车在途中停留了__________h；(2)求线段DE对应的函数解析式；(3)甲乙两地之间有一加油站，轿车到达加油站后又行驶0.4小时追上货车，求甲地与加油站之间的距离．3、（2023·全国·九年级专题练习）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．(1)a=______，b=_______．(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．(3)当甲车到达距B地90千米处时，求甲、乙两车之间的路程．【题型四几何问题】【典型例题】【例10】（2023春·广东茂名·八年级校考开学考试）如图，直线y＝kx+b(k＞0)与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA＝3，OB＝4．(1)求直线AB的函数表达式；(2)若C是第一象限内的直线AB上一点，当△AOC的面积为6时，求点C的坐标．【例11】（2023春·广东清远·八年级校考开学考试）如图，一次函数y1=-x-2与y2=x-m的(1)求点A的坐标及m的值；(2)若一次函数y1=-x-2与y2=x-m的图象与x轴分别交于点B，【例12】（2023·江苏苏州·苏州市景范中学校校考二模）如图，已知函数y=-12x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与函数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为2．在x轴上有一点P(a，0)（其中a>2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=-12x+b和y＝x（1）求点A的坐标；（2）若OB＝CD，求a的值．【强化训练】1、（2023春·广东·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．（1）k的值是；（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．①如图，点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），若四边形OECD的面积是9，求点C的坐标；②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，若四边形OECD的周长是10，请直接写出点C的坐标．2、（2023春·山东德州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．(1)求k、b的值；(2)请直接写出不等式kx+b﹣3x>0的解集；(3)若点D在y＝3x上，且满足S△BCD＝2S△BOC，求点D的坐标．3、（2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）如图，已知直线l1的解析式为y=-3x+3，且l1与x轴相交于点D，直线l2经过点A4,0，B3,-32(1)求直线l2(2)求△ADC的面积；(3)在直线l1上是否存在点P使得△PAC的面积等于3，若存在请求出点P的坐标，若不存在请【题型五其他问题】【典型例题】【例13】（2023春·河南商丘·八年级统考期末）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为y=12x（0≤x≤10）,-20x+320（(1)求第14天小颖家草莓的日销售量；(2)求当4≤x≤12时，草莓价格m与x之间的函数关系式；(3)试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？【例14】（2023·浙江·九年级专题练习）某通讯公司就流量套餐推出三种方案，如下表：A方案B方案C方案每月基本费用（元）2056266每月免费使用流量（兆）1024m无限超出后每兆收费（元）nnA，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示．（1）请直接写出m，n的值．（2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式．（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？【例15】（2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为5L．在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）机器每分钟加油量为_____L，机器工作的过程中每分钟耗油量为_____L．（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．【强化训练】1、（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）疫情期间，全国各地的爱心蔬菜驰援湖北，现从A，B两个蔬菜村向湖北甲，乙两地运送爱心蔬菜，A，B两个蔬菜村各有蔬菜80吨，60吨，其中甲地需要蔬菜65吨，乙地需要蔬菜75吨，从A运往甲地运费为50元/吨，运往乙地运费为30元/吨；从B运往甲地运费为60元/吨，运往乙地运费为45元/吨．(1)设从A地到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：运往甲地（吨）运往乙地（吨）AxB(2)怎样调运蔬菜才能使总运费w最少？(3)若A村运往乙地的蔬菜不低于A村运往甲地的蔬菜量的九倍，并且A蔬菜村改变运往甲地的运输路线，每吨蔬菜的运费会下降m元（2＜m＜8），其他费用不变，若总费用的最小值为6059元，求m的值．2、（2023春·湖南·八年级统考期末）如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度ycm与注水时间xmin之间的关系如图（1）图②中折线EDC表示_____________槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段AB表示_____________槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为_____________．（2）注入多长时间，甲､乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）3、（2023·河北·九年级专题练习）下图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方，2号机从原点O处沿45°仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达处．（1）求OA的关于的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；（2）求BC的关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；（3）通过计算说明两机距离不超过3km的时长是多少．【注：（1）及（2）中不必写的取值范围】1．（2023·山东·九年级专题练习）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的34，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5(1)求两种图书的单价分别为多少元？(2)为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？2．（2023·天津河北·统考三模）已知甲、乙、丙三地依次在同一直线上，乙地离甲地260km，丙地离乙地160km．一艘游轮从甲地出发，途经乙地前往丙地．当游轮到达乙地时，一艘货轮沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为20km/h，离开甲地的时间记为t（单位：h），两艘轮船离甲地的距离y（单位：km）关于t根据相关信息，解答下列问题：(1)填表：游轮离开甲地的时间/h613162224游轮离甲地的距离/km120260(2)填空：①游轮在乙地停靠的时长为_______h；②货轮从甲地到丙地所用的时长为_______h，行驶的速度为_______km/h；③游轮从乙地出发时，两艘轮船的距离为_______km．(3)当0≤t≤24时，请直接写出游轮离甲地的距离y关于t的函数解析式．3．（2023春·八年级单元测试）如图，A点坐标为6，0，直线l1经过点B0，2和点(1)求直线l1(2)点M在直线l1上，且满足2S△ADM4．（2023·江苏·模拟预测）春夏之交正是农业用水高峰期，某地水利站有A,B两台泵机实施调水作业．如果单开A泵机，可以正好在预定时间内完成，总费用为1920元；如果单开B泵机，则要比预定时间多4天，总费用为2240元．水利站经过测算，如果A,B两台泵机同时开启3天，然后由B泵机单独完成余下的调水作业，这样也能正好在预定时间内完成．(1)A,B两台泵机平均每天费用分别是多少元？(2)水利站接到上级部门要求提前3天完成调水作业，请问如何安排两台泵机作业才能完成任务？花费最少是多少元？（注：不足一天按照一天计算费用．）5．（2