专题12正方形的性质与判定（专题测试）

专题12正方形的性质与判定专题测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．（2018春•镇海区期末）下列说法中正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．两条对角线相等的菱形是正方形【点拨】依据矩形、菱形和正方形的判定方法，即可得到正确结论．【解析】解：A．有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故本选项错误；B．两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误；C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项错误；D．两条对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了矩形、菱形和正方形的判定，正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．2．（2019春•诸暨市期末）已知：如图，M是正方形ABCD内的一点，且MC＝MD＝AD，则∠AMB的度数为（）A．120° B．135° C．145° D．150°【点拨】利用等边三角形和正方形的性质求得∠ADM＝30°，然后利用等腰三角形的性质求得∠MAD的度数，从而求得∠BAM＝∠ABM的度数，利用三角形的内角和求得∠AMB的度数．【解析】解：∵MC＝MD＝AD＝CD，∴△MDC是等边三角形，∴∠MDC＝∠DMC＝∠MCD＝60°，∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADM＝30°，∴∠MAD＝∠AMD＝75°，∴∠BAM＝15°，同理可得∠ABM＝15°，∴∠AMB＝180°﹣15°﹣15°＝150°，故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质及等边三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质求得有关角的度数，难度不大．3．（2019春•乐清市期末）如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△ABE处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（）A．10° B．12° C．14° D．15°【点拨】利用正方形的性质和轴对称的性质很容易求出∠CAE的大小．【解析】解：∵∠EFC＝69°，∠ACE＝45°，∴∠BEF＝69+45＝114°，由折叠的性质可知：∠BEA＝∠BEF＝57°，∴∠BAE＝90﹣57＝33°，∴∠EAC＝45﹣33＝12°．故选：B．【点睛】本题运用了正方形的性质和轴对称的性质，关键是计算要准确．4．（2019春•萧山区期末）如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的面积分别为m，n，H为线段DF的中点，则BH的长为（）A． B． C． D．【点拨】连接BD、BF，由正方形的性质可得：∠CBD＝∠FBG＝45°，∠DBF＝90°，再应用勾股定理求BD、BF和DF，最后应用“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”可求得BH．【解析】解：如图，连接BD、BF，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴∠A＝∠E＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠EBF＝∠FBG＝45°，∵正方形ABCD，BEFG的面积分别为m，n，∴∠DBF＝90°，BD＝，BF＝∴在Rt△BDF中，DF＝＝，∵H为线段DF的中点，∴BH＝DF＝，故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形边的关系、勾股定理、直角三角形性质等，解题关键添加辅助线构造直角三角形．5．（2019秋•丽水期末）如图，以△ABC的三条边为边，分别向外作正方形，连接EF，GH，DJ，如果△ABC的面积为8，则图中阴影部分的面积为（）A．28 B．24 C．20 D．16【点拨】过E作EM⊥FA交FA的延长线于M，过C作CN⊥AB交AB的延长线于N，根据全等三角形的性质得到EM＝CN，于是得到S△AEF＝S△ABC＝8，同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，于是得到结论．【解析】解：过E作EM⊥FA交FA的延长线于M，过C作CN⊥AB交AB的延长线于N，∴∠M＝∠N＝90°，∠EAM+∠MAC＝∠MAC+∠CAB＝90°，∴∠EAM≌△CAN，∴EM＝CN，∵AF＝AB，∴S△AEF＝AF•EM，S△ABC＝AB•CN＝8，∴S△AEF＝S△ABC＝8，同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，∴图中阴影部分的面积＝3×8＝24，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（2019秋•奉化区期末）如图，平行四边形HEFG的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上．NE∥AD，分别交DC，HG，AB于点N，M，E，且CG＝MN．要求得平行四边形HEFG的面积，只需知道一条线段的长度．这条线段可以是（）A．EH B．AE C．EB D．DH【点拨】作辅助线，构建正方形MEBP，证明DG＝BE＝BM，根据平行四边形和正方形、三角形面积的关系得：S△EFM＝S▱GHEF＝S正方形MEBP，所以求得平行四边形HEFG的面积，只需知道一条线段BE的长度即可．【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，CD∥AB，∵NE∥AD，∴NE＝AD＝BC，∵CG＝MN，∴DG＝EM，连接EG，FM，过M作MP⊥BC于P，∵四边形EFGH是平行四边形，∴GH＝EF，GH∥EF，∴∠EGH＝∠FEG，∵DC∥AB，∴∠DGE＝∠BEG，∴∠DGH＝∠BEF，在△GDH和△EBF中，∵，∴△GDH≌△EBF（AAS），∴DG＝BE，∴EM＝BE，∴四边形MEBP是正方形，∴S△EFM＝S▱GHEF＝S正方形MEBP，∴S▱GHEF＝S正方形MEBP，∴求得平行四边形HEFG的面积，只需知道BE即可；故选：C．【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、三角形和四边形的面积等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．7．（2019春•越城区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（）A．7 B．3+ C．8 D．3+【点拨】根据阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．【解析】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，∴阴影部分的面积为×9＝6，∴空白部分的面积为9﹣6＝3，由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，∠CBE＝∠DCF，∵∠DCF+∠BCG＝90°，∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，设BG＝a，CG＝b，则ab＝，又∵a2+b2＝32，∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，即（a+b）2＝15，∴a+b＝，即BG+CG＝，∴△BCG的周长＝+3，故选：D．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用．8．（2019春•永康市期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，BE平分∠ABO交AC于E，CF⊥BE于F，交BD于G，则下列结论：①OE＝OG；②CE＝CB；③△ABE≌△BCG；④CF平分∠BCE．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【点拨】根据正方形的性质，可得OB⊥OC，BO＝CO，根据直角三角形的性质，可得∠EBO+∠BEO＝90°，∠BEC+∠ECF＝90°，再根据与角的关系，可得∠EBO＝∠ECF，根据全等三角形的判定与性质OE＝OG，故①正确；根据角平分线的定义得到∠EBO＝45°＝22.5°，得到∠ECF＝∠BCF，求得CF平分∠BCE，故④正确；根据等腰三角形的性质得到CE＝CB，故②正确；根据全等三角形的判定两点得到△ABE≌△BCG（SAS），故③正确．【解析】证明：∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OB⊥OC，BO＝CO，∴∠EOB＝∠COG＝90°．∵CF⊥BE于点F，∴∠CFE＝∠CFB＝90°．∴∠EBO+∠BEO＝90°，∠BEC+∠ECF＝90°，∴∠EBO＝∠ECF．在△BEO和△CGO中，，∴△BEO≌△CGO（AAS），∴OE＝OG，故①正确；∵∠ABO＝∠BCO＝45°，BE平分∠ABO交AC于E，∴∠EBO＝45°＝22.5°，∵∠EOF＝∠EBO＝22.5°，∴∠BOF＝45°﹣22.5°＝22.5°，∴∠ECF＝∠BCF，∴CF平分∠BCE，故④正确；∵CF⊥BE，∴CE＝CB，故②正确；∵∠ABE＝∠BCG＝22.5°，∵△BEO≌△CGO，∴BE＝CG，∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCG（SAS），故③正确．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，余角的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．9．（2018春•慈溪市期末）如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD、AC、BC于M、O、N，连结AN，CM，则四边形ANCM是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断【点拨】利用MN垂直平分AC得到AO＝CO，∠AOM＝90°，再由AD∥BC得到∠MAC＝∠NCA，则可证明△AOPM≌△CON，所以OM＝ON，于是根据菱形的判定方法可判断四边形ANCM是菱形；【解析】证明：∵MN垂直平分AC，∴AO＝CO，∠AOM＝90°，又∵AD∥BC，∴∠MAC＝∠NCA，在△AOPM和△CON中，，∴△AOPM≌△CON，∴OM＝ON，∴AC和MN互相垂直平分，∴四边形ANCM是菱形；故选：B．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定．10．（2019春•富阳区期末）如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是AD的中点，BE与CF相交于点P，设AB＝a．得到以下结论：①BE⊥CF；②AP＝a；③CP＝a则上述结论正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【点拨】先证明△CDF≌△BCE，可得到∠CEB＝∠CFD，继而证得∠EPC＝90°，故①正确；延长CF交BA延长线于点M，再证明△CFD和△MFA，可得CD＝MA＝AB＝a，由BP⊥CF，根据“AP为Rt△MPB斜边BM上的中线，是斜边的一半，”即可得：AP＝BM＝×2a＝a，故②正确；由勾股定理和面积可得：CP＝a，故③正确；即可得出结论．【解析】解：在△CDF和△BCE中∴△CDF≌△BCE（SAS）∴∠CEB＝∠CFD∵∠DCF+∠CFD＝90°∴∠DCF+∠CEB＝90°∴∠EPC＝90°∴①正确；如图延长CF交BA延长线于点M，在△CFD和△MFA中∴△CFD≌△MFA（ASA）∴CD＝MA＝AB＝a，∵BP⊥CF∴AP为Rt△MPB斜边BM上的中线，是斜边的一半，即AP＝BM＝×2a＝a，∴②正确；∵CP⊥BE∴CP×BE＝CE×BC＝∵BE＝＝＝∴CP＝＝＝∴③正确故选：D．【点睛】本题考查了正方形性质，直角三角形性质，三角形面积，勾股定理，全等三角形判定和性质等，综合性较强，解题关键是全等三角形判定定理和性质定理的应用．二、填空题11．（2018春•丽水期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使矩形ABCD成为正方形，应添加的一个条件是AB＝BC（答案不唯一）．【点拨】根据正方形的判定添加条件即可．【解析】解：添加的条件可以是AB＝BC．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形．故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键，注意：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，也可以添加AC⊥BD．12．（2019春•苍南县期末）如图，长方形ABCD平移得到长方形A1B1C1D1，A1B1交BC于点E，A1D1交CD于点F，若点E为BC中点，四边形A1ECF为正方形，AB＝20cm，AD＝10cm，则阴影部分的面积为100cm2．【点拨】根据矩形和平移的性质得到AB＝CD＝A1B1＝20，AD＝BC＝A1D1＝10，根据线段中点的定义得到BE＝CE＝BC＝5，由正方形的性质得到A1E＝CE＝CF＝A1F＝5，求得DF＝EB1＝20﹣5＝15，根据三角形和正方形的面积公式即可得到结论．【解析】解：∵长方形ABCD平移得到长方形A1B1C1D1，∴AB＝CD＝A1B1＝20，AD＝BC＝A1D1＝10，∵点E为BC中点，∴BE＝CE＝BC＝5，∵四边形A1ECF为正方形，∴A1E＝CE＝CF＝A1F＝5，∴D1F＝A1D1＝5，∴DF＝EB1＝20﹣5＝15，∵∠DFD1＝∠A1FC＝∠BEB1＝∠A1EC＝90°，∴阴影部分的面积＝S+S+S＝+5×5+＝100cm2．故答案为：100．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，平移的性质，三角形面积的计算，熟练掌握矩形和正方形的性质是解题的关键．13．（2019春•永康市期末）如图，正方形ABCD中，BE平分∠ABD交AD于E，EF⊥BD于F，FP⊥AB于P，已知正方形ABCD的边长BC＝2，则AP的长是2﹣．【点拨】根据正方形的性质得到∠ADB＝∠ABD＝45°，∠A＝90°，根据角平分线的定义得到AE＝EF，根据等腰直角三角形的性质得到DF＝EF，PB＝PF，设AE＝EF＝DF＝x，得到DE＝x，求得DF＝2﹣2，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解析】解：∵正方形ABCD中，∠ADB＝∠ABD＝45°，∠A＝90°，∵EF⊥BD于F，BE平分∠ABD，∴AE＝EF，∵FP⊥AB，∴△DEF与△BPF是等腰直角三角形，∴DF＝EF，PB＝PF，设AE＝EF＝DF＝x，∴DE＝x，∵AD＝2，∴（1+）x＝2，BD＝2，∴x＝2﹣2，∴DF＝2﹣2，∴BF＝2﹣（2﹣2）＝2，∴PB＝BF＝，∴AP＝AB﹣PB＝2﹣，故答案为：2﹣．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线定义，正确的识别图形是解题的关键．14．（2019春•苍南县期末）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的点，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连结EF．设M，N分别是AB，BG的中点，EF＝5，则MN的长为2.5．【点拨】连接AG，CG，根据矩形的判定定理得到四边形CFGE是矩形，求得CG＝EF＝5，根据全等三角形的性质得到AG＝CG＝5，由三角形中位线的性质即可得到结论．【解析】解：连接AG，CG，∵在正方形ABCD中，∠BCD＝90°，∵GE⊥CD，GF⊥BC，∴四边形CFGE是矩形，∴CG＝EF＝5，∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，∵BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG＝5，∵M，N分别是AB，BG的中点，∴MN＝AG＝2.5，故答案为：2.5．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．15．（2019春•鄞州区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连结AF，则AF的最小值为3．【点拨】过F作FH⊥ED，利用正方形的性质和全等三角形的判定得出△EFH≌△EDC，进而利用勾股定理解答即可．【解析】解：过F作FH⊥ED，∵正方形CEFG，∴EF＝EC，∠FEC＝∠FED+∠DEC＝90°，∵FH⊥ED，∴∠FED+∠EFH＝90°，∴∠DEC＝∠EFH，且EF＝EC，∠FHE＝∠EDC＝90°，∴△EFH≌△EDC（AAS），∴EH＝DC＝2，FH＝ED，∴AF＝＝＝∴当AE＝1时，AF的最小值为3故答案为：3【点睛】本题考查正方形的性质，关键是利用正方形的性质和全等三角形的判定得出△EFH≌△EDC．三、解答题16．（2019春•西湖区期末）如图，已知正方形ABCD的边长为12，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设正方形CEFG的面积为S1，以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．（1）求线段DE的长．（2）若H为BC边上一点，CH＝5，连接DH，DG，判断△DHG的形状．【点拨】（1）设正方形CEFG的边长为a，则DE＝12﹣a，由S1＝S2．得出方程a2＝×12×（12﹣a），解得：a＝8，得出DE＝4；（2）由勾股定理得出DH＝＝13，DG＝＝4，求出GH＝CG+CH＝13，得出DH＝GH即可．【解析】解：（1）设正方形CEFG的边长为a，∵正方形ABCD的边长为12，∴DE＝12﹣a，∵S1＝S2．∴a2＝×12×（12﹣a），解得：a＝8，或a＝﹣24（舍去），∴DE＝12﹣8＝4；（2）△DHG是等腰三角形；理由如下：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴∠DCH＝∠DCG＝90°，CD＝12，CG＝8，∴DH＝＝＝13，DG＝＝＝4，∵CH＝5，∴GH＝CG+CH＝13，∴DH＝GH，∴△DHG是等腰三角形．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键．17．（2019春•嵊州市期末）如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知，OA＝2，OC＝4，点D为x轴上一动点，以BD为一边在BD右侧作正方形BDEF．（1）若点D与点A重合，请直接写出点E的坐标；（2）若点D在OA的延长线上，且EA＝EB，求点E的坐标；（3）若OE＝2，求点E的坐标．【点拨】（1）根据正方形的边长相等和矩形的对边相等，可得OE的长，从而得E的坐标；（2）作辅助线，先根据EA＝EB可知EG是AB的垂直平分线，证明△BAD≌△DHE（ASA），可得结论；（3）分两种情况：点D在点A的左侧和右侧，过E作EH⊥x轴于H，构建全等三角形，设未知数，根据勾股定理列方程可得结论．【解析】解：（1）当点D与点A重合时，如图1，∴BD＝OC＝4，∵四边形BDFE是正方形，∴BD＝DE＝4，∠BDE＝90°，∵OA＝2，∴OE＝OA+AE＝2+4＝6，∴E（6，0）；（2）如图2，过E作EG⊥AB于G，作EH⊥x轴于H，∵EB＝EA，∴AG＝BG＝2，∵∠AGC＝∠GAH＝∠AHE＝90°，∴四边形AGEH是矩形，∴EH＝AG＝2，∵四边形BDEF是正方形，∴BD＝DE，∠BDE＝90°，∴∠ADB+∠EDH＝∠ADB+∠ABD＝90°，∴∠EDH＝∠ABD，∵∠BAD＝∠DHE＝90°，∴△BAD≌△DHE（ASA），∴DH＝AB＝4，AD＝EH＝2，∴OH＝8，∴E（8，2）；（3）分两种情况：①D在点A的右侧时，如图3，过E作EH⊥x轴于H，由（2）知：△BAD≌△DHE，∴DH＝AB＝4，AD＝EH，设AD＝x，则EH＝x，OH＝2+4+x＝6+x，在Rt△OEH中，由勾股定理得：OE2＝OH2+EH2，∴，解得：x＝2或﹣8（舍），∴E（8，2）；②D在点A的左侧时，如图4，过E作EH⊥x轴于H，由（2）知：△BAD≌△DHE，∴DH＝AB＝4，AD＝EH，设AD＝x，则EH＝x，OH＝x﹣2﹣4＝x﹣6，在Rt△OEH中，由勾股定理得：OE2＝OH2+EH2，∴＝x2+（x﹣6）2，解得：x＝8或﹣2（舍），∴OH＝8﹣6＝2，∴E（﹣2，﹣8）；综上，点E的坐标是（8，2）或（﹣2，﹣8）．【点睛】本题是四边形的综合题，考查全等三角形的判定和性质、正方形和矩形的性质和判定、勾股定理及一元二次方程，解题的关键是学会利用添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题．18．（2019春•西湖区校级月考）现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC，CD交于点M，N．（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是OM＝ON；（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，当点O在正方形的内部（含边界）的任意一点时，OM＝ON都成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探究当点O的位置满足什么条件时，有OM＝ON．【点拨】（1）如图1，根据△OBM与△ODN全等，可以得出OM与ON相等的数量关系；（2）如图2，连接AC、BD，则通过判定△BOM≌△CON，可以得到OM＝ON；（3）如图3，过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，可以通过判定△MOE≌△NOF，得出OM＝ON．【解析】解：（1）若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是：OM＝ON；理由：如图1，∵四边形ABCD时正方形，∴AB＝AD，∠ADC＝∠ABM＝∠BAD＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，在△ABM和△ADN中，∴△ABM≌△ADN（ASA），∴OM＝ON，故答案为：OM＝ON，（2）仍成立．证明：如图2，连接AC、BD，则由正方形ABCD可得，∠BOC＝90°，BO＝CO，∠OBM＝∠OCN＝45°，∵∠MON＝90°，∴∠BOM＝∠CON，在△BOM和△CON中，，∴△BOM≌△CON（ASA），∴OM＝ON；（3）如图3，当点O在正方形的内部（含边界）的任意一点时，OM＝ON不一定都成立，当点O的位置在对角线AC上时，有OM＝ON．理由是：如图3，过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分别为E、F，则∠OEM＝∠OFN＝90°，∵点O的位置在对角线AC上∴OE＝OF，又∵∠C＝90°，∴∠EOF＝90°＝∠MON，∴∠MOE＝∠NOF，在△MOE和△NOF中，，∴△MOE≌△NOF（ASA），∴OM＝ON．【点睛】本题是四边形的探究题，主要考查了四边形中的正方形，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．解题时需要运用全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理．19．（2019秋•余杭区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AE交BC于点P，交DC的延长线于点E，点P为AE的中点．（1）求证：点P也是BC的中点；（2）若CB⊥AB，且DP＝，CD＝，AB＝4，求AP的长；（3）在（2）的条件下，若线段AE上有一点Q，使得△ABQ是等腰三角形，求AQ的长．【点拨】（1）由平行线的性质得出∠CEP＝∠BAP，∠ECP＝∠ABP，由点P为AE的中点，得出PE＝PA，由AAS证得△CEP≌△BAP，即可得出结论；（2）由CB⊥AB，AB∥CD，得出∠DCP＝∠ABP＝90°，在Rt△DCP中，CP＝＝3，由（1）得CP＝PB＝3，在Rt△ABP中，AP＝＝5；（3）①当AQ＝AB时，AQ＝AB＝4；②当BA＝BQ时，过点B作BN⊥AQ于N，则AN＝NQ，由S△ABP＝AB•BP＝AP•BN，求出BN＝，在Rt△ABN中，AN＝＝，则AQ＝2AN＝；③当AQ＝QB时，证明QB＝AQ＝QP，则AQ＝AP＝．【解析】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CEP＝∠BAP，∠ECP＝∠ABP，∵点P为AE的中点，∴PE＝PA，在△CEP和△BAP中，，∴△CEP≌△BAP（AAS），∴PC＝PB，∴点P也是BC的中点；（2）解：∵CB⊥AB，AB∥CD，∴∠DCP＝∠ABP＝90°，在Rt△DCP中，CP＝＝＝3，由（1）得：CP＝PB＝3，在Rt△ABP中，AP＝＝＝5；（3）解：①当AQ＝AB时，AQ＝AB＝4；②当BA＝BQ时，过点B作BN⊥AQ于N，如图1所示：则AN＝NQ，S△ABP＝AB•BP＝AP•BN，即4×3＝5BN，∴BN＝，在Rt△ABN中，AN＝＝＝，∴AQ＝2AN＝；③当AQ＝QB时，如图2所示：∵AQ＝QB，∴∠QAB＝∠QBA，∵∠QAB+∠QPB＝90°，∠QBA+∠QBP＝90°，∴∠QPB＝∠QBP，∴QB＝QP，∴QB＝AQ＝QP，∴AQ＝AP＝；综上所述，△ABQ是等腰三角形，AQ的长为4或或．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、分类讨论等知识；熟练掌握平行线的性质与勾股定理是解题的关键．20．（2020•萧山区模拟）如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B，C重合），点B关于直线AP的对称点为E，连接AE．连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF．（1）若∠BAP＝α，直接写出∠ADF的大小（用含α的式子表示）；（2）求证：BF⊥DF；（3）连接CF，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．【点拨】（1）由轴对称的性质得出∠EAP＝∠BAP＝α，AE＝AB，由正方形的性质得出∠BAD＝90°，AB＝AD，得出∠DAE＝90°﹣2α，AD＝AE，由等腰三角形的性质即可得出答案；（2）由轴对称的性质得出∠AEF＝∠ABF，AE＝AB．得出AE＝AD．由等腰三角形的性质得出∠ADE＝∠AED．证出∠BFD+∠BAD＝180°，得出∠BFD＝90°即可；（3）过点B作BM⊥BF交AF于点M，证明△BMF是等腰直角三角形，得出BM＝BF，FM＝BF，证明△AMB≌△CFB（SAS），得出AM＝CF，即可得出结论．【解析】（1）解：由轴对称的性质得：∠EAP＝∠BAP＝α，AE＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠DAE＝90°﹣2α，AD＝AE，∴∠ADF＝∠AED＝（180°﹣∠DAE）＝（90°+2α）＝45°+α；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵点E与点B关于直线AP对称，∴∠AEF＝∠ABF，AE＝AB．∴AE＝AD．∴∠ADE＝∠AED．∵∠AED+∠AEF＝180°，∴在四边形ABFD中，∠ADE+∠ABF＝18