2024-2025学年河南省高三年级上册开学摸底测试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年河南省高三上学期开学摸底测试数学检测试题

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

小A—=|x|%2—4x—1<0)jAD_

1已知集合I，…I/,则川那-()

A.0B.{0}c.{051}D.{-1,0,1)

2—z

2.七婪一i1，[JillZ7—(k、)

z

ii.

A.iB.2iC.-+-1D.1+i

22

已知向量若

3.3=(1,i),B=(o,i).(5+.3,则;1=()

A.-1B.1C.2D.0

4.已知sin2o—cos2a=l,且cosawO,则tana=()

c-D.V2

A.0B.12

5.将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，且每个盒子最多只能装3个球,则不同的放法有(

A60种B.64种C.78种D.81种

b

6.己知2"=b,2=3,10gz,6=c,则()

A.b+l=acB.3b+a=c

C.ac+a=2bD.b-ac

7.已知函数/(x)=/sin(tox+°)(/>0,0>0,0<°<兀)的部分图象如图所示，将/(x)的图象

向左平移［个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x())=l，贝！=)

A.1B.2C.2GD.V15

2

8.已知E是双曲线C:/-匕=1的左焦点，过点厂的直线与。交于48两点（点48在。的同

3

一支上），且叫=2叫,则|/同=（）

,1327

A.6B.8C.—D.—

24

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.为了解某新品种玉米的亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种玉米的亩

产量的样本均值亍=500,样本方差/=400.已知原品种玉米的亩产量X服从正态分布

A^（430,202）,假设新品种玉米的亩产量y服从正态分布N（元,1）,则（）（若随机变量z服

从正态分布N（,则P（Z<〃—CT”0.1587）

A.P（X>480）<0.2B,P（X<480）>0.8

C.P（r<480）<0.2D,P（r>520）>0.2

10.已知函数/（x）的定义域为RJ（肛）=w（x）+^（y）,则（）

A./（0）=0B./（-1）=0

c./（x）是偶函数D./Qj-/（2）<0

II.如图，球。被一个距离球心d（d〉0）的平面截成了两个部分，这两个部分都叫作球缺，截面叫

作球缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直径被截后所得的线段叫作球缺的高.球冠

的面积公式为S=2成〃，球缺的体积公式为厂=1兀（3氏-笈）笈2,其中R为球的半径，〃为球

缺的高，记两个球缺的球冠面积分别为百,邑(81＜邑)，两个球缺的体积分别为匕右(匕＜七)，则

下列结论正确的是()

13,

A.若4=—R,则两个球缺的底面面积均为一成2

216

5.1V,5

若5=3'则玄=17

R岳，1

C.若42不，则

R匕、7

口•若公了则小而

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.

12.已知等比数列｛%｝的前〃项乘积为北，若《=看，则£,=.

13.已知E为椭圆C:二+g=l的右焦点，。为坐标原点，P为。上一点，若△0"为等边三

a2b2

角形，则C的离心率为.

14.已知函数/■(x)=4"+(a-2)x-2“-2a/有4个不同的零点，则。的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.-8C的内角4民。的对边分别为a1,c,已知6+4°=冬夕°/

273

(1)求cosC；

(2)若c=2,。为边上一点，且4DLZC,求AZCD的面积.

16.如图，在三棱锥P—45C中，。为/C的中点，平面P05J_平面4BC,Zk4BC是等腰直角三

角形，AB±BC,AC=PA=y/2,PB=^3.

P

(2)求二面角C-R4-8的正弦值.

17.在抛物线C:X2=2py(p>0)上有一系列点片&,x),鸟(9,外),…，匕(匕J"),"eN+,以点

々为圆心的圆勺与x轴都相切，且圆勺与圆匕M彼此外切.已知西=1,点片到。的焦点的距离为

(2)求数列｛4｝的通项公式；

2

(3)设a=枭,求数列也｝的前〃项和S".

18.设函数/(x)的定义域为。，若存在正实数。，使得对于任意xe。，有x+ae。，且

/(x+a)>f(x),则称/(x)是。上的“。距增函数”.

(1)已知函数/(x)=x+sinx,证明：对于任意正实数a,/(x)是R上的距增函数”；

(2)若/(x)=x3—x是R上的“0距增函数，，，求。的取值范围；

/、fx+l.x<0.

(3)已知/(x)=<,,八是定义在R上的“2距增函数”，求6的取值范围.

[xmx+x>0

19.甲、乙两人各有六张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,1,3,3,5,5,乙

的卡片上分别标有数字2,2,4,4,6,6,两人进行六轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的

卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后

各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).

(1)求甲的总得分为0的概率；

(2)求甲的总得分为1的概率；

(3)若X,.为随机变量，则E£琲£».记甲的总得分为y,求£(y)

\Z=1)i=l

2024-2025学年河南省高三上学期开学摸底测试数学检测试题

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1,已知集合4={一®}产邛―<01贝"「人()

A.0B.{0}C.{0,1}D.{-1,0,1)

【正确答案】C

【分析】解一元二次不等式得集合B,再进行交集运算即可.

【详解】：B=x2-4x-1<o},:.B=卜|2-芯<x<2+6)

^A5={0,l}.

故选：c.

2.若2zw=—i,则2=()

z

.11.

A.iB.2iC.—l—iD.1+i

22

【正确答案】D

【分析】利用复数运算求出z即可.

2-z22

【详解】依题意，——=——1=—i,则一二1—i,

ZZZ

22(1+i)2+2i

所以1+i.

2

故选：D

3.己知向量1==若仅+焉)，很，则；1=()

A.-1B.1C.2D.0

【正确答案】A

【分析】由向量的数量积的运算性质结合向量的数量积的坐标运算公式可得答案.

【详解】由G=(I,1),3=(0,1),则iZ=i，

因为+所以限B+%B2=O，即I+X=O,解得2=_I.

故选：A

4.已知sin2o—cos2a=l,且cosaw0,贝ijtana=()

A.0B.1C.1D.V2

【正确答案】B

【分析】利用二倍角公式公式推导出sina=cosa,即可求出tana.

【详解】因为sin2a-cos2a=1,所以2sinacosa-2cos%+l=l，

sina

即sinacosaucos2a，因为cosaw0，贝！Isina=cosa，所以tana=----=1.

coscr

故选：B

5.将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，且每个盒子最多只能装3个球，则不同的放法有()

A.60种B.64种C.78种D.81种

【正确答案】C

【分析】利用间接法，4个不同的小球放入3个不同的盒子中的放法减去将4个球放入同一个盒子

中的放法即得.

【详解】不考虑每个盒子最多只能装3个球，有34种放法.

若将4个球放入同一个盒子中，有3种放法.

故不同的放法有34-3=78种.

故选：C.

6.已知2"=仇2"=3,10gzi6=c,贝!]()

A.b+\=acB.3b+a=c

C.ac+a=2bD.b=ac

【正确答案】A

【分析】根据指对数互化、对数的运算性质和换底公式计算找到关系式；

【详解】因为2。=因2)=3,所以。=log2Ab=log23,,

«c=log2Z?-log66=log26=log23+l,故6+l=ac

故选：A.

7.已知函数/(x)=/sin(&x+e)(/>0,0>0,0<°<兀)的部分图象如图所示，将/(x)的图象

向左平移2个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x0)=l，则|/(%)卜()

1I/7TIx

w

A.1B.2C.2^3D.V15

【正确答案】D

【分析】由图象找到周期求出根据图象中已知点代入求出9，/,得到函数解析式，再利用函数

的图象变换规律得出g(x),计算得出结果.

37JT327T

【详解】由图可知一7=------=—,则T=L=兀，解得|同=2.

4884画11

因为0>0,所以0=2.

因为/(x)的图象经过点［个,。］,所以/［胃］=25E［彳+9］=

:0,

所以［+°=(左eZ),解得°=也一］(左eZ)

TT

因为0＜。＜兀，所以夕二w

因为/(X)的图象经过点(0,2后)，所以/(o)=/sin；=2后，解得4=4.

故/(x)=4sin[2x+"],g(x)=4sin2|x+—|+—=4cos|2x+—|.

因为g(%)=4cos1,所以cos

4

|/(x0)|=4sin(2x0+^

故选：D.

8.已知厂是双曲线c：/—22=1的左焦点，过点少的直线与。交于48两点（点48在。的同

3

一支上），且忸刊=21刊,则（）

【正确答案】D

【分析】首先由双曲线方程求出点尸的坐标，并设出过点尸的直线方程》=加7-2（加〉0）,然后

借助直线与双曲线联立，得到必,为和与积的关系，再由忸E|=2|4F|,得到w%的等量关系，从

而解出见必的值，最后根据弦长公式求出以同得长.

由C:=1可得厂（―2,0）.根据对称性，不妨设过点尸的直线为x=⑺-2（加〉0）,

x=my-2,

2

联立2可得（3加2-l^y-12my+9=0

X

3

设/（“Jig%）,则乂+力=拚，为力=高•①

由忸川=2|/刊,则而=2或，又而=（—2—乙，一%），⑼=&+2,%）所以f=2九②

12〃z24m12m24m9

由①②可得凹=——7,8=,所以———x---

3m-13m2-13m~-13m~-13m2-1

解得m=或机=_fZ（舍）,3^/35

%=-----

3535

所以|48|=J1+加2.瓦—%|=-^=x3%/=27

~4

故选：D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.为了解某新品种玉米的亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种玉米的亩

产量的样本均值元=500,样本方差/=400.已知原品种玉米的亩产量X服从正态分布

A^（430,202）,假设新品种玉米的亩产量y服从正态分布N（T,$2）,则（）（若随机变量z服

从正态分布N（,则「伍<〃—o■卜0.1587）

AP（X>480）<0.2B,P（X<480）>0.8

C.P（r<480）<0.2D,P（r>520）>0.2

【正确答案】ABC

【分析】根据正态分布的性质及3。原则，以及条件一一判断即可.

【详解】依题可知，y-TV（500,202）

P（Y<480）=P（Y<500-20）=P（Y>500+20）«0.1587<0.2,故C正确，D错误.

因为X~N（430,202）,所以p（x>450）=P（X>430+20）=P（X<430-20）-0.1587,

P(X>480)<P(X>450)<0.2,A正确.

因为P(X<450)=1-P(X>450)a1—0.1587=0.8413,所以P(X<480)>P(X<450)>0,8,

B正确.

故选：ABC

10.已知函数/（x）的定义域为RJ（盯）=0（x）+犷（y）,则（）

A./（0）=0B./(-1)=0

C./（x）是偶函数

【正确答案】ABD

【分析】A.令x=y=0求解判断；B.分别令x=y=l,x=y=-1求解判断；C.令y=-1利用函

数奇偶性定义判断；D.令x=4/=2求解判断.

2

【详解】令x=y=0,得/（0）=0,A正确.

令*=>=1,得=+所以=

令X=y=—1,得/（1）=—/（T）—/（T），所以/（—1）=0,B正确.

令y=—1,得〃—x）=—所以/（x）是奇函数，C错误.

令x=；/=2,得/（l）=2/1g]+g/（2）=0,所以

L—I2

/⑵=一”[£|，/&}/（2）=—4/g]<0,D正确.

故选：ABD

11.如图，球。被一个距离球心d（d〉0）的平面截成了两个部分，这两个部分都叫作球缺，截面叫

作球缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直径被截后所得的线段叫作球缺的高.球冠

的面积公式为S=2成球缺的体积公式为「=；兀（3R-笈）笈2,其中R为球的半径，〃为球

缺的高，记两个球缺的球冠面积分别为E，邑（E<邑），两个球缺的体积分别为匕匕（匕<6）,则

下列结论正确的是(

B.若王"则

3V227

RS1

c.若八行,则}

J%，

R匕、7

D•若公"则十就

【正确答案】BCD

【分析】根据勾股定理结合圆的面积公式计算判断A错误；根据截面的面积和球的体积公式根据不

同条件计算进行判断BCD.

【详解】对于A,设这两个球缺的底面圆半径为，则/+/=氏2,

133

因为产+屋=氏2,d=_R,解得/=—氏2,该圆的面积为一成2,A错误.

244

对于B,设两个球缺的高分别为4,为(4<〃2)，则hi+h2=2R.

S12兀防1R3

由U}=得亍端=1，则均=34,所以4+3%=2火，解得％=均=R.

匕=等，同理得仁=哈，所以?二盘出正确.

S_2jiRh\_\_R-d_dRR

对于c,x.设——x9由—Gd<R,得1<XW3,则

S22jiRh2h2R+dd3

d

Sx-1,2

—}L=---=1-----，c正确.

S?x+1x+1

_(2R+d)(R_d)2(2x+l)(x-l)2_2丁-341

对于D,

X=1兀(3氏_初必=(2R_d)(R+dY=(2X-1)(X+1)2=2X3+3X2-1-

n2［12%2(X2—1

由dW—,得X23.设函数/(x)=;一,，则/'(x)=7------------2，

3八)2X3+3X2-1(2X3+3X2-1

/'(x)>0在［3,+s)上恒成立，即/(x)在［3,+8)上单调递增，

7V7

所以〃x"/(3)=犷，即寸》五,D正确.

zuy2NU

故选：BCD.

方法点睛：关于球的截面问题常用勾股定理求解截面半径和球的半径；

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.

12.已知等比数列｛4｝的前〃项乘积为北，若m则"=.

【正确答案】1

【分析】依题意可得a3a4=1，再由下标和性质计算可得.

【详解】因为4=4，即2a3%，显然见70,所以a3a4=1，

则。3。4=a\a6=a2a5=1,故北=…。6=1.

故1

13.已知/为椭圆C：W+g=l的右焦点，。为坐标原点，P为。上一点，若△0"为等边三

a2b1

角形，则C的离心率为.

【正确答案】V3-l##-l+V3

【分析】由条件可知△片尸歹为直角三角形，结合椭圆定义确定华。关系，由此可求离心率.

【详解】取椭圆。的左焦点G，连结尸片，

\F'7T

由/\OFP为等边三角形，则\OP\=\OF\^\OF}\,

7T

可知△片尸尸为直角三角形，且/尸方片=§，

设|W|=2c,则|尸尸|二0,|尸片|二百°,

2

可得2a=|「用+|尸尸|=（6+1卜，则■|=^j=G_l，

所以椭圆。的离心率是e=£=百—1.

a

故答案为.、回-1

14.已知函数〃x）=4'+（"2）x2-2a/有4个不同的零点，则。的取值范围为.

【正确答案】（-巴―2）u（—2,—eln2）

【分析】由方程（2,+办乂2=2x）=0有4个不同的根，且方程2*-2x=0有1，2两个根，则方

程2、+以=0有2个不同的根，且。。-2,进而转化为函数y=2'与函数V=-ax的图象有两个交

点求解.

【详解】解：由题意可得方程（2,+句（2工-2x）=0有4个不同的根，

方程2*—2x=0的2个根为国=l,x2=2,

则方程2"+以=0有2个不同的根，且。0-2,

即函数y=T与函数V=~ax的图象有两个交点.

当直线了=-办与函数y=2工的图象相切时,

设切点为（%,2'。），因为了=2*1112,所以《

-ax.=2X°,

解得x0=—'―=log2e,a=-eln2.

In2

要使函数y=2、与函数V=一办的图象有两个交点，

只需直线J=—ax的斜率大于eln2,

故。的取值范围为（-巴-2）。（-2,-eln2）.

故o（-2,-eln2）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.的内角4民。的对边分别为见仇。，已知b=22qz=2

273

（1）求cos。；

（2）若。=2,。为8C边上一点，且4DLZC,求△ZCD的面积.

【正确答案】（1）cosC=2互

4

【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，siiLB+-sinC=-）再由三角形内角和可得

27

/?1

sinS=—cosC—sinC>即可求解；

22

（2）先应用正弦定理和余弦定理求边长a/,再结合面积公式即可求解.

【小问1详解】

因为b+,c=2也口,所以sin8+LsinC=2Y7sitU=2Esin24=Y9.

2727737

因为sinB=sin（4+C）=与cosC一；sinC，

福|、|6c1.„1.„/TA73ZB„2A/7

所以——cosC——sinC+—smC=-----，解得cosC=-------

22277

【小问2详解】

sinC—------

7

由正弦定理，一=三，解得a=J7.

SIIL4sinC

由余弦定理/=/+o2-2b0cosZ，得/+26—3=0，解得6=1(/?=—3舍去).

ACV7

在Rt^ZCD中，CD=

cosC2

所以S“6=：C4.CDsinC=9・

16.如图，在三棱锥P—45C中，。为ZC的中点，平面P05_L平面48C,44BC是等腰直角三

(1)证明：PA=PC；

(2)求二面角C-P/-8的正弦值.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)上

3

【分析】(1)由等腰直角三角形的性质可得03,结合面面垂直的性质可得ZC_L平面P05,

然后根据等腰三角形的性质结合条件可得.

(2)作PZ)J_3O,垂足为。，连接ZU,。。，由面面垂直的性质可得尸Z)J_平面48CD,再由

三角形全等，得出D4_Lr>C,从而建立空间坐标系利用空间向量解决问题.

【小问1详解】

证明：因为AASC是等腰直角三角形，46,8。,。为/。的中点，

所以ZCu平面48C,

又因为平面POBJ_平面48C,平面008Pl平面48。=02,

所以平面POA

因为POu平面P05,所以ZC,尸0,又。为ZC的中点，

所以△P/C是等腰三角形，故P4=PC.

【小问2详解】

在平面P08上，作PQLBO,垂足为。，连接。4。。.

平面P05,平面48C,平面尸08n平面

又POu平面P05,所以尸平面/BCD.

由（1）P4=PC,又AC=PA=C，则△上4c为等边三角形.

所以。尸=Z。2=逅,。3=4£=正，

222

所以cosZBOP=尸2=_B,所以©os/DOP=—，

20P0B33

J2/--------------

DO=PO-cosZDOP=DP=y]OP2-DO2=1-

所以AD=DC=1AP2_DP2=1，在等腰直角三角形"BC中，AB=BC=1,

所以“5。与△24c全等，故N/0C=N/BC=9O。，即D4_L。。，

以。为坐标原点，£）/所在直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

ZA

则P（O,O』）,/（1,O,O）,5（U,O）,C（O,LO）.

PA=（l,0,-l）,2g=（0,1,0）,%=（-1,1,0）.

设平面尸48的法向量为万=（石,%,zj,

n-PA=Q,fx-z,=0,/、

则<_即4；取西=1,可得万=（i,o,i）.

n-AB=0,〔乃=0,

设平面R4C的法向量为应=（%，%/2）,

“--►,

m-PA=0,-z=0,/、

则<___►即<?取为=1,可得应=（1,1,1）.

〔玩zc=0,[-x2+y2=o,

设二面角C-PA-B的大小为0,

nilc।--1M词V6.„V3

则cos"=cos凡刑=\：=——，sm，=——.

11\n\-\।m\33

故二面角C-PA-B的正弦值为旦.

3

17.在抛物线C:/=2抄（,〉0）上有一系列点4（西,%）,巴（孙歹2卜一,£（了“,月）,”62,以点

p„为圆心的圆勺与X轴都相切，且圆P“与圆月+1彼此外切.已知XI=1,点々到。的焦点的距离为

1,O<X„+1<x„,o„=—

(2)求数列｛4｝的通项公式;

2

(3)设求数列｛4｝的前〃项和S..

【正确答案】（1）p=l

(2)an=n

n2+477+6

(3)S=6-

n2"

/1\]D

【分析】⑴先计算片1,—，结合设抛物线定义可得|单/仁丁+£=1，解得P的值.

I2口2p2

（2）因为圆々与圆月M彼此外切，得J（x“—七+）+⑴7.J2="+5,结合抛物线方程化简

11,[1

得--------=1,从而数列一卜是以1为首项，1为公差的等差数列，进而%.

七+1X“

222

（3）由（2）得b=—/,S=1▲+2—+3=+…+n上，利用错位相减进而求得答案；

"2"222232"

【小问1详解】

，]11V

P1,—,设抛物线c的焦点为。根据题意可知RE卜一+受=1,解得夕=1.

XI2p）2P2

【小问2详解】

因为圆《与圆勺+i彼此外切，所以—%+）+（第一第+J2=yn+yn+l,

2XX

则（％—X“+l）2=U+V„+l）—（匕-%+1?=包%+1=nn+l-

11,

因为0<居+1<Z，所以x“—x“+i=x“x“+i，即：―—―=1.

Xn+lXn

因为一1=1,所,以1数列一卜是以1为首项，1为公差的等差数列，即1一=〃.

西X"

故%=n.

【小问3详解】

,12232/112232n

bn=菽，5“=-+TT+TT+•■•+-S„=行+Lh…+R

=#上口、#/曰1c11x31x51x71x(2〃-1)n2

两式相减得一S=-+—^+^+―-+--1---------

222223242"*

人厂13572«-111352//-1

左北=5+域+域+外+…+〒则二级+彳+>+2"+…i----------

4〜1E1J111112,-1

两式相减侍不(=5+2区+滔+尹+…+府—77k

32〃+3

22计1

2九+3

所以［=3-

2〃

所，”3-竽n2/J+4〃+6n1+An+6

=r=3------——Bn，即邑=6---------------

18.设函数/(x)的定义域为。，若存在正实数。，使得对于任意x,有x+ae。，且

/(%+«)>f(x),则称/(x)是。上的“。距增函数”.

(1)已知函数/(x)=x+sinx,证明：对于任意正实数a,/(x)是R上的距增函数”；

(2)若/(x)=x3—x是R上的“。距增函数”，求a的取值范围；

/、fx+l,x<0.

(3)已知/(x)=<,,八是定义在R上的“2距增函数”，求6的取值范围.

[xinx+Z?x,x>0

【正确答案】(1)证明见解析

(2)(2,+8)

(3)(0,+动

【分析】(1)根据函数导数判断函数单调性，结合增函数得/(x+a)〉/(x)证明/(x)是R上的

距增函数”；

(2)根据“。距增函数”的定义，可得(x+a)3-(x+a)>/-小解不等式求得。的取值范围；

(3)根据/(x)是定义在R上的“2距增函数“，有/(x+2)>/(x),对x分类讨论结合函数的单

调性求得6的取值范围；

【小问1详解】

证明：因为/(x)=x+sinx,所以/'(x)=l+cosxNO,所以/(x)在R上单调递增.

对于任意正实数a,x+a>x,所以/(x+a)>/(x),

所以/(x)是R上的距增函数

【小问2详解】

因为—X是R上的距增函数”，所以/(x+«)>f(x),

即(x+«)3-(x+a)>x3-x,化简得3x?+3ax+a~-1>0>

所以3—+3狈+/—1=0无解，即A=9a2-12(a2-l)<0,

解得a>2(a<—2舍去).所以。的取值范围为(2,+s).

【小问3详解】

因为/(x)是定义在R上的“2距增函数“，所以/(x+2)>/(x).

①若xe(—oo,-2],贝”+2e(—巩0].

因为/(x)在(-8,0]上单调递增,所以/(x+2)>/(x)恒成立.

②若xe(—2,0],则x+2e(O,2].

因为/(x+2)>/(x),所以(x+2)ln(x+2)+b(x+2)>x+1.

令t=x+2e(0,2],贝!|/1皿+历>/-1,即6>1-1皿一).

令函数8(。=1_1皿_；/6(0,2],则g'("=

当时，g'⑺>0；当时，g'(/)<0.

所以g(。在(0,1)上单调递增，在(1,2]上单调递减，

所以g(/)max=g#=0,所以6>0.

③若xe(0,+8),贝！Jx+2e(2,+oo),ln(x+2)>0.

由(2)可得，要使得/(x)是定义在R上的“2距增函数”，则必须满足b>0.

当b>0时，/(x+2)=(x+2)ln(x+2)+b(x+2)>xln(x+2)+bx>xlnx+bx=f(x).

综上，方的取值范围为(0,+").

19.甲、乙两人各有六张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1