浙江省浙东北（ZDB）联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学

浙东北联盟（ZDB）2022－2023学年第二学期期中考试高一数学试卷命题学校：元济高级中学命题老师：魏侹路审卷老师：李慧华总分150分考试时间120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知平行四边形中，是的中点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据向量基本定理分解向量即可.【详解】.故选：A.2.已知复数是纯虚数，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】先将整理为的形式，再由纯虚数的概念求解即可.【详解】由题,,因为z为纯虚数，所以.故选：B.3.在中，角所对的边分别是，若，则是（）A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，即可判断三角形形状.【详解】在中，由正弦定理及，得，而，因此，所以是等腰三角形.故选：A4.已知非零向量满足，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，进而利用向量夹角公式可求与的夹角.【详解】因为，所以，所以，所以，所以与的夹角为.故选：D.5.已知轴截面是正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的表面积与球的表面积之比为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设圆锥的底面半径为，球的半径为，由已知可得，可求得圆锥的表面积与球的表面积之比.【详解】设圆锥的底面半径为，球的半径为，因为圆锥的轴截面是正三角形，所以圆锥的高为，母线长为，由题意可得，所以，所以圆锥的表面积为，球的表面积为，所以.故选：A.6.任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，复数在复平面内对应的平面向量所在射线为终边的角，叫做复数的辐角．我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值，记为．那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数辐角的主值的定义计算即可.【详解】对应的平面向量，设辐角为，，所以..故选：B.7.设，，，是同一个半径为的球的球面上四点，是斜边为的直角三角形，则三棱锥体积的最大值为（）A. B.64 C. D.128【答案】C【解析】【分析】依题意可得的外接圆的半径，即可求出球心到平面的距离，求出面积的最大值，及点到平面的距离的最大值，最后根据锥体体积公式计算可得.【详解】是斜边为的直角三角形，的外接圆的半径，又球的半径，球心到平面的距离，又面积的最大值为，点到平面的距离的最大值为，三棱锥体积最大值为．故选：C．8.某人的正北方有一座高塔，此时测得塔顶的仰角为．随后此人沿北偏东的方向前进20米，再测得塔顶的仰角为．那么，此人在行进过程中距离塔顶的最近距离为（）（人的身高忽略不计）A. B. C.20 D.【答案】D【解析】【分析】作出示意图，设塔的高为，由题意得，利用余弦定理可求得，进而可求到的距离.【详解】设塔的高为，由题意得，则，在中，由余弦定理可得，所以，解得或（舍去），所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以到的距离为.故选：D.二、多项选择题（本题共有4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知复数，则下列说法正确的是（）A.的虚部为 B.C.在复平面内与对应的点在第一象限 D.【答案】BCD【解析】【分析】根据复数虚部的定义，复数模的运算公式、复数在复平面的坐标、共轭复数的定义逐一判断即可.【详解】A：因为复数的虚部为1，所以本选项说法不正确；B：因为，所以，所以本选项说法正确；C：复数在复平面内与对应的点的坐标为，所以本选项说法正确；D：因为，所以，因此本选项说法正确，故选：BCD10.在中，角所对的边分别是，已知，且该三角形仅有唯一解，则可能的取值有（）A.1 B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据正弦定理三角形有唯一解，得到或，求出参数的取值范围，从而得解.【详解】由于，有唯一解，则或，即，所以可能的取值为1，，AD正确，BC错误.故选：AD11.已知点为边长为2的正方形边上一动点，则可能的取值是（）A.0 B.4 C.8 D.12【答案】ABC【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示即可得解.【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则当在上时，，则；当在上时，，则；同理可求在上时，的范围，综上可得.故选：ABC.12.如图，已知三棱锥满足在底面的投影为的内心，是棱上的点（不含端点）．记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则下列关系一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】过分别向引垂线，设垂足分别为，过作，过作，则三点共线，通过线线角、线面角以及面面角的定义得出，，，通过余弦定理比较它们的大小即可得解.【详解】过分别向引垂线，设垂足分别为，由题意在底面的投影为的内心，所以，其中是的内切圆的半径，因为，所以四边形为正方形，且边长为，过作，过作，则三点共线，所以，因为平面，且点在平面内的投影是，则，又因为平面，所以，而平面，从而平面，因为平面，所以，又因为，平面，平面，平面平面，所以，设，，，注意到，，则，，，由余弦定理有，，从而，且，，而，所以，，，故BCD正确，A错误.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：关键在于利用线线角、线面角以及面面角的定义找到对应的平面角，结合解三角形知识即可顺利得解.三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13.一个菱形的边长为4，一内角为，若用斜二测画法画出其直观图，则该直观图的面积为______．【答案】【解析】【分析】计算出菱形的面积，根据直观图面积与原图形面积之比为可计算得到结果.【详解】因为菱形的面积为，其直观图的面积为.故答案为：.14.设复数，则______．【答案】【解析】【分析】根据复数的四则运算结合的性质运算求解.【详解】因为，则，两式相减得，所以.故答案为：.15.在凸四边形中，已知，则的长为______．【答案】【解析】【分析】根据题意画出草图，利用正弦定理、余弦定理解三角形即可.【详解】如图：凸四边形在中，，，所以为等边三角形，所以；在中，，，，由正弦定理：；所以.在中，，，，由余弦定理：，所以.故答案为：16.已知平面向量，其中为单位向量．若与的夹角为，记为的最小值，则的最大值是______．【答案】【解析】【分析】根据，可得四点共圆，即可共线得，结合图形即可求解最值.【详解】令，，，为单位向量．，则，由于与的夹角为，所以，，故不妨取，，四点共圆情况，,外接圆的直径为，在优弧上，，表示起点为，终点在直线上的向量，由于，到的距离为，设到的最大距离为由于为的最小值，则当时最小，故的最大值为，此时过圆心且故答案为：．四、解答题（本题共6个小题，共70分）17.已知向量．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知得，求解即可；（2）由已知可得，求解即可.【小问1详解】，故由，可得，解得．【小问2详解】由，得，解得．18.如图，为正方体的棱的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据中位线可得，即可由线面平行的判定求证，（2）由线线平行可得即为直线与所成角，即可由余弦定理求解.【小问1详解】连接与交于点，连接．显然为的中点，所以．又因为平面平面，所以平面．【小问2详解】由（1）可知即为直线与所成角，在中,,由余弦定理得．19.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．在中，角所对的边分别是，且______．（1）求角的大小；（2）若，求的最小值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）应用正弦定理边角互化或余弦定理计算求值；（2）先根据面积公式得出，再结合余弦定理结合基本不等式得出最小值.【小问1详解】选①；选②；选③．【小问2详解】由可得．根据余弦定理有，因此当且仅当时，的最小值为2．20.如图，在四棱锥中，，．（1）若点为中点，求证：平面；（2）若二面角的平面角为，求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）只需分别证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证；（2）根据题设条件得，进一步平面，三角形是等边三角形，其中是中点，分别算出的长度即可求出三角形的面积，求出，如何利用等面积法即可求解.【小问1详解】取中点，连接．因为，所以，即，，因为，所以四边形是矩形，所以，又因为，平面，，故平面．【小问2详解】因为，平面，平面，平面平面，故即为二面角的平面角，所以．过点作于点，因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面．因为，，所以三角形是等边三角形，从而，故．因为，又，则等腰三角形的面积为：，记到平面的距离为，由可求得．21.丰义村位于海盐县通元镇，在村民的共同努力下近年来先后获得“浙江省新时代美丽乡村精品村”和“全国乡村治理示范村”称号，完成了从传统自然村落到网红景区村的华丽变身．目前村里有一块三角形区域待开发使用，其中（单位：百米）．现规划于该区域中建造一座观景亭，始终满足．（1）求区域的最大面积；（2）当时，求的值；（3）若打算从观景亭出发铺设三条垂直到达区域边界的景观道，其中到达边界的景观道造价为1百元/米，到达边界的景观道造价为百元/米．目前村委会筹集到2万元项目资金，问：这部分资金能否保障无论观景亭选址何处，工程均能顺利完工？【答案】（1）（百米）（2）（3）这部分资金可以保障无论观景亭选址何处，工程均能顺利完工【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数可得即可由三角函数的性质求解最值，（2）由余弦定理即可求解，（2）根据三角恒等变换得，即可由三角函数的最值求解.【小问1详解】记，则（百米）．当且仅当，即取等号，故最大值为【小问2详解】此时，在中，．小问3详解】易得，记造价为万元，则，（时取到最大值）故这部分资金可以保障无论观景亭选址何处，工程均能顺利完工．22.如图，在三棱台中，．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）当点到平面距离最大时，求三棱台的体积．（注：，其中是高，分别是上下底面面积．）【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据正余弦定理可得，即可根据等腰三角形的性质得，由线面垂直的判定即可求证，（2）根据可知平面平面，作，连接，则即为直线与平面所成角．即可利用三角形的边角关系求解长度得解.（3）当平面时，到平面距离最大，进而根据三角形的边角关系求解长度，即可由体积公式求解.【