考点04 等腰三角形与直角三角形（原卷版）

考点四等腰三角形与直角三角形知识点整合一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．形．考向一等腰三角形的性质判定1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．学-科网3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a．5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．6．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．7．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例引领1．如图，边长为12的等边，F是边AC的中点，点D是线段BF上的动点，连接AD，在AD的右侧作等边，连接CD、CE、EF，下列说法正确的有（

）个．①；②；③；④的周长最小值为18；⑤的大小随着点D的移动而变化．A．2 B．3 C．4 D．52．如图，在等腰三角形中，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的边上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是（

）A． B． C．减 D．或二、填空题3．如图，在中，，，D为中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．有以下结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的结论有（填序号）4．如图，在中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交于点．若，则的周长是．5．如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为．变式拓展6．（1）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了这样的问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连结．请根据小明的方法思考：如图2，由已知和作图能得到的理由是选填（SSS，SAS，AAS，ASA）（2）【问题解决】根据图2，求出中线的取值范围．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．（3）【拓展延伸】如图3，是的中线，交于点E，交于F，且．求证：．7．（1）阅读理解如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，连接，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是．这种方法叫做倍长中线法．（2）问题解决：如图2，，，此时成立吗？请说明你的理由．（3）问题拓展：如图3，已知：，，，，为的中线，反向延长交于点，求证：．8．如图，在中，、分别为、边的垂直平分线，连接、．

(1)求证：；(2)若，，则的周长为．9．如图所示，在中，，F是延长线上一点，点E在上，且．

求证：(1)；(2)判断的关系，并证明．考向二等边三角形的性质与判定1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．4.在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例引领1．如图，等边与正方形的重叠，其中、两点分别在、上，且，若，，则的面积为．

二、解答题2．如图，为线段上一动点，（不与点、重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接．(1)求证：；(2)求证：是等边三角形；(3)若改变的位置，其余条件都不变，点恰好为的中点时，请问是否也为的中点，并说明理由．3．已知：如图，点D在等边三角形的边上，延长至点E使，连接交于点F．求证：．4．如图，已知等腰中，，，，点关于直线的对称点为点，连接，连接交于点，连接交于点，交于点．(1)如图1，当时，①补全图形；②探究与的数量关系，并说明理由；(2)在直线绕点顺时针旋转的过程中，当为等腰三角形时，利用备用图直接求出的值为______．5．在等边中，D为边的中点，点N在边的延长线上，且．

(1)如图1，点M在边上，求证：；(2)如图2，点M在边的延长线上，试探究，与等边边长的数量关系：变式拓展6．综合与探究【问题情境】在等边中，是边上的一个定点，是上的一个动点，以为边在的右侧作等边，连接．【特例研究】如图，当点在边上时，过点作交于点．此时的形状是；与的数量关系是．试猜想之间的数量关系，并说明理由．【拓展探究】（）如图，当点在的延长线上时，（）中的猜想是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的猜想并说明理由．7．如图，在中，，，是的中点，是的中点，连接并延长至，使，连接，．(1)若，则______；(2)求证：是等边三角形．8．如图，在等边三角形中，点为边上任意一点，延长至点，使，连接交于点，于点．(1)求证：；(2)若，求线段的长．（结果用含的代数式表示）9．如图，中，，是边上的中线，以为边向外作等边，与交于点．(1)求证：；(2)若，求的度数；(3)在（）的条件下，若，求的值．10．如图，在等边中，点D、点E分别在、上，且，连接、相交于点F．

(1)求的度数；(2)连接，若，，求的长．考向三直角三角形与勾股定理1.在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．2．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．3．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例引领1．如图，米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，若梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将向左移（

）A．4米 B．6米 C．8米 D．10米二、填空题2．如图，中，，，、分别是、边上的两个动点，满足，求线段的取值范围．3．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形，，的面积依次为，，，则正方形的面积为．4．等腰三角形的腰长，高是，则这个三角形的底边．5．如图，在中，，厘米，厘米，点从点出发，以厘米秒的速度在射线上匀速运动，当为等腰三角形时，点运动的时间为秒．6．如图，，点P是内的定点且，若点M、N分别是射线、上异于点O的动点，则周长的最小值是．变式拓展7．如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是．8．如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是．三、解答题9．如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．(1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程．(2)探索延伸：如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．(3)能力提高：如图，等腰