人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题5.4 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲及检测（原卷版）

第第页专题5.4三角函数的图象与性质-重难点题型精讲1．正弦函数与余弦函数的图象(1)正弦函数的图象①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=SKIPIF1<0,x∈[0,2π]的图象，如图所示.

②五点法观察图，在函数y=SKIPIF1<0,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(SKIPIF1<0,1),(π,0),(SKIPIF1<0,-1),(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=SKIPIF1<0,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.(2)余弦函数的图象

①图象变换法作余弦函数的图象

由诱导公式六，我们知道SKIPIF1<0，而函数SKIPIF1<0,x∈R的图象可以通过正弦函数y=SKIPIF1<0,x∈R的图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.②五点法作余弦函数的图象

类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=SKIPIF1<0,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=SKIPIF1<0在[0,2SKIPIF1<0]上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(SKIPIF1<0,0),(SKIPIF1<0,-1),(SKIPIF1<0,0),(2SKIPIF1<0,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=SKIPIF1<0在[0,2SKIPIF1<0]上的简图，再通过左右平移(每次移动2SKIPIF1<0个单位长度)即可得到余弦函数y=SKIPIF1<0,x∈R的图象.(3)正弦曲线、余弦曲线

正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.2．正弦函数与余弦函数的性质(1)周期函数①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.(2)正弦函数与余弦函数的性质正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：3．正弦型函数SKIPIF1<0及余弦型函数SKIPIF1<0的性质函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0SKIPIF1<0的性质4．正切函数的性质与图象(1)正切函数的图象及性质(2)三点两线法作正切曲线的简图类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点(-SKIPIF1<0,-1),(0,0),(SKIPIF1<0,1);“两线”是指直线x=-SKIPIF1<0和x=SKIPIF1<0.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)上的简图.5．余切函数的图象及性质正切函数的图象及性质：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，即将SKIPIF1<0的图象先向右平移SKIPIF1<0个单位长度，再以x轴为对称轴上下翻折，可得SKIPIF1<0的图象.余切函数的图象与性质如下表：【题型1正、余弦函数图象的应用】【方法点拨】正、余弦函数图象的应用主要有：函数图象的识别问题、解三角不等式、利用图象解决与函数零点或图象交点个数有关的问题；需要结合具体条件，根据正、余弦函数的图象及性质进行求解.【例1】函数y=10sinx与函数y=x的图像的交点个数是（A．3 B．6 C．7 D．9【变式1-1】与图中曲线对应的函数可能是（

）A．y=|sinx|B．y=sin|x|C．【变式1-2】从函数y=cosx,x∈[0,2π)的图象来看，当x∈[0,2π)时，对于cosx=−32A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式1-3】在x∈0,2π上，满足cosx>sinx的A．π4,5π4 B．0,π4【题型2定义域、值域与最值问题】【方法点拨】求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助正弦函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于SKIPIF1<0的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性.【例2】函数f(x)=sin(2x+π6)A．1，-1 B．12，−12 C．1，1【变式2-1】函数f(x)=tanx+πA．x|x≠kπ+πC．x|x≠kπ−π【变式2-2】函数fx=sin(2x+πA．0,1B．−32,0C．−3【变式2-3】奇函数f(x)=cos(ωx+φ),(ω>0,φ∈(0,π))在区间[−π3,A．[2,6) B．[2,92) C．[【题型3单调性问题】【方法点拨】单调性问题主要有：函数的单调区间的求解、比较函数值的大小；结合具体条件，根据三角函数的图象与性质进行求解即可.【例3】下列区间中，函数fx=2sinA．π,10π9 B．2π3,π【变式3-1】已知函数fx=1+2sinωxω>0，若fx在A．0,12 B．0,2 C．9,10 D．0,2【变式3-2】函数fx=tanA．2k−32,2k+12，k∈C．k−32,k+12，k∈【变式3-3】若函数fx=2cosωx+π4A．1 B．114 C．113 【题型4奇偶性与对称性问题】【方法点拨】掌握正弦、余弦、正切函数的奇偶性和对称性相关知识，结合具体题目，灵活求解.【例4】下列函数中，偶函数是（

）A．fx=sinC．fx=tan【变式4-1】已知函数fx=2sinx+A．−1 B．1 C．1或-1 D．2【变式4-2】函数f（x）的图象是中心对称图形，如果它的一个对称中心是（π2，0），那么f（x）的解析式可以是（

A．sinx B．cosx C．sinx+1 D．【变式4-3】设函数fx=2cos2x+φ的图象关于点5πA．7π6 B．5π6 C．【题型5三角函数的周期性】【方法点拨】证明一个函数是否为周期函数或求函数周期的大小常用以下方法：(1)定义法：即对定义域内的每一个x值，看是否存在非零常数T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，则函数是周期函数且T是它的一个周期.(2)公式法：利用三角函数的周期公式来求解.(3)图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断即可.【例5】在函数y=sin2x,y=sinx,y=cosA．y=sin2x B．y=sinx C．【变式5-1】已知函数fx=sinωx−πA．f2<f0C．f−2<f0【变式5-2】给出下列函数：①y=cos2x；②y=cosx；③y=其中最小正周期为π的有（

）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③【变式5-3】下列四个函数中，在区间π2,π上单调递增，且最小正周期为π的是（A．y=−sin2x B．y=cosx C．【题型6三角函数的图象与性质的综合应用】【方法点拨】解决正(余)弦型函数的图象与性质的综合应用问题的思路：1.熟练掌握函数SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的图象，利用基本函数法得到相应的函数性质，然后利用性质解题.2.直接作出函数图象，利用图象形象直观地分析并解决问题.【例6】已知函数fx=2sin(1)求函数fx(2)若函数gx=fx−m在【变式6-1】已知函数fx=sinωx+φ（ω>0，(1)若fx的最小正周期为2π，求(2)若x=−π4是fx的零点，是否存在实数ω，使得fx在【变式6-2】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤(1)若fx的最小正周期为2π，求f(2)若∀x∈R，fx+π4=fπ4−x，是否存在实数【变式6-3】已知函数fx=Acosωx+φ+3(A>0,ω>0,0<φ<π)(1)求fx(2)将曲线y=fx向左平移π12个单位长度，得到曲线专题5.4三角函数的图象与性质-重难点题型检测一．选择题1．函数y=sin2x-πA． B．C． D．2．下列区间中，是函数fx=cosA．(0,π) B．π3,π2 C．3．下列关于函数f(x)=−|tanx|说法正确的是（A．函数f(x)的定义域为R C．函数f(x)的最小值为0 D．函数4．函数f(x)=sinωx+π6A．112≤ω<172B．115．已知a=43cos34，b=43sin34，A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．b<a<c6．已知函数fx=cosωx−π3(ω>0)在π6,A．0,52∪223,172 7．已知函数fx=2sin2x+π6，对于任意的a∈−A．7π12,3π4 B．π8．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，φ∈0,π2），直线x=π12A．函数fx+B．函数f(x)的图象关于点−πC．函数f(x)在区间−πD．函数f(x)在区间[0,6π二．多选题9．已知函数f(x)=3sinx+πA．最小正周期为π B．图象关于点π3C．图象关于直线x=2π3对称 D．在区间10．已知函数fx=tanA．f0=3 B．C．2π3,0为fx的一个对称中心 D．11．已知函数fx=sinωx+φω>0,φ<π2，fx≤A．1 B．3 C．5 D．712．已知函数f(x)=Asin①该函数的最大值为2；②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为π；③该函数图象关于5π3那么下列说法正确的是（

）A．φ的值可唯一确定B．函数fx−C．当x=2kπ−5π6(k∈Z)时，函数f(x)取得最小值D．函数f(x)三．填空题13．函数y=2sin3x-π14．函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图像中两个相邻的最高点和最低点的坐标分别为π8,1,5π15．函数fx=sinωx+π6ω>0在区间−5π6,16．对于函数f(x)=sinπx,0≤x≤212①任取x1,x②函数y=f(x)在区间[4,5]上单调递增；③f(x)=2kf(x+2k)(k∈N∗)④函数y=f(x)−ln⑤若关于x的方程f(x)=m(m<0)有且只有两个不同实根x1,x四．解答题17．已知函数y=2cos(1)求函数取得最大、最小值时自变量x的集合；(2)判断函数的奇偶性并证明；18．某同学作函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<πωx+φ0ππ3π2πxππfx-3(1)请将上表数据补充完整，并求出f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间(m，0)内是单调函数，求实数m的最小