人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题4.1 指数-重难点题型精讲及检测（原卷版）

第第页专题4.1指数-重难点题型精讲1．根式(1)n次方根的定义与性质(2)根式的定义与性质2．分数指数幂注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂SKIPIF1<0是根式的一种新的写法，不可理解为SKIPIF1<0个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已.3．有理数指数幂的运算(1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：

①SKIPIF1<0(a>0,r,s∈Q)；

②SKIPIF1<0(a>0,r,s∈Q)；

③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(2)指数幂的几个常用结论：①当a>0时，SKIPIF1<0>0；

②当a≠0时，SKIPIF1<0=1，而当a=0时，SKIPIF1<0无意义；

③若SKIPIF1<0(a>0,且a≠1)，则r=s；

④乘法公式仍适用于分数指数幂.4．无理数指数幂及实数指数幂(1)无理数指数幂一般地，无理数指数幂SKIPIF1<0(a>0,SKIPIF1<0是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂SKIPIF1<0(a>0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数.

(2)实数指数幂的运算性质：

整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同.【题型1根式与分数指数幂的互化】【方法点拨】根据根式与分数指数幂的互化运算法则，进行计算即可.【例1】下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（）A．−x=(−x)−12（x≠0C．(xy)−34=4(yx)3（【变式1-1】下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）A．−x=(−x)12C．6y2=y【变式1-2】下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是（）A．−x=(−x)12C．x−34=【变式1-3】下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（）A．−x=(−x)12C．x−34=【题型2指数式的化简】【方法点拨】利用指数幂的运算性质，进行化简计算即可．【例2】（112）0﹣（1﹣0.5﹣2）÷A．−13 B．13 C．43【变式2-1】20+A．25 B．35−1 C．35+1 【变式2-2】设a＞0，b＞0，化简(aA．−13a23 B．−3a23【变式2-3】计算12A．1e B．e C．e2 D．【题型3根据指数式求参】【方法点拨】根据所给的指数关系式，利用指数幂的运算性质，化简求解参数的值.【例3】已知x7＝5，则x的值为（）A．5 B．75 C．−75 【变式3-1】已知x−23=A．±18 B．±8 C．344【变式3-2】若4a2−4a+1A．a≥12 B．a≤12 C【变式3-3】若69a2A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，13] C．[13，+∞） D．（13，【题型4指数式的给条件求值问题】【方法点拨】利用指数幂的运算性质解决带有附加条件的求值问题，一般有三种思路：(1)将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论.(2)当直接代入不易求解时，可以从总体上把握已知,式和所求式的特点，从而快速巧妙求解.一般先利用平方差、立方和(差)以及完全平方公式及其变形进行化简，再用整体代入法来求值.(3)适当应用换元法，能使公式的使用更清晰，过程更简洁.【例4】已知a+1a=4A．2 B．2 C．−2 D．±【变式4-1】若0＜a＜1，b＞0，且ab﹣a﹣b＝﹣2，则ab+a﹣b的值为（）A．22 B．±22 C．−2【变式4-2】已知10m＝2，10n＝3，则10A．49 B．89 C．23 【变式4-3】已知实数a，b满足(a+a2+1A．﹣1 B．1 C．±1 D．0【题型5指数幂等式及幂的方程问题】【方法点拨】指数方程常见的类型有：(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0f(x)=g(x)；(2)SKIPIF1<0=0.其中类型(1)利用同底法解，类型(2)利用换元法解.【例5】方程3x−1A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【变式5-1】方程5x﹣1•103x＝8x的解集是（）A．{1，4} B．{14} C．{1，14} D．{4，【变式5-2】方程4x﹣1=1A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【变式5-3】方程4x﹣10•2x+16＝0的解集是．【题型6指数幂等式的证明】【方法点拨】指数幂等式的证明中，设辅助参数是对数学问题的“层次性”的深刻认识的体现，是把复杂问题转化为两个或多个基本问题的重要分析方法.【例6】已知a＞0且a≠1，（2a）m＝a，（3a）m＝2a，求证：（32）mn＝2n【变式6-1】已知6|m|3k2+2−m22+3【变式6-2】已知：a＞0，b＞0，且ab＝ba，求证：（ab）a【变式6-3】已知ax3＝by3＝cz3，且1x+1y+1z=1，求证：（ax专题4.1指数-重难点题型检测一．选择题1．把二次根式xyA．xy B．xy C．xyy 2．3×A．2 B．3 C．4 D．63．下列运算正确的是（）A．（﹣3a）3＝﹣9a3 B．﹣a2•a3＝﹣a6 C．﹣（﹣2a2）3＝8a6 D．3a+2a＝54．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）A．−x=(−x)12C．6y2=y5．已知x+1x=6A．38 B．36 C．34 D．326．若|3x﹣2y﹣1|+x+y−2=0，则x，A．1，4 B．2，0 C．0，2 D．1，17．若y−1yA．m2+2 B．m2﹣2 C．m+2 D．8．已知a是大于1的实数，满足方程a2+a﹣2＝7，则a1A．1 B．72+72 C．3二．多选题9．下列运算结果中，一定正确的是（）A．a3•a4＝a7 B．（﹣a2）3＝a6 C．8a8=a 10．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）A．6y2=y1C．x−13=−11．已知a+a﹣1＝3，则下列选项中正确的有（）A．a2+a﹣2＝7 B．a3+a﹣3＝16 C．a12+a12．以下化简结果正确的是（字母均为正数）（）A．a52⋅a13C．−15a12b1三．填空题13．(278)214．若(1−a)2+(1+a)15．方程24x+1﹣17×4x+8＝0，x＝．16．若a+b＝5，ab＝2，则a4+b4+3a2b2值是．四．解答题17．已知27x＝67，81y＝603，求证：4y﹣3x＝2．18．已知a﹣b＝2，ab＝48，求a