人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题1.5 全称量词与存在量词-重难点题型精讲及检测（原卷版）

第第页专题1.5全称量词与存在量词-重难点题型精讲1．全称量词与全称量词命题2.存在量词与存在量词命题3．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．4．命题的否定与原命题的真假一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．【题型1全称量词命题与存在量词命题的理解】【方法点拨】判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．【例1】下列命题中全称量词命题的个数为（）①正方形的对角线互相平分；②每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0 B．1 C．2 D．3【变式1-1】下列命题中，是全称量词命题的是（）A．∃x∈R，x2≤0 B．当a＝3时，函数f（x）＝ax+b是增函数 C．存在平行四边形的对边不平行 D．平行四边形都不是正方形【变式1-2】下列命题是全称量词命题的是（）A．有一个偶数是素数 B．至少存在一个奇数能被15整除 C．有些三角形是直角三角形 D．每个四边形的内角和都是360°【变式1-3】下列命题中（1）有些自然数是偶数；（2）正方形是菱形；（3）能被6整除的数也能被3整除；（4）对于任意x∈R，总有1x存在量词命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【题型2全称量词命题与存在量词命题的真假】【方法点拨】判断全称量词命题真假的方法：要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可．判断存在量词命题真假的方法：判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性．若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命题是假命题．【例2】下列结论中正确的是（）A．∀n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是真命题 B．∀n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题 C．∃n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题 D．∃n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假命题【变式2-1】下列命题为真命题的是（）A．对每一个无理数x，x2也是无理数 B．存在一个实数x，使x2+2x+4＝0 C．有些整数只有两个正因数 D．所有的质数都是奇数【变式2-2】下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，4x0+1＝0 C．∀x∈R，x2﹣1＝0 D．∀x∈R，x2﹣2x+2≥0【变式2-3】下列命题中是假命题是（）A．∀x∈R，|x|+1＞0 B．∃x∈R，1|x|+1＝C．∃x∈R，|x|＜1 D．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0【题型3根据命题的真假求参数】【方法点拨】(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．【例3】已知命题p：∃x0＞0，x0+a﹣1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）【变式3-1】若命题p：∀x∈R，x2﹣2x+m≠0是真命题，则实数m的取值范围是（）A．m≥1 B．m＞1 C．m＜1 D．m≤1【变式3-2】若“∃x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0”是假命题，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，1] C．[1，+∞） D．[0，1]【变式3-3】已知命题“存在x∈{x|﹣2＜x＜3}，使得等式2x﹣m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4]∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（6，+∞） C．（﹣∞，﹣4）∪[6，+∞） D．（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）【题型4全称量词命题与存在量词命题的否定】【方法点拨】对全称量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)eq\o(→,\s\up7(改为))存在量词(∃)．②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．对存在量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)eq\o(→,\s\up7(改为))全称量词(∀)．②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．【例4】全称命题：∀x∈R，x2+5x＝4的否定是（）A．∃x∈R，x2+5x＝4 B．∀x∈R，x2+5x≠4 C．∃x∈R，x2+5x≠4 D．以上都不正确【变式4-1】命题“∃x∈R，使x＞1”的否定是（）A．∀x∈R，都有x＞1 B．∃x∈R，使x＜1 C．∀x∈R，都有x≤1 D．∃x∈R，使x≤1【变式4-2】命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x3﹣x2+1≥0 B．∃x∈R，x3﹣x2+1＞0 C．∃x∈R，x3﹣x2+1≤0 D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0【变式4-3】设x∈Z，集合A为偶数集，若命题p：∀x∈Z，2x∈A，则￢p（）A．∀x∈Z，2x∉A B．∀x∉Z，2x∈A C．∃x∈Z，2x∈A D．∃x∈Z，2x∉A【题型5命题否定的真假判断】【方法点拨】(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.【例5】写出下列命题的否定，并判断真假．（1）正方形都是菱形；（2）∃x∈R，使4x﹣3＞x；（3）∀x∈R，有x+1＝2x；（4）集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．【变式5-1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：（Ⅰ）p：对任意的x∈R，x2+x+1≠0都成立；（Ⅱ）q：∃x∈R，使x2+3x+5≤0．【变式5-2】判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：（1）∀x∈N，x3＞x2；（2）所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；（3）∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0；（4）存在一个四边形，它的对角线互相垂直．【变式5-3】判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．（1）存在实数x，使得x2+2x+3≤0；（2）有些三角形是等边三角形；（3）方程x2﹣8x﹣10＝0的每一个根都不是奇数．【题型6根据命题否定的真假求参数】【方法点拨】结合题目条件，根据命题的否定的真假与原命题的真假之间的关系进行转化求解，进而求出参数即可.【例6】已知命题p：∀a∈R，一元二次方程x2﹣ax+1＝0有实根；若￢p是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，2） C．（﹣4，4） D．（﹣2，4）【变式6-1】若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，3] B．（﹣1，3） C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【变式6-2】若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”的否定是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，3] B．（﹣1，3） C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【变式6-3】命题p：∀x∈R，ax2+ax+1≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（0，4] B．[0，4] C．（﹣∞，0]∪[4，+∞） D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）专题1.5全称量词与存在量词-重难点题型检测一．选择题1．下列命题是全称量词命题的是（）A．有些平行四边形是菱形 B．至少有一个整数x，使得x2+3x是质数 C．每个三角形的内角和都是180° D．∃x∈R，x2+x+2＝02．命题p：∀x∈（0，+∞），3x+1＜0，则命题p的否定为（）A．∀x∈（0，+∞），3x+1＞0 B．∃x∈（0，+∞），3x+1＞0 C．∀x∉（0，+∞）3x+1≥0 D．∃x∈（0，+∞），3x+1≥03．已知对∀x∈{x|1≤x＜3}，都有m＞x，则m的取值范围为（）A．m≥3 B．m＞3 C．m＞1 D．m≥14．若命题“存在x0∈R，使x2﹣2x﹣m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，+∞） C．[﹣1，1] D．（﹣1，+∞）5．下列全称命题的否定形式中，假命题的个数是（）（1）所有能被3整除的数能被6整除（2）所有实数的绝对值是正数（3）∀x∈Z，x2的个位数不是2．A．0 B．1 C．2 D．36．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是（）A．对任意的a，b∈R，都有a2+b2﹣2a﹣2b+2＜0 B．菱形的两条对角线相等 C．∃x∈R，x2＝x D．一次函数在定义域上是单调函数7．若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，3] B．（﹣1，3） C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）8．下列结论中正确的个数是（）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“∀x∈R，x2+1＜0”是全称量词命题；③命题“∃x∈R，x2+2x+1≤0”的否定为“∀x∈R，x2+2x+1≤0”；④命题“a＞b是ac2＞bc2的必要条件”是真命题．A．0 B．1 C．2 D．3二．多选题9．下列命题中是假命题的有（）A．∀x∈R，x3≥0 B．∃x∈R，x3＝3 C．∀x∈R，x2﹣1＝0 D．∃x∈Z，1＜4x＜310．下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（）A．所有的正方形都是矩形 B．有些梯形是平行四边形 C．∃x∈R，3x+2＞0 D．至少有一个整数m，使得m2＜111．已知命题p：∃x∈R，ax2﹣4x﹣4＝0，若p为真命题，则a的值可以为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．312．下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有（）A．∃x0∈R，x02﹣x0+14B．所有的正方形都是矩形 C．∃x0∈R，x02+2x0+2＝0 D．至少有一个实数x，使x3+1＝0三．填空题13．选择适当的符号“∀”“∃”表示下列命题：有一个实数x，使x2+2x+3＝0：．14．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是．15．已知命题P：∃x≤3，2x﹣1≥a是真命题，则a的最大值为．16．若命题“∀x∈R，3x2+2ax+1≥0”的否定是假命题，则实数a取值范围是．四．解答题17．判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题．（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；（2）三角函数都是周期函数吗？（3）有一个实数x，x不能取倒数；（4）有的三角形内角和不等于180°．18．判断下列命题属于全称命题还是特称命题，并用数学量词符号改写下列命题：（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根；（2）存在一对实数x，y，使2x+3y+3＞0成立；（3）存在一个三角形没有外接圆；（4）实数的平方大于等于0．19．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．（1）有理数都是实数