海南省八校联盟2024-2025学年高三年级下册期末考试数学试题（含解析）

海南省八校联盟2024-2025学年高三下学期期末考试数学试题高三期末试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知双曲线C：二-4=1（。〉0］〉0）的焦距为2c,焦点到双曲线C的渐近线的距离为且C,则双曲线的渐

近线方程为（）

A.y=±y/3xB.y=±y/2xC.y=±%D.y—±2%

2222

2.连接双曲线G：j-及。2：=-3=1的4个顶点的四边形面积为，，连接4个焦点的四边形的面积为52,

abba

则当U取得最大值时，双曲线G的离心率为（）

R3后

15.--------C.73D.V2

2

3.第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与

单独五个环面积之和的比值P,某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10,宽为6的长方形奥运会旗

内随机取N个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为〃个，已知圆环半径为1,则比值P的近似值为（）

8〃7in

A.一B.——C.D.

8N兀N7lN12N

4.如图，双曲线C：鼻一去=1（。〉0）〉0）的左，右焦点分别是E（—GO）,耳（c,0）,直线y=五与双曲线C的两

JT

条渐近线分别相交于A3两点.若耳月=§,则双曲线C的离心率为（）

A.2B.逑

3

C.y/2D.

3

5.如图，长方体ABC。—A4G。中，2A3=3A%=6,书=2%,点7在棱A4上，若7P_L平面尸5c.则

UUUUUL

TPBlB=()

A.1B.-1C.2D.-2

6.若集合4==则4口8=()

A.[-3,2]B.1x|2<%<3}

C.(2,3)D.{x|-3<%<2}

7.若%>0,y>。，贝！|“1+2丁=2"面”的一个充分不必要条件是

A.x=yB.x=2y

C.尤=2且y=lD.x=y或y=l

8.已知全集0=11,集合A={x|3Wx<7},B={X|X2-7X+10<0},则心(AC5)=()

A.(-oo,3)U(5,+<»)B.(^O,3]U(5,-H»)

C.(v,3]U[5,+co)D.(-CO,3)U[5,-BX>)

9.已知等差数列｛4｝中，%+6=8贝！）/+%+%+%,+%=（）

A.10B.16C.20D.24

10.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为

（）

11.小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居

住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（）

12.在棱长均相等的正三棱柱ABC=4用G中，。为8用的中点，口在AG上，且OPLAG，则下述结论:

①AC］，BC；②AF=FC］；③平面平面ACGA：④异面直线AG与所成角为60°其中正确命题的

个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（x+2y）（x—丁门展开式中dy3的系数为.

14.某部门全部员工参加一项社会公益活动，按年龄分为AB,C三组，其人数之比为5:3:2,现用分层抽样的方

法从总体中抽取一个容量为20的样本，若。组中甲、乙二人均被抽到的概率是g,则该部门员工总人数为.

2"x<0)

15.已知函数/(')=",则/(—2)=_______；满足/。)>0的x的取值范围为________.

12-3x(%>0)

16.某市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩J服从正态分布N(100,o-2),已知

P(80<^<100)=0.40,若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取的份数为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=(x+a)ln(x+a)+/+x.

(1)当4=1时，求函数/(幻的图象在X=0处的切线方程；

(2)讨论函数丸(x)=y(x)-e'x的单调性;

⑶当a=0时，若方程“0=/(£)—e'—x=7”有两个不相等的实数根玉,马,求证：ln(X]+X2)〉ln2-1.

一,、,123nn

18.(12分)已知数列｛4｝满足^----+------+-----7+"-+Z----7=7.

1

)2%-52a2-52a3-52an-53

(1)求数列｛凡｝的通项公式；

(2)设数列」一]的前几项和为7；,证明：Tn<~.

〔44+/6

19.(12分)如图所示，已知AC,平面COE,BD//AC,△£(%)为等边三角形，尸为边助上的中点，且

CD=BD=2AC=2.

(I)求证：CP尸面ABE；

(II)求证：平面ABEL平面班)£;

(III)求该几何体E-ABDC的体积.

20.(12分)某调查机构为了了解某产品年产量*(吨)对价格y(千克/吨)和利润z的影响，对近五年该产品的年产量和

价格统计如下表：

x12345

y17.016.515.513.812.2

(1)求y关于x的线性回归方程y=%+6；

(2)若每吨该产品的成本为12千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润w取到最大值？

〃n

参考公式：B=上，-----------=*-------------,a=y-bx

之片_忒2之可2

Z=1Z=1

21.(12分)已知抛物线。：丁2=20尤(°>0)的焦点为w，点P(2M(〃>0)在抛物线C上，|P同=3,直线/过点

F,且与抛物线C交于A,6两点.

(1)求抛物线。的方程及点P的坐标；

(2)求丽.丽的最大值.

22.(10分)设/(x)=xe*-⑪？，g(x)=In%+%-%2+1-—(«>0)

a

(1)求g(x)的单调区间；

(2)设〃(X)=/(£)—ag(x)20恒成立，求实数。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

利用双曲线C：W—2^=1（。〉0］〉0）的焦点到渐近线的距离为走,，求出a，b的关系式，然后求解双曲线的

a~Zr2

渐近线方程.

【详解】

双曲线C：g—孑=1（a〉0］〉0）的焦点（G0）到渐近线bx+ay=0的距离为与c，

可得：/儿=里,可得2=走，-=73,则。的渐近线方程为'=±氐.

+尸2c2a

故选A.

本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.

2.D

【解析】

先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积,

5.

利用重要不等式求得U取得最大值时有a=b,从而求得其离心率.

【详解】

2222

yx

双曲线3―3二1与一=1互为共轨双曲线,

abb2a

四个顶点的坐标为（±〃,0）,（0,±份，四个焦点的坐标为（±c,0）,（0,士。）,

四个顶点形成的四边形的面积A=-x2ax2b=2ab

2f

1

92

四个焦点连线形成的四边形的面积52=-X2CX2C=2C,

S.2ababab1

所以每二小二不7〈.=5,

S

当U取得最大值时有a=b,c=缶，离心率e=f=J5,

»2CL

故选：D.

该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共朝双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式

求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.

3.B

【解析】

根据比例关系求得会旗中五环所占面积，再计算比值P.

【详解】

设会旗中五环所占面积为S,

，丁Sn一…-60〃

由于——=一,所以S=——,

60NN

故可得尸=」士=四.

5万7rN

故选：B.

本题考查面积型几何概型的问题求解，属基础题.

4.A

【解析】

cbeBT7i

易得6（-7,丁），过3作x轴的垂线，垂足为T,在△耳中，利用言：=tanw即可得到c的方程.

22a3

【详解】

chec

由已知，得3（—过B作x轴的垂线，垂足为T,故片T=—,

22a2

be

又NBF[F,=%，所以[J=tang=6，即2&=0=G，

-3FJ3ca

2

所以双曲线。的离心率e=Jl+（与=2.

Va

故选：A.

本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题.

5.D

【解析】

根据线面垂直的性质，可知TPLPB；结合*=2函即可证明AP7AMABQ5I，进而求得7A.由线段关系及平面

UUUUUL

向量数量积定义即可求得7P-43.

【详解】

长方体ABCD—A[B[CQ]中，2AB=3A4]=6,

点T在棱A为上，若TP,平面尸5C.

则7PJ_P5，即=2西

则ZPT^=NBPB],所以APTA^=ABPB1,

则％=PB]=1,

uiruuuuiruuu

所以TPB]B=TP-BXBcosZPTX

(]、

=v22+12x2x—/=—2,

IVFTFJ

故选：D.

本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题.

6.A

【解析】

先确定集合A中的元素，然后由交集定义求解.

【详解】

A={.y=，2-x}=1x|%<2|,B=|x|-3<%<3},AnB=-3<x<2}.

故选：A.

本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键.

7.C

【解析】

x>0,y>0,

+而，当且仅当x=2y时取等号.

故"x=2,且y=1”是“*+2y=2J语”的充分不必要条件.选C.

8.D

【解析】

先计算集合3,再计算AC8,最后计算电(Ac5).

【详解】

解：,.•B=1x|x2—7x+10<0j

:.B=[x\2<x<5],

1.,A=1x|3<x<7}

AQB={x\3„x<5},

.•.3b(AnB)=(-ao,3)U[5，H.

故选：D.

本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题.

9.C

【解析】

根据等差数列性质得到%+。6=8=2生，再计算得到答案.

【详解】

已知等差数列{4}中，%+。6=8=2%=>。5=4

a3+a4+a5+a6+a7=5a5=20

故答案选C

本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.

10.B

【解析】

由三视图判断出原图，将几何体补形为长方体，由此计算出几何体外接球的直径，进而求得球的表面积.

【详解】

根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜边为2,侧棱长为2且与底面垂

直，因为直三棱柱可以复原成一个长方体，该长方体外接球就是该三棱柱的外接球，长方体对角线就是外接球直径，

则(2R)2=4R2=2?+2?=8,那么S外接球=4兀F=8万.

故选：B

本小题主要考查三视图还原原图，考查几何体外接球的有关计算，属于基础题.

11.C

【解析】

设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.

【详解】

x<y

设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为xy,以12：0。点为开始算起，则有<「，在平面直角

10?101创010-工仓65a

p—_______22_______•

'10'108

故选：C

本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力.

12.B

【解析】

设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断歹是AG的中点推出②正的误；利用

直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线AG与CD所成角判断④的正

误.

【详解】

解：不妨设棱长为：2,对于①连结AB一则做=AG=2VL.•.44。田产90。即4£与瓦。|不垂直，又BCHB、G，

二①不正确;

对于②，连结AD，DQ,在AADG中，AD=DCl=y/5,而,二支是AQ的中点，所以AF=RC］，二②

正确；

对于③由②可知，在中，£>尸=百，连结。/，易知。尸=，5，而在口火^口中，C£>=石，;.DF-+CF-=CD-,

即。F_LCF,又D尸，A£,面AC£A，.•.平面"CjJ"平面ACC】A，，③正确；

以A为坐标原点，平面431cl上过A点垂直于的直线为X轴，AC所在的直线为y轴，AA所在的直线为z轴,

建立如图所示的直角坐标系；

4（0,0,0）,4（后1,0）,Q（0,2,0）,A（0,0,2）,C（0,2,2）,。（国，小

禧=（0,2,-2）,CD=（A/3,-1,-1）;

AQ.CD

异面直线AG与CD所成角为。，cos0==0,故夕=90°.④不正确.

\AC;\\CD\

故选：B.

本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位

置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.10

【解析】

把（x—y）5按照二项式定理展开，可得（x+2y）（x—丁了的展开式中Y；/的系数.

【详解】

解：（x+2y）（x-4=（x+2y）.（竦.%5-C武勺+C；-C»x2y3+C；.Vj；4-C；»ys）,

故它的展开式中三y3的系数为一或+2C；=10,

故答案为：10.

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

14.60

【解析】

根据样本容量及各组人数比，可求得c组中的人数；由c组中甲、乙二人均被抽到的概率是(•可求得c组的总人数,

即可由各组人数比求得总人数.

【详解】

AB,。三组人数之比为5:3:2,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，

则AB,C三组抽取人数分别10,6,4.

C2121

设。组有〃人，则。组中甲、乙二人均被抽到的概率U=1―八=77，

”1)11

「・解得〃=12.

12

，该部门员工总共有耳*(5+3+2)=60人.

故答案为：60.

本题考查了分层抽样的定义与简单应用，古典概型概率的简单应用，由各层人数求总人数的应用，属于基础题.

1/八

15.-(-oo,4)

4

【解析】

首先由分段函数的解析式代入求值即可得到/(-2),分x>0和x<0两种情况讨论可得;

【详解】

解：S>9/W=F(X-0),

[12-3x(x>0)

所以/'(—2)=2-=一，

V/«>0,

.••当尤<0时，0</00=2'<1满足题意，；.尤<0；

当x>0时，由/(x)=12—3x>。,

解得x<4.综合可知：满足/(x)>0的x的取值范围为(-8,4).

故答案为：一；(—8,4).

4

本题考查分段函数的性质的应用，分类讨论思想，属于基础题.

16.10

【解析】

由题意结合正态分布曲线可得120分以上的概率，乘以100可得.

【详解】

解：P(<^>120)=1[1-2P(80<<^<100)]=0.10,

所以应从120分以上的试卷中抽取100x0.10=10份.

故答案为：10.

本题考查正态分布曲线，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)3%—丁+1=0；(2)当一4<%<!一°时，在[一a,，一a]上是减函数；当时，/z(九)在

上是增函数；(3)证明见解析.

【解析】

(1)当。=1时，/(x)=(x+l)ln(x+l)+/+x,求得其导函数/'(X),/(0),/(0),可求得函数f(x)的图象在

x=0处的切线方程；

(2)由已知得7z(x)=/(x)-e*-X=(x+a)ln(x+a)(x>-a),得出导函数"(x)=ln(x+a)+l,并得出导函数取得

正负的区间，可得出函数的单调性；

(3)当a=0时，/z(x)=xlnx,/i'(x)=lnx+l,由(2)得/z(x)的单调区间，以当方程〃(%)=根有两个不相等的

实数根%，不妨设％<%，且有0<玉<工，,<*2<1，--<m<0,构造函数//(X)=0<x<，

分析其导函数的正负得出函数的单调性，得出其最值,所证的不等式可得证.

【详解】

(1)当a=l时，f(x)-(%+l)ln(x+l)+ex+x,

所以/'(x)=ln(x+l)+l+"+l=ln(x+l)+"+2,.•./(())=3,/(0)=l,

所以函数/(尤)的图象在尤=0处的切线方程为y—l=3(x—0),即3x—y+l=0；

(2)由已知得力(%)=/(九)一/一九=(jr+〃)ln(%+Q)(%>一。)，，/z(%)=ln(%+。)+1,令/z'(x)=O,得％=—a,

e

所以当一a<%<—a时，h(x)<0,当九〉—〃时，/z'(x)>0,

ee

所以力(x)在'上是减函数，在［，-兄+幻］上是增函数；

(3)当〃=0时，h(x)=xlnx,/z'(x)=lnx+l,由(2)得领%)在0,'］上单调递减，在［士+④］单调递增,

所以/z(x)2/z且x-0时，力(%)-0,当”时，/z(x)f+QO,/z(l)=0,

所以当方程力(%)二加有两个不相等的实数根石,％2，不妨设玉<%2，且有0<%〈!-<%2<1，--<m<0,

eee

构造函数H(%)="(%)-力则“'(%)=2+Inx

当0<%<工时,=二,所以“'(尤)<0,

e

.•.”(X)在0,，)上单调递减，且H[J]=O,”(x)〉o[o<x<：

由0<%〈工，〃(药)=丸(％1)_〃[2_%]]〉0,/2(%)=/2(々)〉丸(2_%]〉,,2_苞〉L,/z(x)在

[g,+s]上单调递增，

22,/、，-,

%2>—Xj,Xj+%2>—,「.In(X]+/)>In2—1.

ee一

所以Ini%+x2)>ln2-l.

本题考查运用导函数求函数在某点的切线方程，讨论函数的单调性，以及证明不等式，关键在于构造适当的函数，得

出其导函数的正负，得出所构造的函数的单调性，属于难度题.

18.(1)a“=即『；(2)见解析.

【解析】

Sn=l

⑴令S"=§,〃=五",利用〃=可求得数列出｝的通项公式，由此可得出数列｛4｝的通项

公式;

1411

(2)求得-----=--一~,利用裂项相消法求得北，进而可得出结论.

aHall+l33”+53(”+1)+5

【详解】

n

（1）令S,=gb”=

2a“一5

当“22时，b=S-S^=；

nnn333

,,,,1,,7n13n+5

当77=1时，b=~,则r----,故/=一:

x32。“一532

1________4_________4_L________]

anan+1（3/I+5）[3（H+1）+5]33n+53（H+1）+5'

p（3x1——+53x2M+5）+（P3x2——+53x3+5）（3x〃+53（〃+\l）+5,]

41_____1____<_4x_1—_1_

383（n+l）+5j38-6

本题考查利用Sn求通项，同时也考查了裂项相消法求和，考查计算能力与推理能力，属于基础题.

19.(I)见解析；(H)见解析；(III)73.

【解析】

(I)取3E的中点G,连接AG,FG,通过证明四边形AGFC为平行四边形，证得CE//AG,由此证得C广〃平面ABE.

(ID利用C»LED,CFYBD,证得CF,平面BOE，从而得到AG，平面,由此证得平面A5E_L平面

BDE.(Ill)作EHLCD交CD于点H,易得EHL面利用棱锥的体积公式，计算出棱锥的体积.

【详解】

(1)取5后的中点6,连接AG,/G,则尸GIlgBD,AC\\^-BD,

=2=2

故四边形AGFC为平行四边形.

故an”.

又CFa面ABE,AGu平面ABE,所以。尸||面ABE.

(II)△£T€!)为等边三角形，尸为OE中点，所以CFLED.又CFLBD,

所以面3DE.

又b||AG,故AG,面5£>E,所以面ABEL平面

(Ill)几何体ABECD是四棱锥E—A8DC,作EHLCD交CD于点H,即石"，面ABDC,

VE-ABDC=1--(1+2)-2-A/3=V3.

本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法，考查空间想象能力，所以中档题.

20.(1)y=18.69-1.23%(2)当％=2.72时，年利润z最大.

【解析】

(1)方法一：令2=丁-10,先求得z关于x的回归直线方程，由此求得y关于x的回归直线方程.方法二：根据回归

直线方程计算公式，计算出回归直线方程.方法一的好处在计算的数值较小.

(2)求得•的表达式，根据二次函数的性质作出预测.

【详解】

(1)方法一：Wz=y—10,则得x与z的数据关系如下

X12345

Z7.06.55.53.82.2

x=|(l+2+3+4+5)=3,

z=1(7.0+6.5+5.5+3.8+2.2)=5,

5

Zx/j=1x7.0+2x6.5+3x5.5+4x3.8+5x2.2=62.7,

i=l

5

222222

J；XZ=1+2+3+4+5=55.

Z=1

5

b=------------=62.7-5x3j5=_123,

^x,2-5x255-5x3

Z=1

a=^-bx=5-(-1.23)x3=8.69，

・•.Z关于X的线性回归方程是z=8.69-1.23%即夕―1。=Z=8.69-1.23%,

故y关于1的线性回归方程是y=18.69-l.23x.

方法二：因为元=g(l+2+3+4+5)=3,

y=1(17.0+16.5+15.5+13.8+12.2)=15,

5

=1x17.0+2x16.5+3x15.5+4x13.8+5x12.2=212.7,

Z=1

5

=俨+22+32+42+52=55,

Z=1

5

孙212.7—5义3义15.

•*tz<、<L.ZD,

2c—255—5x3

i=\

所以d=]—皎=15—(—1.23)x3=18.69,

故y关于x的线性回归方程是》=18.69-1.23%,

(2)年利润w=x(18.69—1.23x)—12x=—1.23/+6.69x,根据二次函数的性质可知:当x=2.72时，年利润z最大.

本小题主要考查回归直线方程的求法，考查利用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于中档题.

21.(1)>2=4%,P(2,20)；(2)1.

【解析】

(1)根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得「值，即可求抛物线C的方程从而可得解；

(2)设直线/的方程为：x+my-1=0,代入y2=4x,得，y2+4my-4=0,设A(xi,yi),B(必>2),则yi+y2=-4

2

yiy2=-4,xi+x2=2+4m,»X2=1,PA=(%—2,%—2应)，而二(X2-2,y2-2^2),由此能求出