2025年高考数学一轮复习：导数与函数的单调性 专项训练【原卷版】

2025年高考数学一轮复习-4.2-导数与函数的单调性-专项训练【原卷版】

1.下列函数中，在(0,+8)内为增函数的是()

A./(x)=sin2xB.fix)=x^

C./(x)=x3—xD./(x)=—x+lnx

2.“加＜4”是“函数人x)=29—加x+lnx在(0,+8)上单调递增”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.已知函数人x)的导函数为/(x),且函数｛x)的图象如图所示，则函数了=切,(x)的图

象可能是()

4.若函数y=/(x)在区间。上是增函数，且函数y=/(x)在区间。上也是增函数(其中

f(x)是函数段)的导函数)，那么称函数y=Ax)是区间。上的“快增函数”，区间。叫做“快

增区间”.则函数兀0=$也2》+2$也》在区间［0,川上的“快增区间”为()

C.[6'2」D.42_

5.设函数，(x)是奇函数/(x)(xW0)的导函数，八-1)=-1.当x>0时，，(x)>l,则使

得;(x)>x成立的x的取值范围是()

A.(—8,-l)U(0,l)B.(-l,0)U(l,+8)

C.(-8,-l)u(l,+8)D.(-l,0)U(0,l)

6.(多选)设於)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，r(x),g'(X)为其导函数,

当x<0时，，(x>g(x)+/(x>g'(x)<0且g(—3)=0,则使得不等式“v>g(x)<0成立的x的

取值范围是()

A.(—8,—3)B.(—3,0)

C.(0,3)D.(3,+°°)

7.(多选)下面比较大小正确的有()

A.—>-B.3In4<41n3

2e

C.->ln7tD.3<eln3

e

8.函数｛x)=lnx—$2+x的单调增区间为.

9.已知函数加)=一炉+办2—x—1在R上单调递减，则实数a的取值范围是.

10.讨论函数兀r)=(°—l)lnx+ax2+l的单调性.

11.(多选)若函数g(x)=ey(x)(e=2.718-,e为自然对数的底数)在於)的定义域上单调

递增，则称函数於)具有M性质.下列函数具有M性质的为()

A./(x)=lnxB.於)=炉+1

C.fix)—sinxD.fix)—x3

12.请写出一个同时满足下列三个条件的函数")：

(1次0是偶函数；(2如)在(0,+8)上单调递减；

(3师)的值域是(0,+8).则负x)=.

13.已知函数兀r)=；x2—2alnx+(a—2)x.

(1)当a=—i时，求函数负刈的单调区间；

(2)是否存在实数0,使函数g(x)=/(x)—ax在(0,+8)上单调递增？若存在，求出。的

取值范围；若不存在，说明理由.

14.定义方程於)=/(x)的实数根配叫做函数")的“新驻点”.

(1)设“0=cosx,则於)在(0,兀)上的“新驻点”为；

(2)如果函数g(x)=e*—x与/z(x)=ln(x+l)的“新驻点”分别为a,0,那么a和£的大小关

系是.

15.已知函数人》)=皿，若於)=加有两个不相等的实数根Xl,X2,证明XlX2>e2.

2025年高考数学一轮复习-4.2-导数与函数的单调性-专项训练【解析版】

1.下列函数中，在(0,+8)内为增函数的是()

A.f(x)=sin2xB./(x)=xeX

C.f(x)=x3—xD./(x)=-x+lnx

[J=—lv0,不符合题意；对

解析：B由于x>0,对于A选项，，(x)=2cos2x,f

(x)=3x2—1,f日=一

于B选项，，(x)=(x+l)e">0,符合题意；对于C选项，，料

不符合题意；对于选项，，一上

D(x)=-1+1/'(2)=0,不符合题意.综上所述，选B.

x2

2.“加<4”是“函数人x)=2N—加x+lnx在(0,+8)上单调递增”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：A若小)=2N—mx+lnx在(0,+8)上单调递增，则，a)=4x一加+1,()对

x

—1.k+i]

任意的xd(0,+8)恒成立，2%对任意的XG(O,+8)怛成立，即加.AJmin,

X

而4x+l22'/4x」=4,当且仅当x=l时等号成立，则加W4.二“相〈4”是“函数/(x)=2x2

x\lx2

—加x+lnx在(0,+8)上单调递增”的充分不必要条件.故选A.

3.已知函数40的导函数为，(x),且函数兀V)的图象如图所示，则函数(x)的图

象可能是()

解析：C由图可知函数於)在(一8,—1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增，则

当XG(-8,—1)时，r。)<0,当xd(—1,+8)时，，(x)>0,且，(-1)=0.对于函数

y=M(x),当xd(—8,—1)时，xf'(x)>0,当xG(—l,0)时，xf(x)<0,当xd(0,+<=0)

时，xf(x)>0,且当X=-1时，xf(x)=0,当x=0时，xf(x)=0,显然选项C符合，故

选C.

4.若函数>=於)在区间。上是增函数，且函数了=/(x)在区间。上也是增函数(其中

f(x)是函数段)的导函数)，那么称函数是区间。上的“快增函数”，区间。叫做“快

增区间”.则函数加)=sin2x+2sinx在区间［0,川上的“快增区间”为()

解析：Ay(x)=sin2x+2sinx,[0,TT],所以/(x)=2sinxcosx+2cosx=2cosx(sinx

..Fo,可一一，,

+1),因为sinx+l20恒成立，当xd1时COSX20,所以，(x)20,所以外)为增函

数，当q时COSX<0,所以/'(X)<0,所以火X)为减函数，令g(x)=/(x)=2sinxcosx

「0,』，

+2cosx,x^L2j,贝Ug'(x)=2cos2x_2sin2x—2sinx=:2-4sin2x—2sinx,々t=sinx,贝!]

0i0-

[0,1],g'(?)——4t2一2f+2=—2(2t—1)(?+1),所以fe]21时g'(。三0,即6

时g'(x)》0,且g(x)单调递增,所以函数«c)=sin2x+2sinx在区间[0,川上的“快增区间”

「0可

为[6」，故选A.

5.设函数/'(x)是奇函数於)(xW0)的导函数，八-1)=-1.当x>0时，，(x)>l,则使

得以)>x成立的x的取值范围是()

A.(-8,-1)U(O,1)B.(-l,0)U(l,+8)

C.(-8,-1)U(1,+°o)D.(-l,0)U(0,l)

解析：B由，(x)>l(x>0),可得，(x)—1>0,令g(x)=/(x)—x,则g'(x)=/'(x)—1>0,

故g(x)在(0,+8)上单调递增.因为/(—1)=-1,所以g(—1)=次-1)+1=0,又因为人功

为奇函数,所以g(x)=/(x)—x为奇函数，所以g(l)=0,且在区间(一8,0)上g(x)单调递增.所

以使得即g(x)>0成立的x的取值范围是(一l,0)U(l,+8).故选B.

6.(多选)设於)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，r(x),g'(X)为其导函数，

当x<0时，，(x>g(x)+/(x>g'(x)<0且g(—3)=0,则使得不等式“v>g(x)<0成立的x的

取值范围是()

A.(—8,—3)B.(—3,0)

C.(0,3)D.(3,+8)

解析：BD,・了3),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，，八-x)=一/)，g(-x)

=g(x),令〃(x)=/a>g(x),则〃(一%)=—〃(x),故〃(x)=/(x),g(x)为R上的奇函数，二•当％V0

时,〃(劝=，(x>g(x)+Hx)-g'(x)VO,...3)=/(x>g(x)在区间(一8,0)上单调递减，...奇

函数〃(x)在区间(0,+8)上也单调递减，作出〃(X)的草图，如图所示：

由g(—3)=0,：./;(—3)=一%(3)=0,.•.当尤>(—3,0)U(3,+8)时，〃.)=/任)*任)<0,

故选B、D.

7.(多选)下面比较大小正确的有()

A.—>-B.3In4<41n3

2e

jr

C.->ln7iD.3<eln3

e

解析：BC根据题意可构造函数正)=啦，则(》)=匕学，由于函数y=lnx在(0,

XX2

+8)上单调递增，且lne=l,从而当0〈xWe时，，(X)三0,则函数加)=坦"在(0,e］上单

调递增，当x>e时，，(x)vO,则函数人x)=皿在(e,+8)上单调递减，又0<2<©<3<兀<4,

x

叱z〃八、〃、〃、/rr、zr、口口1口2IneIn3In4IneIn71IneIn3>/.ln2Ine

所以八2)勺⑹，/(e)况3)次兀)况4),即〒v——，———>—,故二y——=

2e34e兀e32e

选项A错；3In4<41n3,选项B正确；->ln71,选项C正确；3>eln3,选项D错.故选

ee

B、C.

8.函数段)=lnx—$2+%的单调增区间为.

1-r2_|_r_|_1|%>0,

解析：f(x)=—x+l=---------,x£(0,+°°),由，(x)>0,得，

xx—x2+x+1>0,

解得0<x<±B,.•.单调增区间为卜'21

2

农案•12

9.已知函数加)=—V+aN—x—l在R上单调递减，则实数a的取值范围是.

解析：由题意知/(x)=-3炉+2办-1W0在R上恒成立，所以/=44-12W0,解得一

韵WaW他.

答案：［一他，他］

10.讨论函数兀r)=(a—Dlnx+aN+l的单调性.

解：人x)的定义域为(0,+8),f(x)=-+2ax=W+°~1

XX

①当时，f(x)>0,故｛x)在(0,+8)上单调递增;

②当aWO时，/(x)<0,故｛x)在(0,+8)上单调递减;

③当0<a<l时，令，(x)=0,解得

综上，当时，人x)在(0,+8)上单调递增；当aWO时，人x)在(0,+8)上单调递

减；当0<a<1时，“X)在上单调递减，在上单调递增.

11.(多选)若函数g(x)=《")(e=2.718…，e为自然对数的底数)在加)的定义域上单调

递增，则称函数人x)具有M性质.下列函数具有M性质的为()

A./(x)=lnxB.4)=12+1

C./(x)=sinxD.火工)=%3

finx+1]

解析：AB对于A,/(x)=lnx,则ga)=e4nx,贝Ig'(x)=exlxj,因为在(0,十

8)上lnx+l》l恒成立，所以函数g(x)=e4nx在(0,+8)递增；对于B,人乃=X2+1,则

g(x)=ey(x)=ev(x2+l),gz(%)=或%2+1)+2%廿=式工+1)2^0在实数集R上恒成立，所以g(x)

=邙(%)在定义域R上是增函数；对于C,/(x)=sinx,贝UglX^e^sinx,g'(x)=ex(sinx+cos

%)=也*吊[+J,显然g(x)不单调；对于D,人工)=工3,则且(%)=©a3,g'(%)=exx3+3exx2

=^(x3+3x2)=^(x+3),当xV—3时，gr(x)<0,所以g(x)=e7(x)在定义域R上先递减

后递增，所以具有M性质的函数的选项为A、B.

12.请写出一个同时满足下列三个条件的函数外)：

(1小)是偶函数；(2)/(%)在(0，+8)上单调递减；

(3次0的值域是(0,+8).则加尸.

解析：设4)=/2(xW0),因为次—%)=(—%)-2=/2=益)(x之0),所以"0是偶函数；X>0

时，f(x)=-2x-3<0,所以於)在(0,+8)上单调递减；｛x)=x-2>0,火X)的值域是(0,+

答案：/2(xW0)(答案不唯一)

13.已知函数兀v)=：x2—2alnx+(a—2)x.

(1)当。=—1时，求函数兀r)的单调区间；

(2)是否存在实数0,使函数g(x)=/(x)—ax在(0,+8)上单调递增？若存在，求出。的

取值范围；若不存在，说明理由.

解：(1)当a=—1时，/(x)=；x2+21nx-3x,

则/(x)=x+2_3=3x+2=(xlXx2)a>o).

XXX

当0<x<l或x>2时，f(x)>0,/)单调递增；

当l<x<2时，/(x)<0,於)单调递减.

所以的单调增区间为(0,1)和(2,+-),单调减区间为(1,2).

(2)假设存在实数a,使g(x)=/(x)—ax在(0,+8)上是增函数，

则g'(x)=/(x)-a=x—红一220在xG(0,+8)上恒成立.

即——2x—20^0在十8)上恒成立.

X

所以X2—2x—2Q》0在x>0时恒成立，

令°(x)=；(x—1)2—x£(0,+°°),则其最小值为一

所以当aW—；时，g，a)、o恒成立.

又当a=-1时，g'W=———,当且仅当x=l时，g'(x)=0.

2x

1

2_1时，g(x)=/3)—QX在(0，+8)上单调递增.

故当

14.定义方程外)=/(x)的实数根配叫做函数人x)的“新驻点”.

(1)设｛x)=cosx,则小)在(0,兀)上的“新驻点”为；

(2)如果函数x与〃(x)=ln(x+l)的“新驻点”分别为a,0,那么a和丑的大小关

系是.

解析：⑴•・7(x)=cosx,.•./(X)=—sinx,根据“新驻点”的定义得兀v)=/(x),即cos

x=—sinx,可得tanx=-1,'/xe(0,71),解得x=—，，函数/(x)=cosx在。兀)上的“新

驻点”为学

(2)g(x)=e%—x,则g'(%)=^—1,根据“新驻点”的定义得g(Q)=g'(a),即。=1.二

/z(x)=ln(x+l),贝】〃(%)=-—,由“新驻点”的定义得〃(%)=〃'(x),即ln(x+l)=T—,