人教版九年级数学上册专项复习：与圆相关的几何综合（6种模型原卷版）

猜想04与圆相关的几何综合（6种模型）

・题型目录展示♦

题型一：两圆一中垂构造等腰三角形模型

题型二：阿氏圆

题型三：瓜豆原理

题型四：圆中定值问题

题型五：圆中最值问题

题型六：辅助圆模型

—题型通关专训♦

题型一：两圆一中垂构造等腰三角形模型

一.选择题（共2小题）

1.（2022春•新洲区期末）已知平面直角坐标系中有A（2,2）、B（4,0）两点，若在坐标轴上取点C,使

△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）

2.（2022秋•沙洋县校级期末）平面直角坐标系中，已知A（1,2）、8（3,0）.若在坐标轴上取点C,使4

ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）

A.5B.6C.7D.8

二.填空题（共2小题）

3.（2022秋•龙亭区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A,8分别在y轴和x轴上，ZABG»=60°,

在坐标轴上找一点P,使得是等腰三角形，则符合条件的点P共有个.

4.（2021秋•邻水县期末）平面直角坐标系中，已知A（2,2）、B（4,0）.若在坐标轴上取点C,使△ABC

为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是.

题型二：阿氏圆

—.填空题（共2小题）

1.（2022秋•永嘉县校级期末）如图所示，ZACB=60°,半径为2的圆。内切于尸为圆O上一动

点，过点P作PM,PN分别垂直于/ACB的两边，垂足为M、N,则PM+2PN的取值范围

为.

A

2.（2021秋•龙凤区期末）如图，在RtZsABC中，ZC=90°,AC=9,BC=4,以点C为圆心，3为半径

做OC，分别交AGBC于。,E两点，点尸是OC上一个动点，则工B4+PB的最小值为

3

3.（2021秋•定海区期末）如图1,正方形。48c边长是2,以。1为半径作圆，P为弧AC上的一点，过点

尸作交AB于点连结PO、PA,设尸〃=%，PA^n.

（1）求证：ZPOA=2ZPAM；

（2）探求小、”的数量关系，并求"-根最大值;

（3）如图2：连结尸8,设PB=h,求料〃+2祖的最小值.

题型三：瓜豆原理

一.填空题（共6小题）

1.（2021秋•忠县期末）如图，在△ABC中，ZACB=90°，点。在8C边上，BC=5,CD=2,点E是边

AC所在直线上的一动点，连接。E,将DE绕点。顺时针方向旋转60°得到。尸，连接8R则8F的最

小值为____________________.

2.（2021秋•嘉兴期末）如图，OO的直径A8=2,C为。。上动点，连结CB,将C8绕点C逆时针旋转

90°得到CD,连结OD,则OD的最大值为.

D

3.（2022春•槐荫区期末）如图，正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点、,且BE=1,尸为AB边上的一

个动点，连接EF,以Ef1为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为

4.（2021秋•沐阳县校级期末）如图，线段43=2,点C为平面上一动点，且/ACB=90°,将线段AC的

中点尸绕点A顺时针旋转90°得到线段A。,连接8。,则线段B0的最大值为.

Q4

5.（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，AB=AC,BC=6,tan/ACB=2点尸在边AC上

运动（可与点A,C重合），将线段2尸绕点尸逆时针旋转120°,得到线段。尸，连接2。，CD,则CO

长的最小值为.

6.（2022秋•和平区校级期末）如图，长方形A8CD中，AB=3,BC=4,E为BC上一点,且BE=1,F为

A8边上的一个动点，连接ER将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG,则CG

的最小值为.

二.解答题（共1小题）

7.(2021秋•武昌区期末)如图1,在△ABC中，BE平分/ABC,CT平分/AC8,BE与CF交于点、D.

(1)若/BAC=74°,则/BZ)C=；

(2)如图2,ZBAC=90°,作交A8于点求证：DM=DE；

(3)如图3,ZBAC=60°,ZABC=SQ°,若点G为CD的中点，点M在直线BC上，

连接MG,将线段GM绕点G逆时针旋转90°得GN,NG=MG,连接。N,当。N最短时，直接写出/

MGC的度数.

题型四：圆中定值问题

一.解答题（共3小题）

1.（2021秋•吉林期末）某公园计划砌一个形状如图1的水池（图中长度单位：加），后有人建议改为如图2

的形状，且外圆直径不变.

【问题】请你计算两种方案中的圆形水池的周长，确定哪一种方案砌的圆形水池的周边需要的材料多.

【猜想验证】如图3,如果将图2中的小圆半径改为ri,n,n,且ri+r2+r3=r,其他条件不变，猜想【问

题】中的结论是否改变，并说明理由.

【拓展】如图4,若将图3中三个小圆改为W个小圆，小圆半径分别为厂1,T2,…，厂”，且，l+f2+…+5=

r,直接写出图4中所有圆的周长总和.

【应用】元宝是中国古代的货币，在今天也有着富贵吉祥的寓意，王师傅准备建设一个形如元宝的花坛，

如图5,花坛是由4个半圆所围成，最大半圆的半径为2.1米，直接写出花坛周边需要的材料总长（结果

保留TT）.

图1图2图3图4图5

2.(2022秋•天河区校级期末)如图①，已知。。是△A8C的外接圆，ZABC=ZACB=a(45°<a<90°,

。为篇上一点，连接CD交A8于点E.

(1)连接BC,若/CQB=40°,求a的大小；

(2)如图②，若点8恰好是向中点，求证：C^=BE,BA；

(3)如图③，将C£(分别沿2C、AC翻折得到CM、CN,连接MN,若CD为直径，请问处是否为定

MN

值，如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由.

3.(2021春•海曙区校级期末)如图1,E点为x轴正半轴上一点，OE交x轴于4、8两点，交y轴于C、

。两点，P点为劣弧标上一个动点，且A(-2,0),E(2,0).

(1)前的度数为°;

(2)如图2,连结尸C,取PC中点G,连结OG,则0G的最大值为；

(3)如图3,连接B4,PC.若C。平分/PC。交B4于。点，求线段AQ的长；

(4)如图4,连接出、PD,当P点运动时(不与8、C两点重合)，求证：PC+PD为定值,并求出这个

PA

定值.

题型五：圆中最值问题

一.填空题（共3小题）

1.（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，AB=8,BC=6,D为BC上一点、,当/CAB最大时，连接

AD并延长到E,使BE=BD,则AD-DE的最大值为.

2.（2022秋•江门期末）如图，在矩形ABCZ）中，A8=3,BC=4,E为边BC上一动点，/为AE中点，G

为DE上一点,BF=FG,则CG的最小值为.

3.（2021秋•绵阳期末）如图，矩形的顶点A,C分别在无轴、y轴上，点2的坐标为（4,3）,QM

是△AOC的内切圆，点M点尸分别是OM,x轴上的动点，则8P+PN的最小值是.

解答题（共6小题）

4.（2021秋•汶上县期末）如图，在△ABC中，AB^AC,于点。，于点E,以点。为圆

心，OE为半径作圆。交A。于点孔

（1）求证：AC是。。的切线；

（2）若/AOE=60°,OE=3,在BC边上是否存在一点尸使PF+PE有最小值，如果存在，请求出PF+PE

的最小值.

A

5.(2021秋•花都区期末)如图，。。是△ABC的外接圆，AB为直径，弦平分N8AC,过点。作射线

AC的垂线，垂足为M,点£为线段上的动点.

(1)求证：是O。的切线；

(2)若/3=30°,AB=8,在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若

不存在，说明理由；

(3)若点E恰好运动到NAC8的角平分线上，连接CE并延长，交O。于点R交于点P,连接AF,

CP=3,EF=4,求AF的长.

备用图1备用图2

6.（2023春•丰城市期末）如图1,在矩形A8CD中，AD=12,A8=8,点E在射线A8上运动，将

沿翻折，使得点A与点G重合，连接AG交。E于点孔

（1）【初步探究】当点G落在8c边上时，求BG的长；

（2）【深入探究】在点E的运动过程中，8G是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，

请说明理由；

（3）【拓展延伸】如图3,点尸为BG的中点，连接AP,点E在射线A2上运动过程中，求AP长的最

Ge

大值.（图1）（图2）（图3）

7.（2021秋•秦淮区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点8的坐标分别是（1,0）,（7,0）.

（1）对于坐标平面内的一点P,给出如下定义：如果/APB=45°,那么称点尸为线段AB的“完美点”.

①设A、B、P三点所在圆的圆心为C,则点C的坐标是，G）C的半径是

②y轴正半轴上是否有线段A8的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没有，请说明理由；

（2）若点P在y轴负半轴上运动，则当/AP8的度数最大时，点P的坐标为.

8.（2021秋•椒江区期末）如图1,已知OO的内接四边形ABC。，AB//CD,BC//AD,AB=6,8C=8.

（1）求证：四边形ABC。为矩形.

(2)如图2,E是AD上一点，连接CE交于点F连接AC.

①当点。是々中点时，求线段。尸的长度.

②当16s△DCF=3S四边形ABCD时，试证明点E为AD的中点.

(3)如图3,点E是O。上一点(点E不与A、C重合)，连接EA、EC、OE,点I是的内心,

点M在线段0E上，且ME=2MO,则线段Ml的最小值为____________

不

BBB

图1图2图3

9.(2020秋•乐亭县期末)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(6,0),点8(0,6),动点C在以原点。

为圆心，半径为3的O。上，连接OC,过点。作OOLOC,。。与。。相交于点。(其中点C,O,D

按逆时针方向排列)，连接A8

(1)当OCHNB时，ZBOC的度数为；

(2)连接AC,8C,点C在。。上运动的过程中，当△ABC的面积最大时，请直接写出△A8C面积的最

大值是.

(3)连接AD,当OC〃AQ,点C位于第二象限时，

①求出点C的坐标；

②直线BC是否为的切线？并说明理由.

题型六：辅助圆模型

一.解答题（共10小题）

1.（2021秋•武夷山市期末）如图，C为线段42上一点，分别以AC、8C为边在A3的同侧作等边△HAC

与等边△OC2,连接。

（1）如图1,当/O”C=90°时，直接写出。C与CH的数量关系为；

（2）在（1）的条件下，点C关于直线。”的对称点为E,连接AE、BE,求证：CE平分/AE队

（3）现将图1中△OCB绕点C顺时针旋转一定角度a（0°<a<90°）,如图2,点C关于直线07/的

对称点为E,则（2）中的结论是否成立并证明.

2.(2021秋•自贡期末)在△ABC中，AB=AC,过点C作CD_LBC,垂足为C,NBDC=/BAC,AC与BD

交于点E.

(1)如图1,ZABC=60°,BD=6,求。C的长；

(2)如图2,AM±BD,ANLCD,垂足分别为M,N,CN=4,求。B+OC的长.

3.（2022秋•任城区校级期末）【阅读】

辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁.在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线,

显得独特而隐蔽.

性质：如图①，若/ACB=/AO8=90°,则点。在经过A,B,C三点的圆上.

【问题解决】

运用上述材料中的信息解决以下问题：

（1）如图②，已知D4=O8=QC.

求证：ZADB=2ZACB.

（2）如图③，点A,8位于直线/两侧.用尺规在直线/上作出点C,使得NACB=90°.（要求：要有

画图痕迹，不用写画法）

（3）如图④，在四边形ABC。中，ZCAZ）=90°,CBLDB,点P在CA的延长线上，连接。RZADF

=ZABD.

求证：OE是△AC。外接圆的切线.

4.（2021秋•吁哈县期末）（1）【学习心得】

小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，

可以使问题变得非常容易.

例如：如图1,在△ABC中，AB=AC,/BAC=90°,。是△ABC外一点，且AD=AC,求N8DC的度

数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆OA,则点C、。必在OA上，N8AC是OA的圆心角，而/

BOC是圆周角，从而可容易得到/3OC=°.

（2）【问题解决】

如图2,在四边形A8CD中，ZBAD=ZBCD=9O°,/BDC=25°,求/BAC的度数.

小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△A3。的外接圆就是以8。

的中点为圆心，18。长为半径的圆；4BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心，工8。长为半径的圆.这

22

样A、B、C、。四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出/BAC的度数，请运用小刚的思路

解决这个问题.

（3）【问题拓展】

如图3,在△ABC中，ZBAC=45°,是BC边上的高，且8。=6,CD=2,求的长.

A

A

到噎23图30°

5.（2021秋•宽城区期末）【问题原型】如图①，在。。中，弦BC所对的圆心角NBOC=90°,点A在优

弧BC上运动（点A不与点8、C重合），连结A3、AC.

（1）在点A运动过程中，NA的度数是否发生变化？请通过计算说明理由.

（2）若BC=2,求弦AC的最大值.

【问题拓展】如图②，在△A8C中，BC=4,ZA=60°.若M、N分别是A8、8C的中点，则线段MN

的最大值为.

A4

图①图②

6.（2021秋•泗阳县期末）如图，已知A2_LMN于点2,且AB=10cm,将线段AB绕点B按逆时针方向旋

转角a（0WaW360°）得到线段BC,过点C作CQ_LMN于点D,OO是△80的内切圆，直线A。、

BC相交于点

（1）若a=60°,贝！IC£）=_______cm.

（2）若AOJ_8c

①点H马。0的位置关系是_______；

A.点8在O。外

8.点H在。。上

C.点以在O。内

②求线段AO的长度.

（3）线段AB绕点B按逆时针方向旋转90°,求点O运动的路径长

7.（2021秋•开福区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点M在无轴负半轴上，。加与尤轴交于A、B

两点（A在8的左侧），与y轴交于C、。两点（点C在y轴正半轴上），且CD=2«0M,点8的坐标为

（3,0）,点尸为优弧CA。上的一个动点，连结CP,过点M作于点E,交BP于点、N,连结

AN.

（1）求OM的半径长；

（2）当8尸平分/ABC时，求点P的坐标；

（3）当点尸运动时，求线段AN的最小值.

8.（2022秋•沙坪坝区校级期末）在等腰直角△ABC中，ZACB=90°,。是线段BC上一点，延长BC至

点、E,使得CE=CD,过点E作EGLAO于点G,交A?于点尸.

（1）如图1,连接CG,若4。平分/BAC,CG=2,求的长；

（2）如图2,反是平面内一点，连接DA平分NEDH,/BAH=2/CAD,用等式表示线段B。、

BF、0