人教版八年级数学上册重难考点专题06轴对称单元过关(基础版)特训(原卷版+解析)

专题06轴对称单元过关（基础版）考试范围：第十四章；考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）评卷人得分一、单选题1．（2023秋·山东济南·七年级校考期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·广东梅州·七年级统考期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（

）A．等腰三角形 B．正方形 C．圆 D．平行四边形3．（2023春·上海·七年级专题练习）点A(1，5)关于y轴对称点的坐标为（

）A．（-1，-5） B．（1，-5） C．（-1，5） D．（5，-1）4．（2023秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，A，B是池塘两侧端点，在池塘的一侧选取一点O，测得OA的长为6米，OB的长为6米，∠O=60°，则A，B两点之间的距离是（

）A．4米 B．6米 C．8米 D．10米5．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）下列命题中逆命题是真命题的是（

）A．对顶角相等 B．等角对等边C．内错角相等 D．如果a=b，那么a6．（2023秋·山东泰安·七年级校考期末）已知点P(a−1，3)和点M(2，b−1)关于A．0 B．−1 C．1 D．−37．（2023春·浙江·八年级期中）下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等；④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”．其中，正确的说法有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（2023秋·甘肃平凉·八年级校考期中）如图，点D在△ABC的边AC上，且AD=BD=CD．若∠A=40°，则∠C=（

）A．40° B．50° C．60° D．45°9．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC是对角线，则∠CAB的大小是（

）A．22.5° B．21.5° C．23.5° D．24.5°10．（2023春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC边上的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：①AE=CF；②EF=AP；③2S四边形AEPF=S△ABC；④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合A．1个 B．2个 C．3个 D．4个第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题11．（2023春·江西萍乡·八年级统考期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有个．12．（2023·广东深圳·深圳市海湾中学校考三模）若点Aa,1与点B−3,1关于y轴对称，则a=13．（2023秋·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠C=27°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A=°．14．（2023春·上海宝山·七年级校考阶段练习）如图，一张长方形纸条经折叠后的形状，如果∠1=105°，那么∠2°．15．（2023秋·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上的点A'处，折痕为CD，则∠A'DB=16．（2023秋·内蒙古乌海·八年级校考期末）如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD、BD于点M、P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM．下列结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC．其中结论正确的有（填序号）评卷人得分三、解答题17．（2023秋·浙江温州·八年级校考阶段练习）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均落在格点上，在图1、图2给定的网格中按要求作图．(1)在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰△ABP．(2)在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰△ABP．18．（2023·河南南阳·八年级统考期末）在△ABC中，D是BC的中点，延长AD至E使DE＝AD，且∠BAD＝75°∠DAC＝30°．求证：AE＝AC．19．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出等腰△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC的面积为4；（2）在图2中画出等腰直角△ABE（点E在小正方形的顶点上），使∠BAE=90°．20．（2023·河南信阳·校考一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AC，垂足为E．若∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．21．（2023秋·广东东莞·八年级可园中学校考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°(1)求作线段BC的垂直平分线DE，与线段AB相交于点D，与线段BC相交于点E．（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在你所作的图形中，连接CD．求证：△ACD是等边三角形．22．（2023秋·江苏·八年级统考期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．（1）请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，使点A坐标为（4，3），点C坐标为（﹣1，﹣2）；（2）在（1）的条件下．①画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′；②点D是y轴上的一个动点，连接BD、DC，则△BCD周长的最小值为．23．（2023秋·北京·八年级校联考期中）下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．已知：如图1，线段a和线段b．求作：△ABC，使得AB=AC，BC=a，BC边上的中线为b．作法：如图2，①作射线BM，并在射线BM上截取BC=a；②作线段BC的垂直平分线PQ，PQ交BC于D；③以D为圆心，b为半径作弧，交PQ于A；④连接AB和AC．则△ABC为所求作的图形．根据上述作图过程，回答问题：(1)用直尺和圆规，补全图2中的图形；(2)完成下面的证明：证明：由作图可知BC=a，AD=b．∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，∴AB=AC（）（填依据）．又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于D，∴＝．∴AD为BC边上的中线，且AD=b．24．（2023秋·湖北荆门·八年级校考期中）如图，△ABC中，AB=AC，点P从点B出发沿线段BA移动（点P不与A，B重合），同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．(1)求证：PD=QD；(2)过点P作直线BC的垂线，垂足为E，P、Q在移动过程中，线段BE,DE,CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．25．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）△ABC和△ADE共顶点（∠BAE<180°），AB＝AC，AD＝AE．(1)如图1，∠BAC＝∠DAE，求证：BD＝CE；(2)如图2，∠BAC＝∠DAE＝α，F，G分别为BD，CE的中点，则∠GFA＝__________度（用α表示）；(3)如图3，连接BE，若M为BE的中点，且∠DAC＝∠ABE＋∠AEB，求证：DC＝2AM．

专题06轴对称单元过关（基础版）考试范围：第十四章；考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）评卷人得分一、单选题1．（2023秋·山东济南·七年级校考期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用轴对称图形概念进行分析即可．【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2．（2023春·广东梅州·七年级统考期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（

）A．等腰三角形 B．正方形 C．圆 D．平行四边形【答案】D【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A．等腰三角形是轴对称图形，故此选项不合题意；B．正方形是轴对称图形，故此选项不合题意；C．圆是轴对称图形，故此选项不合题意；D．平行四边形不是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键．3．（2023春·上海·七年级专题练习）点A(1，5)关于y轴对称点的坐标为（

）A．（-1，-5） B．（1，-5） C．（-1，5） D．（5，-1）【答案】C【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案．【详解】解：点P（1，5）关于y轴的对称点的坐标是（-1，5），故选：C．【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．4．（2023秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，A，B是池塘两侧端点，在池塘的一侧选取一点O，测得OA的长为6米，OB的长为6米，∠O=60°，则A，B两点之间的距离是（

）A．4米 B．6米 C．8米 D．10米【答案】B【分析】由题意易得OA=OB=6m，然后可得△OAB【详解】解：由题意得：OA=OB=6m∵∠O=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OB=6m故选B．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键．5．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）下列命题中逆命题是真命题的是（

）A．对顶角相等 B．等角对等边C．内错角相等 D．如果a=b，那么a【答案】B【分析】先写出逆命题，再根据对顶角、等腰三角形的性质、内错角、绝对值的性质判断即可；【详解】A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；B、等角对等边逆命题是等边对等角，是真命题，符合题意；C、内错角相等的逆命题是相等的角是内错角，是假命题，不符合题意；D、如果a=b，那么a=b的逆命题是如果a=故选：B．【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，掌握对顶角、等腰三角形的性质、内错角、绝对值的性质是解题的关键．6．（2023秋·山东泰安·七年级校考期末）已知点P(a−1，3)和点M(2，b−1)关于A．0 B．−1 C．1 D．−3【答案】C【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a、b的值，进而得出答案．【详解】解：∵点P(a−1，3)和点M(2，∴a−1＝解得a＝所以(a+b)2019故选：C．【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．7．（2023春·浙江·八年级期中）下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等；④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”．其中，正确的说法有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据逆命题的概念、等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质、反证法的一般步骤判断即可．【详解】①真命题的逆命题不一定是真命题，例如：对顶角相等是真命题，其逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故①说法错误；②等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故②说法错误；③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等，故③正确；④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”，故④正确；因此，正确的说法有2个，故选：B．【点睛】本题考查的是命题的真假判断、反证法的应用，掌握逆命题的概念、等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质、反证法的应用是解题的关键．8．（2023秋·甘肃平凉·八年级校考期中）如图，点D在△ABC的边AC上，且AD=BD=CD．若∠A=40°，则∠C=（

）A．40° B．50° C．60° D．45°【答案】B【分析】根据∠ABD=∠A，∠C=∠DBC，由三角形的内角和定理求出∠C即可解决问题．【详解】解：∵AD=BD=CD，∴∠ABD=∠A，∠C=∠DBC，∵∠A=40°，∴∠C=（180°-40°×2）÷2=50°．故选：B．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．9．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC是对角线，则∠CAB的大小是（

）A．22.5° B．21.5° C．23.5° D．24.5°【答案】A【分析】求出正八边形的内角和，算出每个内角的度数，再根据△ABC为等腰三角形以及内角和为180°，可求出∠CAB的大小【详解】解：∵正八边形的内角和为：8每个内角的度数为1080°÷8又∵AB=BC∴△ABC是等腰三角形∴∠CAB故选：A【点睛】本题考查多边形内角和与等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键10．（2023春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC边上的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：①AE=CF；②EF=AP；③2S四边形AEPF=S△ABC；④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据等腰直角三角形的性质得出∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，求出∠APE=∠CPF，证△APE≌△CPF，推出AE=CF，EP=PF，推出S△AEP=S△CPF，求出S四边形AEPF=S△APC=12S△ABC，EF不是△ABC的中位线，故EF≠AP【详解】解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，∴∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，∴∠EPF-∠APF=∠APC-∠APF，∴∠APE=∠CPF，在△APE和△CPF中∠EAP＝∴△APE≌△CPF（ASA），∴AE=CF，EP=PF，故①正确；∴BE=AF，∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，∴AP=12BC∵EF不一定是△ABC的中位线，∴EF与AP不一定相等，故②错误；∵△APE≌△CPF，∴S△AEP=S△CPF，∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△APF=S△APC=12S△ABC∵AE=FC，BE=AF，AF+AE＞EF，∴BE+CF＞EF，故④错误．∴正确的有2个，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形中位线的性质，三角形三边关系定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题11．（2023春·江西萍乡·八年级统考期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有个．【答案】4【分析】分三种情况讨论：①当A为顶角顶点时；②当B为顶角顶点时；③当C为顶角顶点时；分别作出图形即可得出结果．【详解】解：分三种情况：如图所示：①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点有C点1个；②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C1、C2点2个；③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C3点1个；综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1+2+1=4（个）；故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键．12．（2023·广东深圳·深圳市海湾中学校考三模）若点Aa,1与点B−3,1关于y轴对称，则a=【答案】3【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此可得答案．【详解】解：∵点Aa,1与点B−3,1关于∴a=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．13．（2023秋·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠C=27°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A=°．【答案】99【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，得到∠DBC=∠C=27°，根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵DE垂直平分BC，∴DB=DC，∴∠DBC=∠C=27°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBC=27°，∴∠A=180°-27°×3=99°，故答案为99．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．14．（2023春·上海宝山·七年级校考阶段练习）如图，一张长方形纸条经折叠后的形状，如果∠1=105°，那么∠2°．【答案】52.5°【分析】已知AB∥CD，∠1=105°可得∠3=75°，根据折叠的性质，即可求出∠2的度数．【详解】将纸条展开，并对图形进行角标注．∵AB∥CD，∴∠1+∠3=180°，∵∠1=105°，∴∠3=180°-105°=75°，∴∠2=（180°-75°）÷2=52.5°故答案为：52.5°【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是找准折叠后哪些角是对应相等的．15．（2023秋·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上的点A'处，折痕为CD，则∠A'DB=【答案】20【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出∠B，根据折叠的性质可得∠CA'D=∠A=55°，再利用三角形外角的性质可得∠A'DB=∠CA'D−∠B．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=55°，∴∠B=90°−∠A=90°−55°=35°，∵折叠后点A落在边CB上的点A'处，折痕为CD∴∠CA'D=∠A=55°，∴∠A'DB=∠CA'D−∠B=55°−35°=20°，故答案为：20．【点睛】本题考查折叠的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，掌握折叠前后对应角相等是解题的关键．16．（2023秋·内蒙古乌海·八年级校考期末）如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD、BD于点M、P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM．下列结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC．其中结论正确的有（填序号）【答案】①②③④【分析】由等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠DMA=60°；由ASA证明△ABP≌△DBQ，得出对应边相等BP=BQ，即可得出△BPQ为等边三角形；由△ABE≌△DBC得到△ABE和△DBC面积等，且AE=CD，从而证得点B到AE、CD的距离相等，利用角平分线判定定理得到点B在角平分线上．【详解】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，在△ABE和△DBC中，AB=DB∴△ABE≌△DBC（SAS），∴①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠BAE=∠BDC，∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，∴②正确；在△ABP和△DBQ中，∠BAP=∠BDQ∴△ABP≌△DBQ（ASA），∴BP=BQ，∵∠PBQ=60°∴△BPQ为等边三角形，∴③正确；∵△ABE≌△DBC∴AE=CD，S△ABE∴点B到AE、CD的距离相等，∴B点在∠AMC的平分线上，即MB平分∠AMC；∴④正确；故答案为：①②③④【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．评卷人得分三、解答题17．（2023秋·浙江温州·八年级校考阶段练习）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均落在格点上，在图1、图2给定的网格中按要求作图．(1)在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰△ABP．(2)在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰△ABP．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质，取点P，使得AB=AP即可求解．（2）根据等腰三角形的性质，取点P，使点P在线段AB的垂直平分线上即可．【详解】（1）解：如图1，点P即为所求（答案不唯一）．（2）如图2，点P即为所求（答案不唯一）．【点睛】本题考查了作图——格点上画等腰三角形、等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的定义及线段垂直平分线的性质是解题的关键．18．（2023·河南南阳·八年级统考期末）在△ABC中，D是BC的中点，延长AD至E使DE＝AD，且∠BAD＝75°∠DAC＝30°．求证：AE＝AC．【答案】见解析.【分析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABD≌△ECD，∠BAD＝∠E＝75°,根据三角形的内角和是180°求出∠ACE的度数，进而利用等角对等边解答即可．【详解】证明：∵在△ABD与△ECD中AD=ED∠ADB=∠EDC∴△ABD≌△ECD∴∠BAD＝∠E＝75°在△EAC中，∠EAC＝30°，∴∠ACE＝75°，∴∠ACE＝∠E＝75°∴AE＝AC【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质得出△ABD≌△ECD．19．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出等腰△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC的面积为4；（2）在图2中画出等腰直角△ABE（点E在小正方形的顶点上），使∠BAE=90°．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质结合三角形的面积求法得出即可；（2）直接利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质得出即可．【详解】解：（1）若使△ABC的面积为4；根据三角形面积公式，即可使△ABC的BC边上的高为4，底边BC的长为2，如图1所示，△ABC即为所求．（2）由图可知AB=AE=17，BE=∵2AB=2AE=BE∴△ABE为等腰直角三角形．如图2所示，△ABE即为所求．【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确利用等腰三角形的性质得出是解题关键．20．（2023·河南信阳·校考一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AC，垂足为E．若∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．【答案】65°【分析】首先根据等腰三角形的三线合一的性质得到AD平分∠BAC，然后求得∠DAC的度数，从而求得答案．【详解】解：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝50°，∴∠DAC＝25°，∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°﹣25°＝65°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余，解题的关键是了解等腰三角形三线合一的性质．21．（2023秋·广东东莞·八年级可园中学校考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°(1)求作线段BC的垂直平分线DE，与线段AB相交于点D，与线段BC相交于点E．（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在你所作的图形中，连接CD．求证：△ACD是等边三角形．【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析【分析】（1）分别以B,C为圆心，大于12（2）根据有三个角是60°的三角形是等边三角形证明即可．【详解】（1）解：如图，直线DE为所求作直线，点D，点E为所求作点．（2）证明：∵DE是线段BC的垂直平分线，∴DC=BD，∴∠DCB=∠B=30°，∵∠DCB=90°，∴∠DCA=∠BCA−∠DCB=90°−30°=60°,∠A=90°−30°=60°，∴∠CDA=60°，∴△ACD是等边三角形．【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握作线段的垂直平分线，属于中考常考题型．22．（2023秋·江苏·八年级统考期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．（1）请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，使点A坐标为（4，3），点C坐标为（﹣1，﹣2）；（2）在（1）的条件下．①画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′；②点D是y轴上的一个动点，连接BD、DC，则△BCD周长的最小值为．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②26+【分析】（1）根据A、C两点的坐标确定平面直角坐标系即可；（2）①分别作点A、B、C关于x轴的对称点A′B′C′，再依次连接A′B′C′即可；②利用轴对称最短问题，作点B关于y轴的对称点B″，连接CB″【详解】解：（1）平面直角坐标系如图所示：（2）①△A′B′C′即为所作；②如图，点D即为所求作，△BCD周长的最小值为：BC+CD+BD=BC+CB故答案为：26+【点睛】本题考查作图—轴对称变换，轴对称最短问题、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.23．（2023秋·北京·八年级校联考期中）下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．已知：如图1，线段a和线段b．求作：△ABC，使得AB=AC，BC=a，BC边上的中线为b．作法：如图2，①作射线BM，并在射线BM上截取BC=a；②作线段BC的垂直平分线PQ，PQ交BC于D；③以D为圆心，b为半径作弧，交PQ于A；④连接AB和AC．则△ABC为所求作的图形．根据上述作图过程，回答问题：(1)用直尺和圆规，补全图2中的图形；(2)完成下面的证明：证明：由作图可知BC=a，AD=b．∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，∴AB=AC（）（填依据）．又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于D，∴＝．∴AD为BC边上的中线，且AD=b．【答案】(1)见解析(2)线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，BD=DC．【分析】（1）根据步骤作图即可；（2）根据线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，据此填空即可．【详解】（1）解：图形如图所示：（2）证明：由作图可知BC=a，AD=b，∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，∴AB=AC（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于D，∴BD=DC，∴AD为BC边上的中线，且AD=b．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质及作图，三角形的中线，牢固掌握其性质是解题的关键．24．（2023秋·湖北荆门·八年级校考期中）如图，△ABC中，AB