同角三角函数的基本关系教案 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2.2同角三角函数的基本关系教材分析：同角三角函数基本关系是学习三角函数概念后，安排的一节继续深入学习的内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。教学目标：（1）理解同角三角函数的基本关系式，，体会三角函数的内在联系性；（2）通过运用基本关系式进行三角恒等变换，发展数学运算素养。教学重点：运用同角三角函数关系式求解三角函数值。教学难点：公式及的推导,运用同角三角函数基本关系求三角函数值。教学过程：探究新知1；1。；猜想：注意：尝试证明：推广到任意角后，设角的终边与单位圆的交点为P(x,y)，则角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的呢？证明：在Rt△OMP中,由勾股定理有思考1：当P点在坐标轴上时，OMP还是三角形吗？那么上式还成立吗？不是三角形，但上式依然成立思考2：根据上面的关系，得到，正确吗？为什么？答：不正确，不是相同角。证明：思考3：tanα中，α的终边能否落在y轴上？由此可见α的范围需要满足什么条件？不能，同角三角函数的基本关系1、平方关系(1)公式:(2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.2、商数关系(1)公式:(2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角，二、例题讲解题型一利用同角三角函数关系求值角度1已知某个三角函数值，求其余三角函数值例1（1）已知sinα=，求cosα,tanα的值；（2）已知cosα=，求sinα,tanα的值。分析：已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值，再利用商数关系求该角的正切值。反思：已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤：第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；第二步：依据角的终边所在象限分类讨论;第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式,求出其余三角函数值。角度2已知tanα，求关于sinα和cosα齐次式的值（化切求值）例2已知tanα=2,则分析：注意到所求式子都是关于sinα、cosα的分式齐次式(或可化为分式齐次式)，将其分子、分母同除以cosα的整数次幂，把所求值的式子用tanα表示，将tanα=2整体代入值。答案(1)-1(2)(3)1反思：已知tanα,求关于sinα和cosα齐次式的值的基本方法形如的分式可将分子、分母同时除以cosα；形如的分式可将分子、分母同时除以将正、余弦转化为正切，从而求值。形如的式子,可将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为,转化为形如的分式求解。角度3利用sin+cos,sin-cos与sincos之间的关系求值例3已知sin+cos=,∈(0，π)求tan的值分析：要求tan的值,只需求得sin,cos的值.而由已知条件sin+cos=，∈(0，π),结合,求得2sincos的值,进而求得sin-cos的值,从而得到sin,cos的值，问题得解解∵sin+cos=①将其两边同时平方,得1+2sincos=∴2sincos=∵∈(0,π),∴cos<0<sin∵(sin-cos)2=1-2sincos=∴sin-cos=②由①②得sin=,cos=反思：sin+cos,sin-cos与sincos之间的关系求值技巧由(sin+cos)2=1+2sincos,(sin-cos)2=1-2sincos可知sin＋cos，sincos，sin－cos三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”求sin＋cos或sin－cos的值，要注意判断它们的符号变式训练1(1)若cos+2sin=,则tan=()BA. B.2 C. D.-2(2)已知,则tan=(3)已知,则=题型二应用同角三角函数关系式化简与证明例4（1）化简：，其中是第二象限角解因为是第二象限角，所以sin>0，cos<0故化简：反思：同角三角函数关系化简常用方法(1)化切为弦，减少函数名称；(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号；(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系,以降幂化简例5求证:证明(方法1)切化弦左边=右边=即左边=右边，所以原等式成立(方法2)由右至左所以原等式成立反思：三角恒等式的证明方法非常多,其主要方法有:(1)从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简；(2)左右归一,即证明左右两边都等于同一个式子；(3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除差异；(4)变更命题法,如要证明,可证ad=bc或证等；(5)比较法,即设法证明“左边-右边=0”或“”变式训练2．已知为第三象限角，化简解：因为为第三象限角，所以tan>0，变式训练3证明:三、练习：教材P184四、小结：1、知识清单：(1)同角三角函数基本关系