2024九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系达标检测新版北师大版

Page1第一章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．2sin30°的值为()A．eq\f(1,2) B．1 C．eq\f(\r(3),2) D．eq\r(3)2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cosA等于()A．eq\f(3,5) B．eq\f(4,5) C．eq\f(3,4)D．eq\f(4,3)3．已知α为锐角，且cosα＝eq\f(1,2)，则α等于()A．30°B．45°C．60°D．无法确定4．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sin∠ABC的值为()A．eq\f(3,5)B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(10),5)D．15．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个依据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a.已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为()A．asin26.5°B．eq\f(a,tan26.5°)C．eq\f(a,cos26.5°)D．acos26.5°6．【教材P15习题T4变式】如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，假如此时热气球的高度CD为100m，点A，D，B在同始终线上，则A，B两点之间的距离是()A．200mB．200eq\r(3)mC．220eq\r(3)mD．100(eq\r(3)＋1)m7．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为()A．eq\f(3,4)B．eq\f(4,3)C．eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)8．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB的延长线上的一点，且AB＝BD，则tanD的值为()A．2eq\r(3)B．3eq\r(3)C．2＋eq\r(3)D．2－eq\r(3)9．如图，过点C(－2，5)的直线AB分别交坐标轴于A(0，2)，B两点，则tan∠OAB等于()A．eq\f(2,5)B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,2)D．eq\f(3,2)10．小明想测量一棵树的高度，他发觉树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为()A．(6＋eq\r(3))米B．12米C．(4＋2eq\r(3))米D．10米二、填空题(每题3分，共24分)11．计算：tan245°－1＝________．12．如图，在山坡上种树，已知∠C＝90°，∠A＝α，相邻两树的坡面距离AB为m米，则相邻两树的水平距离AC为________米．13．【教材P6做一做改编】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cosA＝eq\f(2,5)，则BC的长是________．14．【教材P7习题T4变式】如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tanB的值为________．15．规定：在平面直角坐标系xOy中，若点P的坐标为(a，b)，则向量eq\o(OP,\s\up6(→))可以表示为eq\o(OP,\s\up6(→))＝(a，b)，假如eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))相互垂直，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x2，y2)，那么x1x2＋y1y2＝0.若eq\o(OM,\s\up6(→))与eq\o(ON,\s\up6(→))相互垂直，eq\o(OM,\s\up6(→))＝(sinα，1)，eq\o(ON,\s\up6(→))＝(2，－eq\r(3))，则锐角∠α＝________.16．【教材P21习题T4变式】如图，一轮船在M处观测到灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/时的速度匀速航行2小时后到达N处，观测到灯塔P位于南偏西60°方向，若该轮船接着向南航行至离灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT为________海里(结果保留根号)．17．如图，一架长为6m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，若梯子的底端B外移到D处，则梯子顶端A下移到C处，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为________m(参考数据：sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64)．18．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝eq\f(3,5)，则点F的坐标是__________．三、解答题(19，23，24题每题12分，其余每题10分，共66分)19．计算：(1)eq\r(3)sin60°－eq\r(2)cos45°＋eq\r(3,8)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(0)＋4cos60°·sin45°－eq\r(（tan60°－2）2).20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∠B＝60°，解这个直角三角形．21．【教材P21习题T3改编】如图，一座堤坝的横截面是梯形，依据图中给出的数据，求坝底BC的长．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝eq\f(2,3)，点D，E分别在AB，AC上，DE⊥AC，垂足为E，DE＝2，DB＝9.求：(1)BC的长；(2)tan∠CDE的值．23．为了承办2024年冬奥会，张家口市加强城市绿化建设．如图，工作人员正在对该市某河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B和C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在点C处测得点A在西北方向上，量得BC长为200m，求该河段的宽度(结果保留根号)．24．【教材P27复习题T21变式】为了培育学生的动手操作实力，某校主动开展数学实践活动．在一次综合实践活动中，某小组对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为30°.已知山坡坡度i＝3∶4，即tanθ＝eq\f(3,4)，请你帮助该小组计算古塔的高度ME(结果精确到0.1m，参考数据：eq\r(3)≈1.732)．

答案一、1．B2．B3．C4．A5．B6．D7．D8．D9．B10．A点拨：如图，延长AC交BF的延长线于点D，过点C作CE⊥BD于点E.由题意得BF＝8米，CF＝4米，∠CFD＝30°.在Rt△CFE中，∠CFE＝30°，CF＝4米，∴CE＝2米，EF＝4cos30°＝2eq\r(3)(米)．∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴tanD＝eq\f(CE,DE)＝eq\f(AB,BD)＝eq\f(1,2).∴DE＝2CE＝4米．∴BD＝BF＋EF＋ED＝(12＋2eq\r(3))米．∴AB＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)×(12＋2eq\r(3))＝6＋eq\r(3)(米)．二、11．012．mcosα13．2eq\r(21)14．eq\f(3,4)15．60°16．15eq\r(3)17．1.0218．(8，12)点拨：如图，过点F作FA∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥FA交AF的延长线于点H，∴∠FAE＝90°.∴∠FEA＋∠AFE＝90°.∵FA∥OG，∴∠FGO＝∠HFG.∵∠EFG＝90°，∴∠HFG＋∠AFE＝90°.∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO.∵cos∠FGO＝eq\f(3,5)，∴cos∠FEA＝eq\f(3,5).在Rt△AEF中，∵EF＝10，∴AE＝EF·cos∠FEA＝10×eq\f(3,5)＝6.由勾股定理，得AF＝8.∵∠FAE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°，∴四边形OGHA为矩形．∴AH＝OG.∵OG＝17，∴AH＝17.∴FH＝17－8＝9.在Rt△FGH中，∵eq\f(FH,FG)＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝eq\f(3,5)，∴FG＝9÷eq\f(3,5)＝15.由勾股定理，得HG＝eq\r(152－92)＝12，∴F(8，12)．三、19．解：(1)原式＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)－eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＋2＝eq\f(3,2)－1＋2＝eq\f(5,2)；(2)原式＝1＋4×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)－eq\r(（\r(3)－2）2)＝1＋eq\r(2)－(2－eq\r(3))＝－1＋eq\r(2)＋eq\r(3).20．解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.∴BC＝AC·tanA＝15×eq\f(\r(3),3)＝5eq\r(3)，AB＝2BC＝2×5eq\r(3)＝10eq\r(3).21．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，∴EF＝AD＝6m，AE＝DF.在Rt△CDF中，∵CD＝14m，∠DCF＝30°，∴DF＝eq\f(1,2)CD＝7m.∴AE＝7m.∵cos∠DCF＝eq\f(FC,CD)，∴FC＝CD·cos∠DCF＝14×eq\f(\r(3),2)＝7eq\r(3)(m)．在Rt△ABE中，∵∠B＝45°，∴BE＝AE＝7m.∴BC＝BE＋EF＋FC＝7＋6＋7eq\r(3)＝13＋7eq\r(3)(m)．22．解：(1)在Rt△DEA中，∵DE＝2，sinA＝eq\f(2,3)，∴AD＝eq\f(DE,sinA)＝eq\f(2,\f(2,3))＝3.∵DB＝9，∴AB＝BD＋AD＝12.在Rt△ABC中，∵AB＝12，sinA＝eq\f(2,3)，∴BC＝AB·sinA＝12×eq\f(2,3)＝8.(2)在Rt△ABC中，∵AB＝12，BC＝8，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(122－82)＝4eq\r(5).在Rt△DEA中，∵DE＝2，AD＝3，∴AE＝eq\r(AD2－DE2)＝eq\r(32－22)＝eq\r(5).∴CE＝AC－AE＝3eq\r(5).∴tan∠CDE＝eq\f(CE,DE)＝eq\f(3\r(5),2).23．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.依据题意，知∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝45°，∴∠CAD＝45°.∴∠ACD＝∠CAD.∴AD＝CD.∴在Rt△ABD中，tan∠ABD＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(AD,BC－AD)，∴eq\f(AD,200－AD)＝eq\r(3).∴AD＝(300－100eq\r(3))m.答：该河段的宽度为(300－100eq\r(3))m.24．解：如图，过点D分别作DC⊥EP于点C，作DF⊥ME于点F，过点P作PH⊥DF于点H，则DC＝FE，DH＝CP，HF＝PE.设DC＝3xm，∵tanθ＝eq\f(3,4)，∴CP＝4xm.由勾股定理，得PD2＝DC2＋CP2，即252＝(3x)2＋(4x)2，解得x＝5(负值舍去)．∴DC＝15m，CP＝20m.∴DH＝20m，FE＝15m.设MF＝ym，则